必修3：2.1.2指数函数及其性质

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

情景引入
引题1:某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂x次后， 得到的细胞个数与x的关系式是什么？

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

情景引入
分裂

次数 1次

2次

3次

4次

x次

……

y?2

x

细胞 总数

2个

4个

8个

16个

21

22

23

24

2

x
2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

情景引入
引题2:一把长为1的尺子第一次截去它的一半， 第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第 二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的 次数与剩下的尺子长度之间的关系.

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

情景引入
截取 次数
1次

2次

3次

4次

x次

1 x y?( ) 2

木棰 剩余

1 尺 2

1 尺 4

1 尺 8

1 尺 16

1 x ( ) 尺 2

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

y?2

x

1 x y?( ) 2

思考: 以上两个函数有何共同特征?

(1)均为幂的形式;
(2)底数是一个正的常数; (3) 自变量x在指数位置.

y?a

x

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2.1.2指数函数及其性质

指数函数定义：
x 函数 y=a

（a>0,a≠1）叫做指数函数,

其中x是自变量，函数的定义域为R

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y ? a (a ? 0，且a ? 1) 在函数 “a ? 0，且 a ? 1 ” 为什么规定 呢？
?当x ? 0时 ，ax 恒 等 于 0 若a ? 0, ? x ?当x ? 0时 ，a 无 意 义
x

2.1.2指数函数及其性质 x

1 1 若a ? 0, 如y ? (-4) , 则 对 于 x? , , 4 2 ?, 在 实 数 范 围 内 函 数 值 存 不在 。

若a ? 1, y ? 1 ? 1是一个常量
x
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2.1.2指数函数及其性质 指数函数的特点

1、a 的系数必须为1 2、a必须是参数或常数 3、指数的位置必须是自变量x,或者是可以 通过化简变为x的，如y=2 4.没有尾巴
?x

x

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2.1.2指数函数及其性质

1.判断下列函数哪些是指数函数？

(1) y= 2 (3) y=

x

?1
x
x

(2)y= 3?4 (6) y=

x
x

3

(4) y= ( ?2)

(5) y= 10

2

x ?1

2.函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，求a的值.
a2-3a+3=1 a>0且a≠1
a=1或a=2 ∴a=2

a>0且a≠1

第二教材P57跟踪练习1，P58跟踪练习3，借题发挥1
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2.1.2指数函数及其性质

在同一坐标系中作出如下函数的图像：

y?2

x

y?3

x

?1? y?? ? ?2? x ?1? y?? ? ?3?
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x

2.1.2指数函数及其性质

用描点法作函数 y ? 2 和y ? 3 的图象 .
x x

函 数 图 象 特 征

x y=2x y=3x

… …

-3 1/8

-2 1/4 1/9

-1 1/2 1/3

0 1 1

1 2 3
x

2 4 9

3 8 27

… … …

… 1/27

y y ? 3x

y?2

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x
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2.1.2指数函数及其性质

1 x 1 x 用描点法作函数 y ? ( ) 和y ? ( ) 的图象 . 2 3

函 数 图 象 特 征

x

… -3

-2 4

-1 2

0 1

1

2

3

…

y=2-x … 8

1/2 1/4

1/8 …

y=3-x … 27
1 x y?( ) 2

9
1 y ? ( )x 3

3 y

1

1/3 1/9 1/27 …
若不用描点法，这

两个函数的图象又该如
何作出呢？
1

y=1
X
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2.1.2指数函数及其性质
y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

底数互为倒 数的两个指 数函数图象： 关于y轴对称
1

0

1

x
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2.1.2指数函数及其性质
y y y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1 0

1 1 0 x

x

0

x
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2.1.2指数函数及其性质
y

● 图象共同特征：

y

y ? ax
(a ? 1)

◆图象可向左、右两方无限伸展 ◆图象都在x 轴上方 ◆都经过坐标为（0，1）的点
y ? ax
(0 ? a ? 1)

◆ a＞1时，图象 1 自左至右逐渐上升
0

1 ◆ 0＜a＜1时，图象 自左至右逐渐下降 0

向上无限伸展，向下与x 轴无限接近

x

x
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y 当 x > 0 时，y > 1.

当图 x < 0 时，. 0< y < 1
象

y?a (a ? 1)

x

y
y ? ax (0 ? a ? 1)

y ?1

当 ?x <) 0 时，y > 1； (0,1
当 x > 0 时， 0< y < 1。 x
o

?
o

(0,1)

x

相 同

(1)定义域：?? ?,???

最值

没有最值

(2)值域:

?0,???

