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辽宁省大连二十四中、四十八中联考2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年辽宁省大连二十四中、四十八中联考高一(上)期中数学试卷

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. 设集合 U={1, 2, 3, 4, 5}, A={2, 4}, B={1, 2, 3}, 则图中阴影部分所表示的集合是( )

A.{4} B.{2,4}

C.{4,5

}

D.{1,3,4}

2.已知集合 A={a,b},集合 B={0,1},下列对应不是 A 到 B 的映射的是( A. B. C. D.

)

3.下列函数与 y=﹣x 是同一函数的是( A. B. C.

) D.

4.若函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如 下: f(1)=﹣2 f (1.375)=﹣0.260
3 2

3

2

f (1.5)=0.625 f (1.4375)=0.162

f (1.25)=﹣0.984 f (1.40625)=﹣0.054 )

那么方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5

5.已知集合 A={1,16,4x},B={1,x2},若 B? A,则 x=( A.0 B.﹣4 C.0 或﹣4 D.0 或±4

)

6.函数 f(x)=( ) A.a≤﹣4 B.a≤﹣2

在区间上是单调减函数,则实数 a 的取值范围是( C.a≥﹣2 D.a>﹣4

)

7.已知函数 f(x)=

g(x)=

,则函数 f 的所有零点之

和是( A.

) B. C. D.

8.已知函数 y=f(x) ,x∈R,f(0)≠0,且满足 f(x1)+f(x2)=2f( 则函数 f(x)的奇偶性为( )

)f(

) ,

A.是奇函数而不是偶函数 B.是偶函数而不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

9.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x﹣4(x≥0) ,若 f(x﹣2)>0,则 x 的取值范围是( A. (﹣∞,0) B. (0,4) C. (4,+∞) D. (﹣∞,0)∪(4,+∞)

)

10.已知函数 f(x)=

,满足对任意的 x1≠x2 都有

<0 成立,则 a 的取值范围是(

)

A. (0, ]

B. (0,1) C.上的函数 f(x)满足:对于任意的 x1,x2∈,都有 f(x1+x2)

=f(x1)+f(x2)﹣2014,且 x>0 时,有 f(x)>2014,f(x)的最大值、最小值分别为 M, N,则 M+N 的值为( )

A.2014 B.2015 C.4028 D.4030

12.已知 f(x)=

,若存在实数 m,n∈,且 m<n 使得 f(x)在区间上

的值域为,则这样的实数对(m,n)共有( A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对

)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知函数 f(x)= ,若 f(a)= ,则 f(﹣a)=__________.

14. 已知点 P1 (x1, 2015) 和 P2 (x2, 2015) 在二次函数 f (x) =ax2+bx+24 的图象上, 则f (x1+x2) 的值为__________.

15.定义:若函数 f(x)与 g(x)有共同的解析式和值域,则称 f(x)与 g(x)是“相似 函数”,若 f(x)=x +1,x∈{±1,±2},则与 f(x)相似的函数有__________个.
2

16.求函数 f(x)=2

的值域为__________.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.计算: (1) (0.0081) 一﹣1× ﹣10×0.027 ;

(2)已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求



18.已知函数 f(x)= 集合 B,U=R. (1)求(?UA)∩B;

的定义域为集合 A,函数 g(x)=( ) (﹣1≤x≤0)的值域为

x

(2)若 C={x|a≤x≤2a﹣1}且 C? B,求实数 a 的取值范围.

19.已知函数 f(x)=x ﹣2ax+5(a>1) ,若 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,且对任意 的 x1,x2∈,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,求 a 的取值范围.

2

20.已知函数 f(x)=|x+ |﹣|x﹣ |. (1)指出 f(x)=|x+ |﹣|x﹣ |的基本性质(两条即可,结论不要求证明) ,并作出函数 f (x)的图象; (2)关于 x 的方程 f (x)+m|f(x)|+n=0(m,n∈R)恰有 6 个不同的实数解,求 m 的取值 范围.
2

21.定义:对于函数 f(x) ,若在定义域内存在实数 x,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,则称 f(x) 为“局部奇函数”. (1)已知二次函数 f(x)=ax +2x﹣4a(a∈R) ,试判断 f(x)是否为定义域 R 上的“局部奇 函数”?若是,求出满足 f(﹣x)=﹣f(x)的 x 的值;若不是,请说明理由; (2)若 f(x)=2x+m 是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值范围.
2

22.函数 f(x)的定义域为 R,并满足以下条件: ①对任意的 x∈R,有 f(x)>0; ②对任意的 x,y∈R,都有 f(xy)= ; ③ .
y

(Ⅰ)求 f(0)的值; (Ⅱ)求证并判断函数 f(x)在 R 上的单调性;
(x+1) (Ⅲ)解关于 x 的不等式: >1.

