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广东省深圳市2015届高三上学期第一次五校联考数学(文)试题


2015 届高三年级第一次五校联考文科数学试卷
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.命题人:二高范铯

注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动, 用橡皮

擦干净 后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以 上要求作答的答案无效. 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂 的,答案无效. 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式为 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3
2 2 2

n 个数据的方差 s 2 ? ? ? x ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ??? ? ? xn ? x ? ? 1 n?
1

? ,其中 x ? x1 ? x2 ? ? ? n

? xn

.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 A ? {0,1, 2,3} ,集合 B ? { x ? N x ? 2} ,则 A A. {3} B. {0,, 1 2} C. {1, 2}

B?

D. {0,,, 1 2 3}

2.设复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 2 ? xi ( x ? R) ,若 z1 ? z2 ? R ,则 x ? A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

3.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题 中正确的是 A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? B. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

4.已知向量 p ? (2, ?3) , q ? ( x,6) 且 p // q ,则 | p ? q | 的值为 A. 5 B. 13 C.5 D.13

5.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a5 ? 8, S 3 ? 6 ,则 a9 ?

A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 6.执行如右图所示的程序框图,则输出的 y =
开始

1 A. B. 1C. ?1 D. 2 2
7.将函数 y ? cos(

y?2
i ?1

?
6

? 2 x ) 的图像向右平移

?
12

个单位后 所得的



i ? 2014?

图像的一个对称轴是 A. x ?



?
6

B. x ?

?
4

C. x ?

?
3

D. x ?

?
12

输出y
结束

y ? 1?

1 y

8.函数 f ( x) ? ( x ? 1)cos x 2 在区间[0,4]上的零点个数是 A.4B.5
2

i ? i ?1

C.6
2

D. 7

第(6)题

9.已知直线 l : x ? my ? 4 ? 0 ,若曲线 x ? y ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 上存在两点 P、Q 关于直线 l 对称, 则 m 的值为 A. 2 B. ?2 C. 1 D. ?1

10.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时,有

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 成立,则不等式 x2

f ( x) ? 0 的解集是
A. (?1,0)

(1, ??) B. (?1, 0) C. (1, ??) D. (??, ?1) (1, ??)

二、填空题:本大题共 5 题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 函数 y ?

x ?1 的定义域为. ln x

12.一个几何体的三视图如图 1,则该几何体 的体积为.

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,且一个焦点与抛物线 x2 ? 8 y 的焦点相同,则此双曲线的方程 13.设双曲线 m n
为____. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图, CD 是圆 O 的切线,切点为 C ,点 B 在圆 O 上,

C

D

O
第(14)题

BC ? 2 3 , ?BCD ? 60 ,则圆 O 的面积为________.
0

B

15. (正四棱锥与球体积选做题)棱长为 1 的正方体的外接球的体积为________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2

x x x 1 ? sin cos ? 2 2 2 2

(1 )求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (2)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

17. (本小题满分 13 分) 某中学高三年级从甲(文) 、乙(理)两个年级组各选出 7 名学生参加高校自主招生数学选拔考试,他们取得 的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图所示,其中甲组学生的平均分是 85,乙组学生成绩的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值; (2)计算甲组 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,
5 8
2

甲 9 7 8 9

乙 6 1 1 y 1 1 6

x 0 6 2

求甲组至少有一名学生的概率.

图3

18. (本小题满分 13 分)
o o o 如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45 , ?C ? 90 , ?ADC ? 105 , AB ? BD ,现将四边形 ABCD

沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BDC(如图乙) ,设点 E、F 分别 为棱 AC、AD 的中点. (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)设 CD ? a ,求三棱锥 A-BFE 的体积.

A

F E

D C 乙

B

19. (本小题满分 14 分) 各项均不相等的等差数列 ?an ? 的前四项的和为 S4 ? 14 ,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn ; (2)记 Tn 为数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和,若 Tn ? ?an?1 对任意的正整数 n 都成立,求实数 λ 的最小值. ? an an?1 ?

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的上顶点为 P(0 , 1) ,过 ? 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 .若有一个 a2 b2

菱形 ABCD 的顶点 A 、 C 在椭圆 ? 上,该菱形对角线 BD 所在直线的斜率为 ? 1 . (1)求椭圆 ? 的方程; (2)当直线 BD 过点 (1 , 0) 时,求直线 AC 的方程; (3)当 ?ABC ?

?
3

时,求菱形 ABCD 面积的最大值.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ( x ? ) ? 2 ln x , a ? R . (1)若 a ? 1 ,判断函数 f ( x) 是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,说明理由; (2)设函数 g ( x ) ? ?

1 x

a ,若至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围; x

(3)求函数 f ( x) 的单调区间.

[来源:学科网]

2015 届高三年级第一次五校联考文科数学试卷

答案及评分标准
一、选择题:

题号 答案
二、填空题:

1 B

2 A

3 D

4 B

5 C

6 D

7 A

8 C

9 D

10 A

11.

12.

13.

14.

15.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 12 分)

已知函数

(1)求函数

的最小正周期和值域;(2)若

,求

的值。

16. 解:(1)由已知,

???????????4 分

所以

的最小正周期为

,值域为

.

