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河南省信阳市高级中学2015-2016学年度三年级数学文综合练习带详细答案


河南省信阳市高级中学 2015-2016 学年度三年级模拟考试

数学(文)试卷
(十七)
姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(60) 1.下列有关命题的说法错误 的是 ( ) .. A.对于命题 p : ?x ? R , 使得 B.“

x2 ? x ? 1

? 0

. 则 ? : ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 . p

x ?1

”是“

x 2 ? 3x ? 2 ? 0

”的充分不必要条件.

C.命题“若

x2 ? 1

,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”.

D.命题“若 x ? y ? 5 ,则 x ? 2或y ? 3 ”是假命题. 【答案】 D 【解析】 试题分析: 运用特殊值判断出错误命题, ∵若 x+y≠5, 则 x≠2, y=3, 或 x=2,y≠3,也有可能,∴命题“若 x+y≠5,则 x≠2 或 y≠3”是假命题 故选:D 考点:命题的判断;充分必要条件;逻辑连接词. 2. 已知函数 f ( x ) 在区间 [a, b](a ? b) 上为连续函数, 则 “ f (a) f (b) ? 0 ” 是 “函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内存在零点”的( ) A.充分而不必要条件 B.充要条件 C.必要两不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A.【解析】试题分析:因为函数 f ( x ) 在区间 [a, b](a ? b) 上为连续函数,所 以结合“ f (a) f (b) ? 0 ” 和函数的零点存在性定理可得“函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内存 在零点” ,即“ f (a) f (b) ? 0 ”是“函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内存在零点”的充分条件; 反之不成立,例如:函数 f ( x) ? x , x ? [?1,1] ,存在零点 0,而 f (?1) f (1) ? 0 . 综上
2

所述, 函数 f ( x ) 在区间 [a, b](a ? b) 上为连续函数, 则 “ f (a) f (b) ? 0 ” 是 “函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内存在零点”的充分不必要条件.考点:必要条件、充分条件与充要条件的 判断. 3.已知变量 x 与 y 呈相关关系,且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示,则由 该观测数据算得的回归方程可能是( )

? ? ?1.314x ? 1.520 B. y ? ? 1.314 x ? 1.520 A. y
试卷第 1 页,总 13 页

? ? 1.314 x ? 1.520 D. y ? ? ?1.314 x ?1.520 C. y

? ? 0, b ? 0 ,故 【答案】B【解析】试题分析:由样本数据散点图可知,回归方程中, a
选 B.考点:由散点图求线性回归方程 4.一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上飞过,其中 ,若落在扇形沼泽区 AD ? 2, DC ? 2, BC ? 1 ,它可能随机在草原上任何一处(点) 域 ADE 以外丹顶鹤能生还,则该丹顶鹤生还的概率是( )

A.

1 ? ? 2 15

B. 1 ?

?
10

C. 1 ?

? 6

D. 1 ? 10

3?

【答案】 B 【解析】试题分析:过点 D 作 DF ? AB 于点 F ,在 Rt? AFD中,易知

AF ? 1, ?A ? 45? , 梯 形 的 面 积 S1 ?
S2 ? 1 ? 2

? ?

1 5 ? 2 ? 2 ? 1? ?1 ? , 扇 形 A D E 的 面 积 2 2 5 ? ? 2 S1 ? S2 2 4 ? ? ? 2 ? ? , 则丹顶鹤生还的概率 P ? 故选 B. ? ? 1? , 5 4 4 S1 10 2

5.把红、黄、蓝 3 张卡片随机分给甲、乙、丙三人, 每人 1 张, 事件 A:“甲得红卡” 与事件 B:“乙得红卡”是 ( ) A.不可能事件 B.必然事件 C.对立事件 D.互斥且不对立事件 【答案】D【解析】试题分析:把红、黄、蓝 3 张卡片随机分给甲、乙、丙三人, 每人 1 张, 事件 A:“甲得红卡”与事件 B:“乙得红卡”不可能同时发生,但事件 A:“甲 得红卡”不发生时,事件 B:“乙得红卡”有可能发生,有可能不发生;所以事件 A: “甲得红卡”与事件 B:“乙得红卡”是互斥但不对立事件. 故正确答案为选项 D.考点:对立事件、必然事件、不可能事件、互斥事件 6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? ? bx ? a ? 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销 根据上表可得回归方程 y
售额为 A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 【 答 案 】 B 【 解 析 】 试 题 分 析 : 经 分 析 x?