2015-2016 学年辽宁省大连二十四中、四十八中联考高一(上)期中数学试卷

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. 设集合 U={1, 2, 3, 4, 5}, A={2, 4}, B={1, 2, 3}, 则图中阴影部分所表示的集合是( )

A.{4} B.{2,4}

C.{4,5}

D.{1,3,4}

【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】图中阴影部分所表示了在集合 A 中但不在集合 B 中的元素构成的集合. 【解答】解:图中阴影部分所表示了在集合 A 中但不在集合 B 中的元素构成的集合, 故图中阴影部分所表示的集合是{4}, 故选 A. 【点评】本题考查了集合的图示运算,属于基础题.

2.已知集合 A={a,b},集合 B={0,1},下列对应不是 A 到 B 的映射的是( A. 【考点】映射. 【专题】函数的性质及应用. B. C. D.

)

【分析】经检验 A、B、D 中的对应是映射,而现象 C 中的对应属于“一对多”型的对应,不 满足映射的定义. 【解答】解:按照映射的定义,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一确定的 一个元素与之对应, 故 A、B、D 中的对应是映射,而现象 C 中的对应属于“一对多”型的对应,不满足映射的定 义. 故选 C.

【点评】本题主要考查映射的定义,属于基础题.

3.下列函数与 y=﹣x 是同一函数的是( A. B. C.

) D.

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】对于 A,可利用三次方根的定义求解; 对于 B,考虑两函数定义域是否相同; 对于 C,可以根据二次根式的定义将函数进行化简,或考虑其值域; 对于 D,可以根据两函数的定义域进行判断. 【解答】解:函数 y=﹣x 的定义域为 R,值域为 R. 在选项 A 中,根据方根的定义, 在选项 B 中,y= 一函数. 在选项 C 中, ﹣x 不是同一函数. 在选项 D 中, =﹣ =﹣|x|=﹣x≤0(x≥0) ,与 y=﹣x 的值域不同,定义域不 |x|≤0,与 y=﹣x 的值域不同,对应关系不完全相同,所以与 y= ,且定义域为 R,所以与 y=﹣x 是同一函数. (x≠1) ,与 y=﹣x 的定义域不同,所以与 y=﹣x 不是同

同,所以与 y=﹣x 不是同一函数. 故答案为 A. 【点评】本题考查了函数的定义域,值域,对应法则等. 1.两函数相等的条件是: (1)定义域相同, (2)对应法则相同, (3)值域相同,三者缺一不 可.事实上,只要两函数定义域相同,且对应法则相同,由函数的定义知,两函数的值域一 定相同,所以只需满足第(1) 、 (2)两个条件即可断定两函数相同(相等) . 2.若两函数的定义域、对应法则、值域这三项中,有一项不同,则两函数不同.

4.若函数 f(x)=x3+x2﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如 下: f (1)=﹣2 f (1.5)=0.625 f (1.25)=﹣0.984

f (1.375)=﹣0.260

f (1.4375)=0.162

f (1.40625)=﹣0.054 )

那么方程 x3+x2﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 【考点】二分法求方程的近似解. 【专题】应用题.

【分析】由图中参考数据可得 f(1.43750>0,f(1.40625)<0,又因为题中要求精确到 0.1 可得答案. 【解答】解:由图中参考数据可得 f(1.43750)>0,f(1.40625)<0,又因为题中要求精 确到 0.1, 所以近似根为 1.4 故选 C. 【点评】本题本题主要考查用二分法求区间根的问题,属于基础题型.在利用二分法求区间 根的问题上,如果题中有根的精确度的限制,在解题时就一定要计算到满足要求才能结束.

