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北京市朝阳区2014届高三数学上学期期末考试试题 文


北京市朝阳区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷(文史类)
2014.1

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? x log 2 x ? 0 ,集合 B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A A. x x ? 0?

?

?

?

?

B=
D. ?

?

B.

? x x ? 1?

C.

?x 0 ? x ? 1或x ? 1?

2.为了得到函数 y ? 2 x ? 2 的图象,可以把函数 y ? 2 x 的图象上所有的点 A. 向右平行移动 2 个单位长度 开始 B.向右平行移动 1 个单位长度 C. 向左平行移动 2 个单位长度 D. 向左平行移动 1 个单位长度 3. 执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为 A. 6 B. 24 C. 120 D. 720 i=2 k=k×i i=i+1 否 是 输出 k k=1

i>5?

结束

x ? x ? 0, ?2 , 4.已知函数 f ( x ) ? ? 则 a ? 2 是 f (a) ? 4 成立的 ? ? ? x , x ? 0,

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

?x ? y ? 3 ? 5. 若实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 0 ,则 z ? y ? x 的最小值为 ?x ? 0 ?
A.

0

B.

1

C.

2

D. 3

6. 已知 0 ? ? ? A.

?7

π 4 π ,且 cos ? ? ,则 tan(? ? ) 等于 2 5 4 3 B. ?1 C. D. 7 4

7. 若 双 曲线 C : 2 x2 ? y 2 ? m (m ? 0) 与 抛 物 线 y 2 ? 16x 的 准 线 交 于 A, B 两 点 ,且

AB ? 4 3 ,则 m 的值是
A.

116

B.

80

C.

52

D.

20

8. 函数 f ( x) ? x2 ? 3x 的图象为曲线 C1 ,函数 g ( x) ? 4 ? x2 的图象为曲线 C2 ,过 x 轴上 的动点 M (a,0)(0 ? a ? 3) 作垂直于 x 轴的直线分别交曲线 C1 ,C2 于 A, B 两点, 则线段

AB 长度的最大值为
A.2 B.4 C. 5 D.

41 8

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知数列 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a3 ? a5 ? 8 , a2 ? a4 ? a6 ? 20 ,则公差 d ? 10.已知三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ;表面积是 . .

1

1 正视图

1 侧视图

俯视图

11. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况,抽查并统计了 100 名同学的某一周阅读时 间,绘制了频率分布直方图(如图所示) ,那么这 100 名学生中阅读时间在 [4,8) 小时内的人 数为_____. 频率/组距 0.15 0.14 0.12 0.05 0.04 2 4 6 8 10 12 小时

2 12.直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : ? x ? 1? ? ( y ? 2) ? 5 截得的弦 AB 的长是 2

.

13. 在△ ABC 中, ?A ? 120? , AB ? AC ? ?1 ,则 AB AC ? 是 . 14.用一个平面去截正方体, 有可能截得的是以下平面图形中的 图形序号) (1)正三角形 (2)梯形 (3)直角三角形 (4)矩形

; | BC | 的最小值

. (写出满足条件的

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin x ? 2sin x cos x ? cos x ? 2 .
2 2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间. 16. (本题满分 13 分) 甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在相同的测试条件下,两人 5 次测试 的成绩(单位:分)如下表: 第1次 甲 乙 58 65 第2次 55 82 第3次 76 87 第4次 92 85 第5次 88 95

? 4

(Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算) ; (Ⅱ)若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,求抽到的两个成绩中至 少有一个高于 90 分的概率.

17. (本题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , 平 面 PAC ? 平 面

P

ABC , PA ? AC , AB ? BC .设 D , E 分别为 PA , AC
中点. (Ⅰ)求证: DE ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证: BC ? 平面 PAB ; ( Ⅲ ) 试 问 在 线 段 AB 上 是 否 存 在 点 F , 使 得 过 三 点

D E

C

A B

D , E , F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行?若存
在,指出点 F 的位置并证明;若不存在,请说明理由.

