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【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 :第4篇 第1节 平面向量的概念及线性运算]


第1节

平面向量的概念及线性运算

【选题明细表】 知识点、方法 平面向量的基本概念 平面向量的线性运算 共线向量问题 综合问题 题号 3、4 1、2、8、10、13 5、6、14 7、9、11、12

一、选择题 1.(2013 泉州模拟)已知 P,A ,B,C 是平面内四点,且 + + = ,那么 一定有( (A)

=2 (C) =2 D )

(B) =2 (D) =2

解析:∵ + + = ,

∴ + = - = + = , ∴ =2 .故选 D.

2.(2013 广东深圳中学阶段测试)在四边形 ABCD 中,AB∥ CD,AB=3DC,E 为 BC 的中点,则 等于( (A) (B) (C) (D) + + + + + =+ , A )

解析: = + = + = + = + = + -

.故选 A.

3.给出下列命题:

①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③λ a=0(λ 为实数),则λ 必为零. ④λ ,μ 为实数,若λ a=μ b,则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的个数为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点. ②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们 的模均为实数,故可以比较大小. ③错误,当 a=0 时,不论λ 为何值,λ a=0. ④错误,当λ =μ =0 时,λ a=μ b=0,此时,a 与 b 可以是任意向量.故选 C. 4.设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是 ( D ) C )

(A)|a|=|b|且 a∥b (B)a=-b (C)a∥b (D)a=2b 解析:∵ 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单位向量, ∴a 与 b 必须方向相同才能满足 = . 故选 D. 5.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥d,那么 ( D )

(A)k=1 且 c 与 d 同向

(B)k=1 且 c 与 d 反向

(C)k=-1 且 c 与 d 同向 (D)k=-1 且 c 与 d 反向 解析:由题意可设 c=λ d,即 ka+b=λ (a-b). (λ -k)a=(λ +1)b. ∵a, b 不共线, ∴ ∴k=λ =-1. ∴c 与 d 反向.故选 D. 6.已知向量 a,b,且 =a+2b, =-5a+6b, =7a-2b,则一定共线的三 点是( A )

(A)A、B、D (B)A、B、C (C)B、C、D (D)A、C、D 解析: = + + =3a+6b=3 . 有公共点 A,

因为 与

所以 A、B、D 三点共线. 故选 A.

7.(2013 石家庄二模)如图,在△ABC 中, =m + ,则实数 m 的值为( (D) C )

=

,P 是 BN 上的一点,若

(A )3 (B)1 (C)

解析:设 则 = + = +λ = +λ ( = +λ



(λ ∈R),

- ) ,

=(1-λ ) + λ 则

解得 m= ,故选 C.

二、填空题

8.(2013 年高考四川卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O, + =λ ,则λ = .

解析:因为 O 为 AC 的中点, 所以 + = =2 ,即λ =2.

答案:2

9.(2013 长春市第四次调研改编)如图,平面内有三个向量 , 其中 与 | |=2,| = 的夹角为 120°, 与 的夹角为 30°,且 |= ,| |=2 ,若 OC=λ . +μ ( λ ,μ ∈R),则

, ,

解析:过 C 作 CD∥OB 交 OA 延长线于 D,在△OCD 中,∠COD=30°,∠ OCD=90°,OC=2 , ∴OD=4,CD=2 ∴ =2 , = . .

∴ =

+ =2 +

∴λ =2,μ = , ∴=. 答案:

10.在?ABCD 中, =a, (用 a,b 表示). 解析: = + = -

=b,

=3

,M 为 BC 的中点,则

=

= b- (a+b)=- a+ b. 答案:- a+ b

11.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直 线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若 =m 为 . , =n ,则 m+n 的值

解析:∵O 是 BC 的中点, ∴ = ( + ). 又∵ =m ∴ = + , =n . ,

∵M、O、N 三点共线, ∴ + =1.∴m+n=2. 答案:2

三、解答题

12.设点 O 在△ABC 内部,且有 4 + 之比. 解:取 BC 的中点 D,连接 OD,

+ =0,求△ABC 与△OBC 的面积



+ =2

,

∵4 + ∴4 =-( ∴ =-

+ =0, + )=-2 . |=2| |, ,

∴O、A、D 三点共线,且|

∴O 是中线 AD 上靠近 A 点的一个三等分点, ∴S△ABC∶S△OBC=3∶2.

13.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中 点, = , =a, =b. , , , , .

用 a,b 表示向量

解:延长 AD 到 G,使 = = = = (a+b), = (a+b), = b,

=

,连接 BG,CG,得到?ABGC,所以 =a+b,

= - = (a+b)-a= (b-2a), = - = b-a= (b-2a). 14.设 e1,e2 是两个不共的线向量,已知 =2e1-8e2, =e1+3e2, =2e1-e2.

(1)求证:A、B、D 三点共线; (2)若 =3e1-ke2,且 B、D、F 三点共线,求 k 的值.

(1)证明:由已知得 =(2e1-e2)-(e1+3e2) = e1-4e2, ∵ =2e1-8e2, ∴ =2 又∵ 与 .

= -

有公共点 B,

∴A、B、D 三点共线. (2)解:由(1)可知 =e1-4e2,

∵ =3e1-ke2,且 B、D、F 三点共线, ∴ =λ (λ ∈R),

即 3e1-ke2=λ e1-4λ e2, 得 解得 k=12.


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