5.已知集合 A={1,16,4x},B={1,x },若 B? A,则 x=(
2

)

A.0

B.﹣4 C.0 或﹣4

D.0 或±4

【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】集合. 【分析】根据集合的包含关系与集合元素的互异性进行判断. 【解答】解:∵A={1,16,4x},B={1,x },若 B? A,则 x =16 或 x =4x,则 x=﹣4,0,4.
2 2 2

又当 x=4 时,4x=16,A 集合出现重复元素,因此 x=0 或﹣4. 故答案选:C. 【点评】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性

6.函数 f(x)=( ) A.a≤﹣4 B.a≤﹣2

在区间上是单调减函数,则实数 a 的取值范围是( C.a≥﹣2 D.a>﹣4

)

【考点】指数型复合函数的性质及应用. 【专题】数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】先求出二次函数的对称轴方程,再根据二次函数的图象和性质列出不等式求解.

【解答】解:记 u(x)=x +ax=(x+ ) ﹣

2

2



其图象为抛物线,对称轴为 x=﹣ ,且开口向上, ∵函数 f(x)=( ) 在区间上是单调减函数,

∴函数 u(x)在区间上是单调增函数, 而 u(x)在的所有零点之和是( A. B. C. ) D.

【考点】函数的零点. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】先求得 f 的解析式,x≥0 时,由 于 0,舍去) ;x<0 时,由 ,可解得:x=1 或 1﹣ (小

=0,可解得:x=﹣ ,从而可求函数 f 的所有零点之和.

【解答】解:∵f(x)=

g(x)=



∴f=

,且 f=x ﹣2x+2, ( 0<x<2)

2

分情况讨论:①x≥2 或 x=0 时,由 舍去) ; ②x<0 时,由 =0,可解得:x=﹣ .
2

,可解得:x=1

或 1﹣

(小于 0,

③当 0<x<2 时,由 x ﹣2x+2=0,无解. ∴函数 f 的所有零点之和是 1 故选:B. 【点评】本题主要考察了函数的零点,函数的性质及应用,属于基本知识的考查. = .

8.已知函数 y=f(x) ,x∈R,f(0)≠0,且满足 f(x1)+f(x2)=2f( 则函数 f(x)的奇偶性为( )

)f(

) ,

A.是奇函数而不是偶函数 B.是偶函数而不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】计算题;定义法;函数的性质及应用. 【分析】先令 x1=x2=0,代入得 f(0)=1,再令 x1=x,x2=﹣x,代入得 f(﹣x)=f(x) ,所以 该函数为偶函数. 【解答】解:令 x1=x2=0,代入 f(x1)+f(x2)=2f( 2f(0)=22,由于 f(0)≠0, 所以 f(0)=1, 再令 x1=x,x2=﹣x,代入得,f(x)+f(﹣x)=2f(0)?f(x) , 即 f(﹣x)=f(x) , 根据函数奇偶性的定义知,f(x)为偶函数, 故选 B. 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断,用到了函数的特殊值和函数奇偶性的定义,属 于中档题. )f( )得,

9.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2 ﹣4(x≥0) ,若 f(x﹣2)>0,则 x 的取值范围是( A. (﹣∞,0) B. (0,4) C. (4,+∞) D. (﹣∞,0)∪(4,+∞)

x

)

【考点】指数型复合函数的性质及应用. 【专题】整体思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】先利用偶函数的图象关于 y 轴对称得出 f(x)>0 的解集,再运用整体思想求 f(x ﹣2)>0 的解集. 【解答】解:根据题意,当 x≥0 时.f(x)=2 ﹣4, 令 f(x)=2x﹣4>0,解得 x>2, 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数 f(x) ,其图象关于 y 轴对称, ∴不等式 f(x)>0 在 x∈R 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) , 因此,不等式 f(x﹣2)>0 等价为:x﹣2∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) , 解得 x∈(﹣∞,0)∪(4,+∞) , 故选 D.
x

【点评】本题主要考查了指数型复合函数的图象和性质,涉及函数的奇偶性和不等式的解法, 属于中档题.