?

?

4? 2?3?5 ? 3.5 , 4

y?

? ?a 49 ? 26 ? 39 ? 54 ? ? bx ? 经过样本点的中心( x , y ) ? 42 ,因为回归方程 y ,则 4

?, 则 a ? ? 9.1, 则回归方程为 y ? ? 9.4 x ? 9.1 ,则当广告费为 6 万元时, 42 ? 9.4 ? 3.5 ? a

试卷第 2 页,总 13 页

销售额为 9.4 ? 6 ? 9.1 ? 65.5 万元。考点:回归方程经过样本点中心( x , y ) 。

7.以椭圆

的顶点为顶点,离心率 e=2 的双曲线方程( )

A.

B.

C.



D.以上都不对

【答案】C【解析】试题分析:根据题意,椭圆

的顶点为(4,0) 、 (﹣4,0) 、

(0,3) 、 (0,﹣3) ;则双曲线的顶点有两种情况,即在 x 轴上,为(4,0) 、 (﹣4,0) ; 和在 y 轴上,为(0,3) 、 (0,﹣3) ;分两种情况分别讨论,计算可得 a、b 的值,可得 答案. 解:根据题意,椭圆 的顶点为(4,0) 、 (﹣4,0) 、 (0,3) 、 (0,﹣3) ;

故分两种情况讨论,①双曲线的顶点为(4,0) 、 (﹣4,0) ,焦点在 x 轴上; 即 a=4,由 e=2,可得 c=8,b =64﹣16=48;此时,双曲线的方程为 ②双曲线的顶点为(0,3) 、 (0,﹣3) ,焦点在 y 轴上; 即 a=3,由 e=2,可得 c=6,b =36﹣9=27;此时,双曲线的方程为
2 2





综合可得,双曲线的方程为





故选 C 点评:本题考查双曲线的标准方程,解题时注意分其焦点或顶点在 x、y 轴两种 情况讨论,其次还要注意两种情况下,方程的形式的不同. 8.如图是统计高二年级 1000 名同学某次数学考试成绩的程序框图,若输出的结果是 720,则这次考试数学分数不低于 90 分的同学的频率是( )

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A.0.28 B.0.38 C.0.72 D.0.62 【答案】C【解析】试题分析:由题可知:判断框中,S 代表的是 90 分以上的人数,因 此满足 90 分以上的接着沿着框图往下计算,输出是 720,因此,频率为 0.72. 考点:?程序框图中判断框的含义?频率的计算方法 9.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值为 A.
1 2

B.1

C.2
2

D.4
2 2 2

【 答 案 】 C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 圆 x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 化 为 ( x ? 3) ? y ? 16 ,

?x ? ?

p p ( p ? 0) 与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 相切,? ? ? ?1 ,即 p ? 2 . 2 2

考点:直线与圆的位置关系、抛物线的准线方程. 10 . f ( x) 是 定 义 在 非 零 实 数 集 上 的 函 数 , f ?( x) 为 其 导 函 数 , 且 x ? 0 时 ,

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,记 a ?
(A) c ? a ? b

f (20.2 ) f (0.22 ) f (log2 5) ,则 ( ) , b ? ,c ? 0.2 2 log2 5 2 0.2

(B) b ? a ? c

【答案】A【解析】试题分析:令 g ( x ) ?

f ( x) xf ?( x) ? f ( x) , 则 g ?( x) ? , 因为当 x ? 0 x x2

( C) a ? b ? c

(D) c ? b ? a

时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 ?0,??? 上单调递减,因为 log2 5 ? log2 4 ? 2 ,

1 ? 20.2 ? 2,0.22 ? 0.04 ,所以 log2 5 ? 20.2 ? 0.22 所以 c ? a ? b .考点:导数的应用.
11.函数 f ? x ? ? ln x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. ? ??,2? C. ? 2, ??? D. ? 0, ?? ?