奇偶性 没有奇偶性

性 质

点

当x ? 0时, y ? 1 (3)过点（ 0， 1），
(4)在R上是 增函数

不 同 点
2015/9/29

(4)在R上是减函数

2.1.2指数函数及其性质
y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x y ? 2x

1 0
?1? y?? ? ? 3?
x

?1? y?? ? ? 2?

x

x

当a>1时,a越大， y

=a

x

的图像在第一象限越靠近y轴
x

当0<a<1时,a越小， y

?a

的图像在第二象限越靠近y轴
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2.1.2指数函数及其性质

由指数函数的研究 归纳对一般函数研究的基本方法和步骤： 1、先给出函数的定义 2、作出函数图象

3、研究函数性质： ①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它：最值等

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质 已知指数函数 的图象经过点

f ( x) ? a (a ? 0, 且a ? 1) ? 3，? ?，求
x

f (0), f (1), f (?3)
分析：指数函数的图象经过点 1 有 f ?3? ? ? ， 3 3 a ? ? a ? ? 即 ，解得 x 于是有 f ? x ? ? ? 3
0 1 3 3

?3,? ?

，

1 所以： f ?0? ? π ? 1,f ?1? ? π ? π ,f ?? 3? ? π ? . π
?1
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2.1.2指数函数及其性质

比较下列各题中两个值的大小： (1) 1.72.5 , 1.73 （2）0.8-0.1， 0.8-0.2
(3) 1.70.3 ,1 (4) 1.70.3 , 0.93.1 比较指数大小的方法
①构造函数法：要点是利用函数的单调性，数 的特征是同底不同指(包括可以化为同底的)， 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特 征是不同底不同指。
2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

练习： 1. 用“＞”或“＜”填空： 3.5 ?4.5 2.7 ＜ ?3.3 ＞ 1 . 01 1.01 9.9 0.99 m , n 2. m 已知下列不等式，比较 的大小 n

?1?2

m?n (2)0.2 m ? 0.2 n ; m ? n
?2 ; (3)a m ? a n (0 ? a ? 1) (4)a ? a ?a ? 1?
m n

m?n m?n
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已知两个幂的大小，比较两个指数的的大小

（方法：利用指数函数的单调性）

2.1.2指数函数及其性质

变式1：(1)已知0.3x≥0.37,求实数x的取值集合.

(2)已知 5x<

1 25

, 求实数x的取值集合.
2 x ?4

(3) a

3 x ?1

?a

(a ? 0, a ? 1)

对af(x)>ag(x)(a>0且a≠1) 当a>1时，f(x)>g(x)，当0<a<1时，f(x)<g(x) 2.已知函数f(x)=ax2+3x-4,g(x)=ax2+2x-2(a>0且a≠1),若 f(x)>g(x)，试确定x的取值范围。
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2.1.2指数函数及其性质

3.函数f(x)=(a-1)x在R上是减函数，则a的取值范 围（ ） B
指数函数为减函数，则底数大于0小于1

A、0<a<1 B、1<a<2

4.函数 y ? a (a>1) 在[0,1] 上的最大值与最小
x

2 值的和为 3,则 a ? ______
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2.1.2指数函数及其性质

运用图像的题目
1.如图所示,当0<a<1时,函数y=ax和y=（a-1)x2 的图象只可能是( )
y y y y

x

x

x

x

A

B

C

D
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2.1.2指数函数及其性质

6. 如图为指数函数： x (1) y ? a x ( 2) y ? b x ( 3) y ? c x (4) y ? d 的图象,

y

(1)

( 2)

( 3)
( 4)
O

比较a, b, c, d与1的大小关系 .

x

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2.1.2指数函数及其性质

介绍一些简单函数的图像

y?a y?2

x x ?1

y ? 2 ?1
x

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

函数y ? 2 ? a
方法二：图象平移

x ?4

(a ? 0且a ? 1)

(4,3) 的图像恒过定点P，则P的坐标为＿＿＿

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

图象平移：

f(x)的图象 向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象; 向右平移a个单位得到f(x－a)的图象;
向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象;

向下平移a个单位得到f(x)－a的图象.

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

指数函数的平移翻折问题：
若函数 y ? a x ? b ? 1( a ? 0, 且a ? 0)的图像 经过第一、三、四象限 .则一定有（）

A. a ? 1且b ? 1 B. 0 ? a ? 1, 且b ? 0。 B. 0 ? a ? 1且b ? 0 D. a ? 1, 且b ? 0

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

若f(x)=a|x|+b（a>0且a≠1)图像与x轴有 交点，求b的取值范围 若f(x)=|ax-1|的图像与直线y=2a有两个 交点，求a的取值范围

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

与指数函数有关的复合函数性质

例 求下列函数的定义域和值域: (1)y=3 (3)
x ?1

;(2)

y ?3

3? 2 x ? x2

;

y ?3

3?2 x? x2

g(x),a>0且a≠1 形如 f(x)=a .