18.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)若 f ?(0) ? ?4 ,求 a 的值,并求此时曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的最小值. 19.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C 两焦点坐标分别为 F 1 (? 2,0) , F 2 ( 2,0) ,一个顶点为 A(0, ?1) . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)是否存在斜率为 k (k ? 0) 的直线 l ,使直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,满足

AM ? AN . 若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.
20. (本题满分 13 分)

1? ? 9 ? ? ? 已知数列 ?an ? 的通项 an ? ? n ? ? ? ? ? , n ? N . 2 10 ? ? ? ?
(Ⅰ)求 a1 , a2 ; (Ⅱ)判断数列 ?an ? 的增减性,并说明理由;

n

(Ⅲ) 设 bn ? an?1 ? an ,求数列 ?

? bn ?1 ? ? 的最大项和最小项. ? bn ?

北京市朝阳区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案(文史类) 2014.1 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 D 8 D

二、填空题: 题号 答案 三、解答题: 15.解: (Ⅰ)依题意 f ( x) ? 2sin 2 x ? sin 2 x ?1 9 10 11 12 13 14 2, 6 (1) (2) (4)

4

1 3? 3 , 6 2

54

10

? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 sin(2 x ? ) . 4 ? ? ? 则 f ( ) ? 2 sin(2 ? ? ) ? 1 . ????.7 分 4 4 4 ?? ? ?. (Ⅱ) f ( x ) 的最小正周期 Τ ? ? π ? π π 3π 当 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? 时,即 kπ ? ? x ? kπ ? 时, f ( x ) 为增函数. 2 4 2 8 8
则函数 f ( x ) 的单调增区间为 ? kπ ?

? ?

π 3π ? , kπ ? ? , k ? Z . 8 8?

????.13 分

16 . 解: (Ⅰ)茎叶图如右图所示,由图可知,乙的平均成绩大于甲的平均成绩,且乙的方 差小于甲的方差,因此应选派乙参赛更好. ???.6 分

(Ⅱ)设事件 A :抽到的成绩中至少有一个高于 90 分. 从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩,所有的基本事件如下:

?58, 65? , ?58,82? , ?58,87? , ?58,85? , ?58,95? , ?55, 65? , ?55,82? , ?55,87? , ?55,85? , ?55,95? , ?76, 65? , ?76,82? , ?76,87? , ?76,85? , ?76,95? , ?88, 65? , ?88,82? , ?88,87? , ?88,85? , ?88,95? , ?92, 65? , ?92,82? , ?92,87? , ?92,85? , ?92,95? ,
共 25 个.

甲 5 8 5 6 6 8 2 7 8 9 2 5 5



7

5

事件 A 包含的基本事件有

?58,95? , ?55,95? , ?76,95? , ?88,95? , ?92, 65? , ?92,82? , ?92,87? , ?92,85? , ?92,95?
共 9 个. 所以 P ( A) ? 17. 证明: (Ⅰ)因为点 E 是 AC 中点,点 D 为 PA 的中点, 所以 DE ∥ PC . 又因为 DE ? 面 PBC , PC ? 面 PBC , 所以 DE ∥平面 PBC . (Ⅱ)因为平面 PAC ? 面 ABC , 平面 PAC ????.4 分 平面 ABC = AC , 又 PA ? 平面 PAC ,

9 9 ,即抽到的成绩中至少有一个高于 90 分的概率为 . 25 25

???.13 分

PA ? AC ,所以 PA ? 面 ABC .
所以 PA ? BC . 又因为 AB ? BC ,且 PA 所以 BC ? 面 PAB .

AB = A ,
???.9 分

(Ⅲ)当点 F 是线段 AB 中点时,过点 D , E , F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平 行. 取 AB 中点 F ,连 EF ,连 DF . 由(Ⅰ)可知 DE ∥平面 PBC . 因为点 E 是 AC 中点,点 F 为 AB 的中点, 所以 EF ∥ BC . 又因为 EF ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , 所以 EF ∥平面 PBC . 又因为 DE

P

D E F B

C

A

EF = E ,

所以平面 DEF ∥平面 PBC , 所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行. 故当点 F 是线段 AB 中点时,过点 D , E , F 所在平面内的任一条直线都与平面 PBC 平 行. ???.14 分 18. 解: (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ,
3 2 2