10.已知函数 f(x)=

,满足对任意的 x1≠x2 都有

<0 成立,则 a 的取值范围是(

)

A. (0, ]

B. (0,1) C.上的函数 f(x)满足:对于任意的 x1,x2∈,都有 f(x1+x2)

=f(x1)+f(x2)﹣2014,且 x>0 时,有 f(x)>2014,f(x)的最大值、最小值分别为 M, N,则 M+N 的值为( )

A.2014 B.2015 C.4028 D.4030 【考点】函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据抽象函数的表达式,利用函数单调性的性质即可得到结论. 【解答】解:∵对于任意的 x1,x2∈,都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2014, ∴令 x1=x2=0,得 f(0)=2014, 再令 x1+x2=0,将 f(0)=2014 代入可得 f(x)+f(﹣x)=4028. 设 x1<x2,x1,x2∈, 则 x2﹣x1>0,f(x2﹣x1)=f(x2)+f(﹣x1)﹣2014, ∴f(x2)+f(﹣x1)﹣2014>2014. 又∵f(﹣x1)=4028﹣f(x1) , ∴可得 f(x2)>f(x1) , 即函数 f(x)是递增的, ∴f(x)max=f,f(x)min=f(﹣2015) . 又∵f+f(﹣2015)=4028, ∴M+N 的值为 4028. 故选:C. 【点评】本题主要考查函数值的计算,利用赋值法,证明函数的单调性是解决本题的关键, 综合性较强,有一定的难度.

12.已知 f(x)=

,若存在实数 m,n∈,且 m<n 使得 f(x)在区间上

的值域为,则这样的实数对(m,n)共有( A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 【考点】函数的值域. 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用.

)

【分析】作函数 f(x)=

的图象,分类讨论以确定函数的定义域与值域,

从而解得.

【解答】解:作函数 f(x)=

的图象如右图,

①当 0≤m<n≤3 时,f(x)=

在区间单调递增,



,即



解得,m=0,n=1; ②当 3≤m<n≤5 时,f(x)=10﹣2x 在单调递减,则 ,即 ,

解得,m=n=

(舍) ;

③当 0≤m<3<n<5 时,可知函数的最大值为 f(3)=4=n, 从而可得函数的定义域及值域为,而 f(4)=2, (i)当 m=2 时,定义域,f(2)= >f(4)=2,故值域为符合题意; (ii)当 m<2 时,f(m)= =m 可得 m=1,n=4,或 m=0,n=4;符合题意;

综上可得符合题意的有(0,1) , (0,4) , (1,4) , (2,4) ;

故选:D.

【点评】本题考查了数形结合的思想的应用及分类讨论的思想应用.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知函数 f(x)= 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的表达式判断函数的奇偶性,利用函数的奇偶性即可得到结论. 【解答】解:∵f(x)= , ,若 f(a)= ,则 f(﹣a)=﹣ .

∴f(﹣x)= 即 f(x)是奇函数. ∵f(a)= , ∴f(﹣a)=﹣f(a)=﹣ , 故答案为:﹣



【点评】本题主要考查函数值的计算,根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键,比较 基础.

14. 已知点 P1 (x1, 2015) 和 P2 (x2, 2015) 在二次函数 f (x) =ax +bx+24 的图象上, 则f (x1+x2) 的值为 24. 【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题;方程思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】先把 P1 点与 P2 点坐标代入二次函数解析式得 ax1 +bx1+24=2015,ax2 +bx2+24=2015, 两式相减得到 a(x1 ﹣x2 )+b(x1﹣x2)=0,而 x1≠x2,所以 a(x1+x2)+b=0,即 x1+x2=﹣ , 然后把 x=﹣ 代入 f(x)=ax2+bx+24 进行计算即可
2 2 2 2

2

【解答】解:∵P1(x1,2015)和 P2(x2,2015)是二次函数 f(x)=ax2+bx+24(a≠0)的图 象上两点,∴ax12+bx1+24=2015,ax22+bx2+24=2015, ∴a(x12﹣x22)+b(x1﹣x2)=0, ∵x1≠x2, ∴a(x1+x2)+b=0,即 x1+x2=﹣ , 把 x=﹣ 代入 f(x)=ax +bx+24(a≠0)得 f(x)=a×(﹣
2

) +b×(﹣ )+24=24.

2

故答案为:24. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象上点的 坐标满足其解析式.
2

15.定义:若函数 f(x)与 g(x)有共同的解析式和值域,则称 f(x)与 g(x)是“相似 函数”,若 f(x)=x +1,x∈{±1,±2},则与 f(x)相似的函数有 8 个. 【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】由新定义写出函数 f(x)=x +1,x∈{±1,±2}所有“相似函数”得答案. 【解答】解:由题目中给出的“相似函数”的定义, 可得与 f(x)=x +1,x∈{±1,±2}是相似函数的函数有: f(x)=x +1,x∈{﹣1,﹣2}; f(x)=x2+1,x∈{﹣1,2}; f(x)=x2+1,x∈{1,﹣2}; f(x)=x2+1,x∈{1,2};
2 2 2 2

f(x)=x +1,x∈{﹣1,±2}; f(x)=x2+1,x∈{1,±2}; f(x)=x2+1,x∈{±1,﹣2}; f(x)=x2+1,x∈{±1,2}.共 8 个. 故答案为:8. 【点评】本题是新定义题,考查了函数的概念,关键是做到不重不漏,是中档题.