A. ? ??, 2?

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【答案】B【解析】试题分析:直线 2 x ? y ? 0 的斜率为 2,且 f ? ? x ? ? 令

1 ? a ? x ? 0? , x

1 1 1 ? a ? 2 得 a ? 2 ? ,因为 x ? 0 ,则 ? 0 ,所以 a ? 2 .故正确答案为 B. x x x

考点:1.函数的定义域;2.导数的几何意义. 12.已知函数 ( f x) 是 R 上的可导函数, f ? x ? 的导数 f ' ? x ? 的图像如图,则下列结 论正确的是( )

A.a, c 分别是极大值点和极小值点 B.b,c 分别是极大值点和极小值点 C.f(x)在区间(a,c)上是增函数 D.f(x)在区间(b,c)上是减函数 【答案】C【解析】试题分析:对于 A,在 x=a 处导数左负右正,为极小值点,在 x=c 处导数左正右正,不为极值点,故 A 错;对于 B,在 x=b 处导数不为 0,在 x=c 处导数 左正右正,不为极值点,故 B 错;对于 C,f(x)在区间(a,c)上的导数大于 0,则 f(x)在区间(a,c)上是增函数,故 C 对;对于 D,f(x)在区间(b,c)上的导数 大于 0,则 f(x)在区间(b,c)上是增函数,故 D 错.故选 C. 考点:利用导数研究函数的单调性. 二、填空题(20)

k 在(0, ??) 上单调递增”的否定是 x k 【答案】 ? k ? R, 函数 y ? 在 (0, ??) 上不是单调递增 x k 【解析】解:因为命题“ ?k ? R, 函数y ? 在(0, ??) 上单调递增”的否定是 ? k ? R, x k 函数 y ? 在 (0, ??) 上不是单调递增 x
13.命题“ ?k ? R, 函数y ? 14.甲、乙两人约定在 10 点半到 12 点会面商谈事情,约定先到者应等候另一个人 20 分钟,即可离去,求两人能会面的概率(结果用最简分数表示) . 【答案】

32 81

【解析】 试题分析:以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的 充要条件是|x-y|≤20.在如图所示平面直角坐标系下, (x,y)的所有可能结果是边 长为 90 的正方形区域,而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表 示.由几何概型的概率公式得: P ( A) ?

90 ? 90 ? 70 ? 70 32 ? 90 ? 90 81

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考点:几何概型 15.若点 A 的坐标为(3,2) ,F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 P 是抛物线上的一动点, 则 PA ? PF 取得最小值时,点 P 的坐标是。 【答案】 (2,2) 【解析】 试题分析:由抛物线的定义可知,|PF|等于 P 点到准线的距离,因此当|PA|+|PF|取得 最小值时,直线 AP 与抛物线的准线垂直,求得 P 点的坐标为(2,2). 考点:抛物线的定义与性质
4 2 16 . 当 x ? (?2,?1) 时 , 不 等 式 x ? mx ? 1 ? 0 恒 成 立 , 则 实 数

m 的取值范围



.
?

17 【答案】 (-∞, 4 ] 【解析】 1 1 17 x4 ? mx2 ?1 ? 0 ? m ? ? ( x2 ? 2 ) ?( x2 ? 2 ) ? ? 2 x ? (1, 4) x , x 4 ,所以 试题分析: ,而 17 m?? . 4

考点:不等式恒成立 三、解答题(70) 17. (本小题满分 12 分)设命题 p:实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q: 实数 x 满足 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 且 ?p是?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【答案】实数 a 的取值范围是 a ? ?4 . 【解析】 试题分析:设
A ? x x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0(a ? 0) ? ? x 3a ? x ? a(a ? 0)?

?

?

B ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? ?x x ? ?4或x ? 2?. ?p是?q 的必要不充分条件, 即 q是p 必要不
充分条件, 故需 A ? B .
2 2 试题解析:设 A ? x x ? 4ax ? 3a ? 0(a ? 0) ? ? x 3a ? x ? a(a ? 0)?

?

?

?

?

B ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? ?x x ? ?4或x ? 2?.
因为 ?p是?q 的必要不充分条件,?

?

?

5分

q是p 必要不充分条件,

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? A? B ,
?

