2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
情景引入
引题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2 个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂x次后, 得到的细胞个数与x的关系式是什么?
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
情景引入
分裂 次数 1次
2次
3次
4次
x次
……
y?2
x
细胞 总数
2个
4个
8个
16个
21
22
23
24
2
x
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
情景引入
引题2:一把长为1的尺子第一次截去它的一半, 第二次截去剩余部分的一半,第三次截去第 二次剩余部分的一半,依次截下去,问截的 次数与剩下的尺子长度之间的关系.
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
情景引入
截取 次数
1次
2次
3次
4次
x次
1 x y?( ) 2
木棰 剩余
1 尺 2
1 尺 4
1 尺 8
1 尺 16
1 x ( ) 尺 2
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2.1.2指数函数及其性质
y?2
x
1 x y?( ) 2
思考: 以上两个函数有何共同特征?
(1)均为幂的形式;
(2)底数是一个正的常数; (3) 自变量x在指数位置.
y?a
x
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2.1.2指数函数及其性质
指数函数定义:
x 函数 y=a
(a>0,a≠1)叫做指数函数,
其中x是自变量,函数的定义域为R
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y ? a (a ? 0,且a ? 1) 在函数 “a ? 0,且 a ? 1 ” 为什么规定 呢?
?当x ? 0时 ,ax 恒 等 于 0 若a ? 0, ? x ?当x ? 0时 ,a 无 意 义
x
2.1.2指数函数及其性质 x
1 1 若a ? 0, 如y ? (-4) , 则 对 于 x? , , 4 2 ?, 在 实 数 范 围 内 函 数 值 存 不在 。
若a ? 1, y ? 1 ? 1是一个常量
x
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2.1.2指数函数及其性质 指数函数的特点
1、a 的系数必须为1 2、a必须是参数或常数 3、指数的位置必须是自变量x,或者是可以 通过化简变为x的,如y=2 4.没有尾巴
?x
x
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2.1.2指数函数及其性质
1.判断下列函数哪些是指数函数?
(1) y= 2 (3) y=
x
?1
x
x
(2)y= 3?4 (6) y=
x
x
3
(4) y= ( ?2)
(5) y= 10
2
x ?1
2.函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
a2-3a+3=1 a>0且a≠1
a=1或a=2 ∴a=2
a>0且a≠1
第二教材P57跟踪练习1,P58跟踪练习3,借题发挥1
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2.1.2指数函数及其性质
在同一坐标系中作出如下函数的图像:
y?2
x
y?3
x
?1? y?? ? ?2? x ?1? y?? ? ?3?
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x
2.1.2指数函数及其性质
用描点法作函数 y ? 2 和y ? 3 的图象 .
x x
函 数 图 象 特 征
x y=2x y=3x
… …
-3 1/8
-2 1/4 1/9
-1 1/2 1/3
0 1 1
1 2 3
x
2 4 9
3 8 27
… … …
… 1/27
y y ? 3x
y?2
1
-3 -2 -1
o
1
2
3
x
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2.1.2指数函数及其性质
1 x 1 x 用描点法作函数 y ? ( ) 和y ? ( ) 的图象 . 2 3
函 数 图 象 特 征
x
… -3
-2 4
-1 2
0 1
1
2
3
…
y=2-x … 8
1/2 1/4
1/8 …
y=3-x … 27
1 x y?( ) 2
9
1 y ? ( )x 3
3 y
1
1/3 1/9 1/27 …
若不用描点法,这
两个函数的图象又该如
何作出呢?
1
y=1
X
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2.1.2指数函数及其性质
y
?1? y?? ? ? 2?
x
?1? y?? ? ? 3?
x
y ? 3x
y ? 2x
底数互为倒 数的两个指 数函数图象: 关于y轴对称
1
0
1
x
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2.1.2指数函数及其性质
y y y
?1? y?? ? ? 2?
x
y ? ax
(a ? 1)
?1? y?? ? ? 3?
x
y ? 3x
y ? 2x
y ? ax
(0 ? a ? 1)
1 1 0
1 1 0 x
x
0
x
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
y
● 图象共同特征:
y
y ? ax
(a ? 1)
◆图象可向左、右两方无限伸展 ◆图象都在x 轴上方 ◆都经过坐标为(0,1)的点
y ? ax
(0 ? a ? 1)
◆ a>1时,图象 1 自左至右逐渐上升
0
1 ◆ 0<a<1时,图象 自左至右逐渐下降 0
向上无限伸展,向下与x 轴无限接近
x
x
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y 当 x > 0 时,y > 1.