???????????6 分

(2)由(1)知,

所以

. ????????8 分

所以

, ???????????12 分

或由

得:

????????8 分

两边平方得:

,所以

。????????12 分

17.(本小题满分 13 分) 某中学高三年级从甲(文)、乙(理)两个年级组各选出 7 名学生参加高校自主招生数学选拔考试,他们取得 的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图所示,其中甲组学生的平均分是 85,乙组学生成绩的中位数是 83.

(1)求 和 (2)计算甲组 7 位学生成 绩的方差 ;
[来源:Z.xx.k.Com]

的值;

(3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 求甲组至少有一名学生的概率. 17. 解:(1)∵甲组学生的平均分是 85,

∴ ∴ .??????????1 分

.

∵乙组学生成绩的中位数是 83, ∴ .??????????2 分

(2)甲组 7 位学生成绩的方差为:

?????????5 分 (3)甲组成绩在 90 分以上的学生 有两名,分别记为 乙组成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 , . ??????????6 分

从 这 五 名 学 生 任 意 抽 取 两 名 学 生 共 有 10 种 情 况 : . ??????????9 分

其中甲组至少有一名学生共有 7 种情况: .??????????11 分 记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲组至少有一名学生”为事件 ,



.??????????12 分

答:从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲组至少有一名学生的概率为

.

??????????13 分

18 . (本小题满分 13 分)

如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD AD 的中点. 平面 BDC(如图乙),设点 E、F 分别为棱 AC、

(1)求证:DC (2)设 ,求三棱锥 A-BFE 的体积.

平面 ABC;

(1)证明:在图甲中,∵ ∴ ,

且 即 ??????????1 分 平面 BDC=BD

又在图乙中,∵平面 ABD

平面 BDC ,且平面 ABD

∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥CD.??????????3 分 ∵ 又由 ∴DC ,∴DC⊥BC??????????4 分 ??????????5 分 平面 AB.??????????6 分
[来源:Z。xx。k.Com]

(2)∵点 E、F 分别为 AC、AD 的中点∴EF//CD??????????7 分 又由(1)知,DC 平面 ABC

∴EF⊥平面 ABC ??????????8 分

于是 EF 即为三棱锥 在图甲中,∵ ,

的高,∴ ∴ ,

??????????9 分





,

??????????11 分





??????????12 分



??????????13 分

(若有其他解法,可视情况酌情给分)

19.(本小题满分 14 分) 各项均不相等的等差数列 的前四项的和为 ,且 成等比数列.

(1)求数列

的通项公式

与前 n 项和



(2)记

为数列

的前 n 项和,若

对任意的正整数 n 都成立,求实数 λ 的最小值.

19. 解:(1)设数列 解得 由数列 所以

的公差为 或

,由已知得

??????????2 分

的各项均不相等,所以 ,解得 .

??????????3 分 ??????????4 分





??????????6 分

(2)因为

??????????8 分

所以

??????????10 分

因为



恒成立。即,

,对

恒成立。

等价于



恒成立。??????????11 分



,且在

时取等号??????????13 分

所以实数

的最小值为

.

??????????14 分

20.(本小题满分 14 分)

已知椭圆 菱形

: 的顶点 、

( 在椭圆

)的上顶点为 上,该菱形对角线 过点

,过

的焦点且垂直长轴的弦长为 .若有一个 .

所在直线的斜率为 的方程;

(1)求椭圆

的方程;(2)当直线

时,求直线

(3)当

时,求菱形

面积的最大值.

20.解:(1)依题意,

??????????1 分



,得

,??????????2 分

所以



,??????????3 分

于是椭圆 (2)由已知得直线 设直线 :

的方程为 : ,

。??????????4 分 ,??????????5 分 、 ??????????6 分

由方程组



,??????????7 分



时,

[来源:学科网]

AC 的中点坐标为 因为 是菱形,所以

, 的中点在 上,

,??????????8 分

所以

,解得

,满足

,??????????9 分

所以

的方程为

。??????????10 分

(3)因为四边形

为菱形,且

,所以



所以菱形 由(2)可得

的面积

,??????????11 分

??????????13 分 又因为 ,

所以当且仅当

时,菱形

的面积取得最大值,最大值为

。???14 分

21.(本小题满分 14 分)

已知函数 (1)若 ,判断函数





是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,说明理由;

(2)设函数 (3)求函数

,若至少存在一个 的单调区间.

,使得

成立,求实数 a 的取值范围;

[来源:学|科|网]

21.解:(1)当

时,

,其定义域为(0,+?).

因为 所以 所以函数 (2)由存在一个

,??????????1 分 在(0,+?)上单调递增,??????????2 分 不存在极值. ,使得 ??????????3 分 成立,

等价于

,即

成立??????????4 分



,等价于“当

时,

”.??????????5 分

因为 所以 故 在

,且当

时,



上单调递增,??????????7 分 ,因此 . ??????????8 分

(3)函数

的定义域为



??????????9 分 当 因为 当 时, 时, 在(0,+?)上恒成立,所以 在(0,+?)上单调递减.?????10 分



时,方程

与方程

有相同的实根.

①当 因为 因为 因为 ②当 时,

时,?>0,可得 时, 时, 时, ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 在

, 上单调递增;

,且

?????11 分

在 在

上单调递减; 上单调递增;?????12 分 在(0,+?)上单调递增.

在(0,+?)上恒成立,故

?????13 分 综上所述,当 时, 的单调减区间为(0,+?);



时,

的单调增区间为





单调减区间为 当 时,



的单调增区间为(0,+?).?????14 分


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