8分 ,又 a ? 0 ,

所以

3a ? 2或a ? ?4

所以实数 a 的取值范围是

a ? ?4

.

12 分

考点:1.简单的逻辑连接词;2.充要条件;3.一元二次不等式的解法. 18. (满分 12 分)假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有如下 的统计资料: 使用年限 x 维修费用 y

2

3
3.8

4

5
6.5

6
7.0

2.2

5.5

若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系。 (1)请画出上表数据的散点图;

?. ? ?a ? ,b ? 的回归系数 a (2)请根据最小二乘法求出线性回归方程 y ? bx
(3)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少?
n

?

?? b

? x y ? nx y ?x
i ?1 i ?1 n i i 2 i

? ? y ? bx ? ,a

? n( x ) 2
?

【答案】 (1)略; (2) y ? 1.23x ? 0.08 ; (3) 12 .38 万元. 【解析】 试题分析: (1) 在平面直角坐标系中以 x 为横坐标, 以 y 为纵坐标, 作出 (2, 2.2) , (3,3.8) ,

(4,5.5) ,
得表中数据的散点图; (2) 由表中数据先求出 x ,y , 再求出 ? xi yi , (5, 6.5) , (6, 7) 五点,
i ?1 5

?x
i ?1

5

2 i

?, ?; ?, ? 求出线性回归方程 y ? 1.23x ? 0.08 , , 然后求出 a (3) 利用 (2 中得出的 a b b
?

?

将 x ? 10 代入线性回归方程 y ? 1.23x ? 0.08 ,得出 ? y ,并对问题做出回答;在求解线

?? 性回归方程时, 计算要精确, 要注意精确度的要求, 代入 b

? x y ? nx y ?x
i ?1 i ?1 n i i 2 i

n

? ? y ? bx ? , a

? n( x ) 2

之前要先求出 x , y , 回答.

? x y ,? x
i ?1 i i i ?1

n

n

2 i

;利用线性回归方程求出 ? y 后,要对问题做出

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试题解析: (1)作出散点图如下.

4分 (2)由上表知, x ?

2?3? 4? 5? 6 ? 4, 5 2.2 ? 3.8 ? 5.5 ? 6.5 ? 7 y? ?5, 5分 5
5 i i

?x y
i ?1 5

? 2 ? 2.2 ? 3 ? 3.8 ? 4 ? 5.5 ? 5 ? 6.5 ? 6 ? 7 ? 112.3



?x
i ?1

2 i

? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 90

6分

?? 所以, b

? x y ? nx y ?x
i ?1 i ?1 5 i i 2 i

5

?

? n( x )

2

112.3 ? 5 ? 4 ? 5 ? 1.23 , 90 ? 5 ? 42

7分

? ? y ? bx ? ? 5 ?1.23? 4 ? 0.08 . a
(3)由(2)知 y ? 1.23x ? 0.08 ,
? ?

8分 9分 11 分

将 x ? 10 代入 y ? 1.23x ? 0.08 ,得 ? y ? 1.23?10 ? 0.08 ? 12.38 所以,估计使用年限为 10 年时,维修费用是 12.38 万元. 12 分 考点:①散点图;②线性回归. 19.对某电子元件进行寿命追踪调查,所得情况如右频率分布直方图.

(1)图中纵坐标

y0

处刻度不清,根据图表所提供的数据还原 y0 ; 个元件,寿命为

(2)根据图表的数据按分层抽样,抽取

20
个;
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100 ~ 300

之间的应抽取几

(3)从(2)中抽出的寿命落在 100 ~ 300 之间的元件中任取 个元件,求事件“恰好

2

有一个寿命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 【答案】 (1)

200 ~ 300
5

”的概率.

y0 ? 0.0015

; (2)应抽取 个; ( 3)