当图 x < 0 时,. 0< y < 1
象
y?a (a ? 1)
x
y
y ? ax (0 ? a ? 1)
y ?1
当 ?x <) 0 时,y > 1; (0,1
当 x > 0 时, 0< y < 1。 x
o
?
o
(0,1)
x
相 同
(1)定义域:?? ?,???
最值
没有最值
(2)值域:
?0,???
奇偶性 没有奇偶性
性 质
点
当x ? 0时, y ? 1 (3)过点( 0, 1),
(4)在R上是 增函数
不 同 点
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(4)在R上是减函数
2.1.2指数函数及其性质
y
?1? y?? ? ? 2?
x
?1? y?? ? ? 3?
x
y ? 3x y ? 2x
1 0
?1? y?? ? ? 3?
x
?1? y?? ? ? 2?
x
x
当a>1时,a越大, y
=a
x
的图像在第一象限越靠近y轴
x
当0<a<1时,a越小, y
?a
的图像在第二象限越靠近y轴
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
由指数函数的研究 归纳对一般函数研究的基本方法和步骤: 1、先给出函数的定义 2、作出函数图象
3、研究函数性质: ①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它:最值等
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质 已知指数函数 的图象经过点
f ( x) ? a (a ? 0, 且a ? 1) ? 3,? ?,求
x
f (0), f (1), f (?3)
分析:指数函数的图象经过点 1 有 f ?3? ? ? , 3 3 a ? ? a ? ? 即 ,解得 x 于是有 f ? x ? ? ? 3
0 1 3 3
?3,? ?
,
1 所以: f ?0? ? π ? 1,f ?1? ? π ? π ,f ?? 3? ? π ? . π
?1
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
比较下列各题中两个值的大小: (1) 1.72.5 , 1.73 (2)0.8-0.1, 0.8-0.2
(3) 1.70.3 ,1 (4) 1.70.3 , 0.93.1 比较指数大小的方法
①构造函数法:要点是利用函数的单调性,数 的特征是同底不同指(包括可以化为同底的), 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特 征是不同底不同指。
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
练习: 1. 用“>”或“<”填空: 3.5 ?4.5 2.7 < ?3.3 > 1 . 01 1.01 9.9 0.99 m , n 2. m 已知下列不等式,比较 的大小 n
?1?2
m?n (2)0.2 m ? 0.2 n ; m ? n
?2 ; (3)a m ? a n (0 ? a ? 1) (4)a ? a ?a ? 1?
m n
m?n m?n
2015/9/29
已知两个幂的大小,比较两个指数的的大小
(方法:利用指数函数的单调性)
2.1.2指数函数及其性质
变式1:(1)已知0.3x≥0.37,求实数x的取值集合.
(2)已知 5x<
1 25
, 求实数x的取值集合.
2 x ?4
(3) a
3 x ?1
?a
(a ? 0, a ? 1)
对af(x)>ag(x)(a>0且a≠1) 当a>1时,f(x)>g(x),当0<a<1时,f(x)<g(x) 2.已知函数f(x)=ax2+3x-4,g(x)=ax2+2x-2(a>0且a≠1),若 f(x)>g(x),试确定x的取值范围。
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
3.函数f(x)=(a-1)x在R上是减函数,则a的取值范 围( ) B
指数函数为减函数,则底数大于0小于1
A、0<a<1 B、1<a<2
4.函数 y ? a (a>1) 在[0,1] 上的最大值与最小
x
2 值的和为 3,则 a ? ______
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
运用图像的题目
1.如图所示,当0<a<1时,函数y=ax和y=(a-1)x2 的图象只可能是( )
y y y y
x
x
x
x
A
B
C
D
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
6. 如图为指数函数: x (1) y ? a x ( 2) y ? b x ( 3) y ? c x (4) y ? d 的图象,
y
(1)
( 2)
( 3)
( 4)
O
比较a, b, c, d与1的大小关系 .
x
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
介绍一些简单函数的图像
y?a y?2
x x ?1
y ? 2 ?1
x
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
函数y ? 2 ? a
方法二:图象平移
x ?4
(a ? 0且a ? 1)
(4,3) 的图像恒过定点P,则P的坐标为___
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
图象平移:
f(x)的图象 向左平移a个单位得到f(x+a)的图象; 向右平移a个单位得到f(x-a)的图象;
向上平移a个单位得到f(x)+a的图象;
向下平移a个单位得到f(x)-a的图象.