所以 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ?(0) ? ?a ? ?4 ,
2 2 2

又 a ? 0 ,所以 a ? 2 . 又 f ?(1) ? ?5, f (1) ? ?5 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 5 x ? y ? 0 . ????.?..?5 分 (Ⅱ) x ? ?0, 2? , f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? ( x ? a)(3x ? a) 令 f ?( x) ? 0 ,则 x1 ? ?

a , x2 ? a . 3

(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3x2 ? 0 在 ? 0, 2? 上恒成立,所以函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上 单调递增,所以 f ( x)min ? f (0) ? 0 ; (2)当 0 ? a ? 2 时,在区间 [0, a ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 ( a, 2] 上, f ?( x) ? 0 ,所 以函数 f ( x ) 在区间 [0, a ) 上单调递减,在区间 ( a, 2] 上单调递增,且 x ? a 是 ? 0, 2? 上唯一极值点,所以 f ( x)min ? f (a) ? ?a3 ; (3) 当 a ? 2 时, 在区间 ? 0, 2? 上, f ?( x) ? 0(仅有当 a ? 2 时 f ?(2) ? 0 ) , 所以 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上单调递减 所以函数 f ( x)min ? f (2) ? 8 ? 4a ? 2a2 . 综上所述,当 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x ) 的最小值为 ? a ,
3

a ? 2 时,函数 f ( x) 的最小值为 8 ? 4a ? 2a 2
19.解: (Ⅰ)设椭圆方程为

??????13 分

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) .则依题意 a 2 b2

2 2 2 c ? 2 , b ? 1 ,所以 a ? b ? c ? 3

于是椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

???.4 分

(Ⅱ)存在这样的直线 l . 依题意,直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,则

? x2 2 ? ? y ?1 由? 3 得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ? y ? kx ? m ?

因为 ? ? 36k 2m2 ? 4(3k 2 ? 1)(3m2 ? 3) ? 0 得 3k 2 ? m2 ? 1 ? 0 ?????? ①

6km ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ? 3k ? 1 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 中点为 P( x0 , y0 ) ,则 ? 2 ? x x ? 3m ? 3 1 2 ? 3k 2 ? 1 ?
于是 x0 ? ?

3km m , y0 ? kx0 ? m ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1

因为 AM ? AN ,所以 AP ? MN . 若 m ? 0 ,则直线 l 过原点, P(0, 0) ,不合题意. 若 m ? 0 ,由 k ? 0 得,

y0 ? 1 k ? ?1 ,整理得 2m ? 3k 2 ? 1 ??????② x0

由①②知, k 2 ? 1 , 所以 ?1 ? k ? 1 又 k ? 0 ,所以 k ? (?1,0)

(0,1) .
???.2 分

???.14 分

20. (Ⅰ) a1 ? 0.45 , a2 ? 1.215 .

(Ⅱ) an?1 ? an ? (n ? 0.5) ? 0.9n?1 ? (n ? 0.5) ? 0.9n

? 0.9n (0.9n ? 0.45 ? n ? 0.5) ? ?0.1? 0.9n ? (n ? 9.5) .
则当 1 ? n ? 9 时, an?1 ? an ? 0 ,则 1 ? n ? 10 时,数列 ?an ? 为递增数列, n ? N ;
?

当 n ? 10 时, an?1 ? an ? 0 ,数列 ?an ? 为递减数列, n ? N .
?

???.7 分
?

(Ⅲ)由上问可得, bn ? an?1 ? an ? ?0.1? 0.9n ? (n ? 9.5) , n ? N . 令 cn ?

bn ?1 ,即求数列 ?cn ? 的最大项和最小项. bn
1 bn?1 n ? 8.5 ). ? 0.9 ? ? 0.9(1 ? n ? 9.5 bn n ? 9.5

则 cn ?

则数列 ?cn ? 在 1 ? n ? 9 时递减,此时 c9 ? cn ? 0.9 ,即 ?0.9 ? cn ? 0.9 ; 数列 ?cn ? 在 n ? 10 时递减,此时 0.9 ? cn ? c10 ,即 0.9 ? cn ? 2.7 .

因此数列 ?cn ? 的最大项为 c10 ? 2.7 ,最小项为 c9 ? ?0.9 . 分

???.?.13


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