3 . 5

【解析】 试题分析:本题主要考查频率分布直方图、随机事件的概率等基础知识,考查学生的分 析问题解决问题的能力、读图能力、计算能力.第一问,利用所有频率之和为 1,利用 “高=频率÷组距” 计算 y0 ; 第二问, 利用 “频率=频数÷样本总数” 计算寿命为100 ~ 300 之间应抽取的个数;第三问,分别设出寿命为 100 ? 200 之间的 2 个元件和 200 ? 300 之间的 3 个元件,先写出从 5 个元件中任取 2 个元件的所有情况,再从中选出符合题意 的种数,两个种数相除得到概率的值. 试题解析: (1)根据题意: 0.001?100 ? 2 y0 ?100 ? 0.002 ?100 ? 0.004 ?100 ? 1 解得 y0 ? 0.0015 3 分 (2)设在寿命为 100 ~ 300 之间的应抽取 x 个,根据分层抽样有:

x ? ? 0.001 ? 0.0015 ? ?100 5 分 20 解得: x ? 5 所以应在寿命为 100 ~ 300 之间的应抽取 5 个 7 分 (3)记“恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 200 ~ 300 ”为事件 A ,由(2)
知 寿命落在 100 ~ 200 之间的元件有 2 个分别记 a1 , a2 ,落在 200 ~ 300 之间的元件有

3 个分别记为: b1 , b2 , b3 ,从中任取 2 个球,有如下基本事件:

? a1, a2 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? ,
?b1, b2 ? , ?b1, b3 ? , ?b2 , b3 ? ,共有10 个基本事件 9 分
事件 A “恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 200 ~ 300 ”有:

? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? 共有 6 个基本事件 10 分
? P( A) ? 6 3 ? 11 分 10 5
3 .12 5

答:事件“恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,另一个寿命为 200 ~ 300 ”的概率为 分 考点:频率分布直方图、随机事件的概率. 20.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) (1)求双曲线 C 的方程;

(2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且 OA ? OB ? 2 (其 中 O 为原点). 求 k 的取值范围.
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【答案】 (Ⅰ) 【解析】

x2 3 3 ? y 2 ? 1. (Ⅱ (?1,? ) ? ( ,1). 3 3 3

试题分析: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0). a2 b2

由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. .4 分 3

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. (Ⅱ)将 y ? kx ? 2代入 3
2 ? ?1 ? 3k ? 0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.
2 即k ?

1 且k 2 ? 1. ①6 分 3

设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

x A ? xB ?

6 2k ?9 , x A xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A x B ? y A y B ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

而 x A xB ? y A y B ? x A xB ? (kxA ? 2 )(kxB ? 2 ) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? .8 分 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1

3k 2 ? 7 ? 3k 2 ? 9 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 于是 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
1 ? k 2 ? 3. ②10 分 3 1 2 由①、②得 ? k ? 1. 3
故 k 的取值范围为 (?1,?

3 3 ) ? ( ,1). 12 分 3 3

考点:本题考查了直线与双曲线的位置关系 点评: 解答双曲线综合题时, 应根据其几何特征熟练的转化为数量关系 (如方程、 函数) , 再结合代数方法解答,这就要学生在解决问题时要充分利用数形结合、设而不求、弦长 公式及韦达定理综合思考,重视对称思想、函数与方程思想、等价转化思想的应用 21 . 设 直 线 l : y ? 5 x ? 4 是 曲 线 C : f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? 2 x ? m 的 一 条 切 线 , 3

g ( x) ? ax2 ? 2x ? 23 .
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(Ⅰ)求切点坐标及 m 的值; (Ⅱ)当 m ? Z 时,存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)切点 P(?1, ?1) , m ? (2) [2, ??) 【解析】 (Ⅰ)设直线 l 与曲线 C 相切于点 P( x0 , y0 ) , 试题分析:解:

7 ,切点 P(3,19) , m ? 13 . 3

? f ?( x) ? x2 ? 2x ? 2 , ? x02 ? 2 x0 ? 2 ? 5 , 解得 x0 ? ?1 或 x0 ? 3 , 3 分
当 x0 ? ?1 时, y0 ? ?1 ,? P(?1, ?1) 在曲线 C 上,∴ m ? 当 x0 ? 3 时, y0 ? 19 ,? P(3,19) 在曲线 C 上,∴ m ? 13 , 切点 P(?1, ?1) , m ?

7 , 3

7 , 3

5分 7分

切点 P(3,19) , m ? 13 .

(Ⅱ)解法一:∵ m ? Z ,∴ m ? 13 , 设 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?