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
指数函数的平移翻折问题:
若函数 y ? a x ? b ? 1( a ? 0, 且a ? 0)的图像 经过第一、三、四象限 .则一定有()
A. a ? 1且b ? 1 B. 0 ? a ? 1, 且b ? 0。 B. 0 ? a ? 1且b ? 0 D. a ? 1, 且b ? 0
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
若f(x)=a|x|+b(a>0且a≠1)图像与x轴有 交点,求b的取值范围 若f(x)=|ax-1|的图像与直线y=2a有两个 交点,求a的取值范围
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
与指数函数有关的复合函数性质
例 求下列函数的定义域和值域: (1)y=3 (3)
x ?1
;(2)
y ?3
3? 2 x ? x2
;
y ?3
3?2 x? x2
g(x),a>0且a≠1 形如 f(x)=a .
定义域:只要考虑g(x)有意义的取值范围。
值域:令t=g(x),求出t的值域,进而求出 y=at的值域即可。
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质 复合函数的单调性讨论!!!
形如复合函数y ? a
f(x) 单调性
f ( x)
的单调性 同增异减:
f(g(x))
f(g(x))的定义域是f(x)、g(x)的定义域的交集
g(x)
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
复合函数的单调性 2 x 例1.讨论函数 f ( x ) ? 3 ?1 的单调性,
并求其值域.
定义域 R R 单调性 单调性
f ( x) ? 3x
(0, ??) (0, ??) (0, ??)
(??, 0)
g ( x) ? x ? 1
2
(??, 0) (??, 0)
2015/9/29
f ( g ( x)) ? 3
x2 ?1
R
2.1.2指数函数及其性质
复合函数的单调性
例1.讨论函数 并求其值域.
?1? f ( x) ? ? ? ?3?
2
x
x2 ?1 1 f ( x) ? ( ) 3
的单调性, 单调性
定义域 R R
单调性
(0, ??) (0, ??) (0, ??)
(??, 0)
g ( x) ? x ? 1
?1? f ( g ( x )) ? ? ? ?3?
x 2 ?1
(??, 0) (??, 0)
2015/9/29
R
2.1.2指数函数及其性质 复合函数y=ag(x)的单调性
结论(1)函数y=ag(x)(a>1)的单调性相同
结论(2)函数y=ag(x)(0<a<1)的单调性相反
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
复合函数的单调性
?1? 判断函数f ( x) ? ? ? 在(-?, 0) ?2? 上的单调性,并证明你的结论。
x 2 ?3 x ? 2
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
复合函数的奇偶性
x 10 求证函数 f ( x ) ? x ? 1 是奇函数,增函数, 10 ? 1
并求其值域.
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
复合函数的单调性
例 .设a是实数, f ( x ) ? a ?
对于任意 a, f(x)为增函数; 证明:任取x1,x2 ,且 x1 ? x2 . 2 ? 2 f(x1)-f(x2)= x2 x1 2 ?1 2 ?1 x1 x2 x1 x2 2 ? (2 ? 2 ) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? x2 ? x2 . x1 x (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 1 ? 1) ∵ y=2x在R上是增函数,且x1<x2 , ? 2 x1 ? 2 x2 , x1 x2 x1 x2 又 2 ? 1 ? 0, 2 ? 1 ? 0, 即2 ? 2 ? 0. ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 故 对于a 取任意实数,f(x) 为增函数. 2015/9/29
2 . (1)试证明 x 2 ?1
2.1.2指数函数及其性质
复合函数的单调性
的值,使f(x)为奇函数.
2 . f ( x ) ? a ? 例 .设a是实数, 2 x ? 1 (2)试确定a
解:若 f ( x ) 为奇函数,则 f(-x )=-f (x),
2 2 ), ? ? ( a ? ?x x 2 ?1 2 ?1 x ? 2a ? 2 ? 2 x ? x 2 1? 2 2 ?1 x 2 ? 2 ? 2 ? 2. ? 1 ? 2x 利用 f(0)= 0 ∴ a = 1. 即a?
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
截止到1999年底,我国人口约13亿。如果今 后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经 过20年后,我国人口数最多为多少(精确到 16亿 亿)?
年份
1999 2000 2001 2002 2003 …… 2019
经过的年数 0 1 2
人口数(亿) 13
13 ? ?1 ? 1%?
13 ? ?1 ? 1%? 3 13 ? ?1 ? 1%?
2
3
4 x 20
13 ? ?1 ? 1%?
4
13 ? ?1 ? 1%?
x
20
13 ? ?1 ? 1%?
2015/9/29
2.1.2指数函数及其性质
指数增长模型
设原有量为N,平均增长率为p,则
对于经过时间x后的总量为可表示为:
y ? N (1 ? p)
x
x
指数型函数:y ? k ? a ?k ? R, a ? 0且a ? 1?
2015/9/29
天空的幸福是披一身蓝,
大地的幸福是披一身绿, 老师的幸福是认识了你们,
愿同学们的幸福指数像底数大于1 的指数函数一样无穷增!
2015/9/29