定义域：只要考虑g(x)有意义的取值范围。
值域：令t=g(x)，求出t的值域，进而求出 y=at的值域即可。
2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质 复合函数的单调性讨论！！！

形如复合函数y ? a
f(x) 单调性

f ( x)

的单调性 同增异减：
f(g(x))

f(g(x))的定义域是f(x）、g(x)的定义域的交集
g(x)

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

复合函数的单调性 2 x 例1.讨论函数 f ( x ) ? 3 ?1 的单调性,
并求其值域.
定义域 R R 单调性 单调性

f ( x) ? 3x

(0, ??) (0, ??) (0, ??)

(??, 0)

g ( x) ? x ? 1
2

(??, 0) (??, 0)
2015/9/29

f ( g ( x)) ? 3

x2 ?1

R

2.1.2指数函数及其性质

复合函数的单调性
例1.讨论函数 并求其值域.
?1? f ( x) ? ? ? ?3?
2
x
x2 ?1 1 f ( x) ? ( ) 3

的单调性, 单调性

定义域 R R

单调性

(0, ??) (0, ??) (0, ??)

(??, 0)

g ( x) ? x ? 1
?1? f ( g ( x )) ? ? ? ?3?
x 2 ?1

(??, 0) (??, 0)
2015/9/29

R

2.1.2指数函数及其性质 复合函数y=ag(x)的单调性

结论(1)函数y=ag(x)(a>1)的单调性相同
结论(2)函数y=ag(x)(0<a<1)的单调性相反

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

复合函数的单调性
?1? 判断函数f ( x) ? ? ? 在（-?， 0） ?2? 上的单调性，并证明你的结论。
x 2 ?3 x ? 2

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

复合函数的奇偶性
x 10 求证函数 f ( x ) ? x ? 1 是奇函数,增函数， 10 ? 1

并求其值域.

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

复合函数的单调性
例 .设a是实数, f ( x ) ? a ?

对于任意 a, f(x)为增函数； 证明:任取x1,x2 ,且 x1 ? x2 . 2 ? 2 f(x1)－f(x2)= x2 x1 2 ?1 2 ?1 x1 x2 x1 x2 2 ? (2 ? 2 ) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? x2 ? x2 . x1 x (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 1 ? 1) ∵ y=2x在R上是增函数,且x1＜x2 , ? 2 x1 ? 2 x2 , x1 x2 x1 x2 又 2 ? 1 ? 0, 2 ? 1 ? 0, 即2 ? 2 ? 0. ∴f(x1)-f(x2)＜0, 即 f(x1)＜f(x2). 故 对于a 取任意实数,f(x) 为增函数. 2015/9/29

2 . (1)试证明 x 2 ?1

2.1.2指数函数及其性质

复合函数的单调性

的值,使f(x)为奇函数.

2 . f ( x ) ? a ? 例 .设a是实数, 2 x ? 1 (2)试确定a

解:若 f ( x ) 为奇函数,则 f(-x )=-f (x),

2 2 ), ? ? ( a ? ?x x 2 ?1 2 ?1 x ? 2a ? 2 ? 2 x ? x 2 1? 2 2 ?1 x 2 ? 2 ? 2 ? 2. ? 1 ? 2x 利用 f(0)= 0 ∴ a = 1. 即a?
2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今 后能将人口年平均增长率控制在1％，那么经 过20年后，我国人口数最多为多少（精确到 16亿 亿）？
年份

1999 2000 2001 2002 2003 …… 2019

经过的年数 0 1 2

人口数（亿） 13
13 ? ?1 ? 1%?
13 ? ?1 ? 1%? 3 13 ? ?1 ? 1%?
2

3
4 x 20

13 ? ?1 ? 1%?

4

13 ? ?1 ? 1%?

x
20

13 ? ?1 ? 1%?

2015/9/29

2.1.2指数函数及其性质

指数增长模型
设原有量为Ｎ，平均增长率为p，则

对于经过时间x后的总量为可表示为：

y ? N (1 ? p)
x

x

指数型函数：y ? k ? a ?k ? R, a ? 0且a ? 1?

2015/9/29

天空的幸福是披一身蓝，

大地的幸福是披一身绿， 老师的幸福是认识了你们，
愿同学们的幸福指数像底数大于1 的指数函数一样无穷增！

2015/9/29