1 3 x ? (1 ? a ) x 2 ? 36 , 3

若存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,则只要 h( x)min ? 0 , 10 分

h?( x) ? x2 ? 2(1 ? a) x ? x ? x ? 2(1 ? a)? ,
(ⅰ)若 1 ? a ? 0 即 a ? ?1 ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 2(1 ? a)或x ? 0 ,

? x ?[0, ??) ,∴ h( x) 在 (2(1 ? a), ??) 上是增函数,
令 h?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 2(1 ? a) ,? h( x) 在 [0, 2(1 ? a)] 上是减函数,

? h( x)min ? h(2(1 ? a)) , 令h(2(1 ? a)) ? 0 ,
解得 a ? 2 , 12 分 (ⅱ)若 1 ? a ? 0 即 a ? ?1 ,令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 2(1 ? a)或x ? 0 ,

? x ?[0, ??) , ∴ h( x) 在 (0, ??) 上是增函数,

? h( x)min ? h(0), 令h(0) ? 0 ,不等式无解,? a 不存在, 13 分
综合(ⅰ) (ⅱ)得,实数 a 的取值范围为 [2, ??) . 14 分
2 解法二:由 f ( x) ? g ( x) 得 ax ?

1 3 x ? x 2 ? 36 , 3
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(ⅰ)当 x ? 0 时, a ?

1 36 1 36 x ? 2 ? 1 ,设 h( x) ? x ? 2 ? 1 3 x 3 x

若存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,则只要 h( x)min ? a , 10 分

1 72 x3 ? 63 h?( x) ? ? 3 ? , 3 x 3x3
令 h?( x) ? 0 解得 x ? 6 ? h( x) 在 [6 ? ?) 上是增函数,

令 h?( x) ? 0 ,解得? 0 ? x ? 6 ? h( x) 在 (0, 6) 上是减函数,

? h( x)min ? h(6) ? 2 ,? a ? 2 ,
2 (ⅱ)当 x ? 0 时,不等式 ax ?

12 分

1 3 x ? x 2 ? 36 不成立, 3

∴ a 不存在, 13 分 综合(ⅰ) (ⅱ)得,实数 a 的取值范围为 [2, ??) . 14 分 考点:导数的运用 点评:主要是考查了导数在研究函数单调性中的运用,属于基础题。 22.已知椭圆 C:的长轴长为 2 2 ,离心率 e ?

2 . 2

Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; Ⅱ)若过点 B(2,0)的直线 l (斜率不等于零)与椭圆 C 交于不同的两点 E,F(E 在 B, F 之间) ,且 ? OBE 与 ? OBF 的面积之比为

1 ,求直线 l 的方程. 2

【答案】 (1) 【解析】

x2 ? y2 ? 1 2

(2) 7 x ? 3 14 y ?14 ? 0或7 x ? 3 14 y ?14 ? 0

x2 y 2 试题分析:解: (I)椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由已知得 a b
解得 a ? 2, b ? 1, c ? 1 ∴所求椭圆的方程为 (II)由题意知 l 的斜率存在且不为零, 设 l 方程为 x ? my ? 2(m ? 0) ①,将①代入

x2 ? y 2 ? 1. 2

x2 ? y 2 ? 1,整理得 2

(m2 ? 2) y 2 ? 4my ? 2 ? 0 ,由 ? ? 0 得 m 2 ? 2.
?4 m ? y1 ? y2 ? 2 ? ? m ?2 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y 2 ) ,则 ? ②. ? yy ? 2 ? 1 2 m2 ? 2 ?
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由已知,

| BE | 1 S?OBE 1 ? ? , 则 | BF | 2 S?OBF 2
??? ? ??? ?
代入②得, , 消去 y1 得

由此可知,BF ? 2 BE , 即 y2 ? 2 y1 .

2 16m2 2 解 ? 2 ? 2 2 9 (m ? 2) m ?2

2 得, m ?

18 3 14 ,满足 m 2 ? 2. 即 m ? ? . 7 7

所以,所求直线 l 的方程为 7 x ? 3 14 y ?14 ? 0或7 x ? 3 14 y ?14 ? 0 . 考点:直线与椭圆的位置关系 点评:主要是考查了椭圆的方程与性质,以及直线与椭圆的位置关系的运用,属于中档 题。

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