2

16.求函数 f(x)=2 【考点】函数的值域.

的值域为(0, ]∪(2,+∞) .

【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】分离常数法 函数的值域. 【解答】解:∵
2 2

=1+

,从而确定 1+

≤﹣1 或 1+

>1,再确定

=1+



∵﹣1≤x ﹣1 且 x ﹣1≠0, ∴ ≤﹣2 或 >0,

∴1+

≤﹣1 或 1+

>1,

∴2

∈(0, ]∪(2,+∞) ;

故答案为: (0, ]∪(2,+∞) . 【点评】本题考查了分离常数法的应用及指数函数与反比例函数的应用.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.计算: (1) (0.0081) 一﹣1× ﹣10×0.027 ;

(2)已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求



【考点】有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据指数和对数的运算性质解答即可. 【解答】解: (1)原式=, 由﹣1≤x≤0 得, 所以(?UA)∩B={1};? (2)因为 C={x|a≤x≤2a﹣1}且 C? B, 所以对集合 B 分 B=?和 B≠?两种情况, ,则函数 g(x)的值域 B=,

则 a>2a﹣1 或

,解得 a<1 或 1≤a≤ ,

所以实数 a 的取值范围是(﹣∞, ]? 【点评】本题考查补、交、并的混合运算,由集合之间的关系求出参数的范围,及指数函数 的性质,属于基础题.

19.已知函数 f(x)=x2﹣2ax+5(a>1) ,若 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,且对任意 的 x1,x2∈,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,求 a 的取值范围. 【考点】二次函数的性质. 【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由条件利用二次函数的性质可得 a≥2.故只要 f(1)﹣f(a)≤4 即可,即 (a﹣ 1) ≤4,求得 a 的范围. 【解答】解:由于函数 f(x)=x2﹣2ax+5 的图象的对称轴为 x=a,函数 f(x)=x2﹣2ax+5 在 区间(﹣∞,2]上单调递减,∴a≥2. 故在区间∈上,1 离对称轴 x=a 最远,故要使对任意的 x1,x2∈,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤4, 只要 f(1)﹣f(a)≤4 即可,即 (a﹣1) ≤4,求得﹣1≤a≤3. 再结合 a≥2,可得 2≤a≤3, 故 a 的取值范围为: .
2 2

【点评】本题主要二次函数的性质,绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于基 础题.

20.已知函数 f(x)=|x+ |﹣|x﹣ |. (1)指出 f(x)=|x+ |﹣|x﹣ |的基本性质(两条即可,结论不要求证明) ,并作出函数 f (x)的图象; (2)关于 x 的方程 f (x)+m|f(x)|+n=0(m,n∈R)恰有 6 个不同的实数解,求 m 的取值 范围.
2

【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;作图题;数形结合;函数的性质及应用.

【分析】 (1)化简 f(x)=

,判断函数的性质,再作其图象即可;

(2)结合右图可知方程 x2+mx+n=0 有两个不同的根 x1,x2,且 x1=2,x2∈(0,2) ;从而可得 故 x +mx+n=(x﹣2) (x﹣x2) ,从而解得.
2

【解答】解: (1)化简可得 f(x)=



故 f(x)是偶函数,且最大值为 2;

作其图象如右图, (2)∵关于 x 的方程 f2(x)+m|f(x)|+n=0(m,n∈R)恰有 6 个不同的实数解, ∴结合右图可知, 方程 x2+mx+n=0 有两个不同的根 x1,x2, 且 x1=2,x2∈(0,2) ; 故 x +mx+n=(x﹣2) (x﹣x2) =x2﹣(2+x2)x+2x2, 故 m=﹣(2+x2) , 故﹣4<m<﹣2.
2

【点评】本题考查了分段函数的应用及绝对值函数的应用,同时考查了数形结合的思想应用.

21.定义:对于函数 f(x) ,若在定义域内存在实数 x,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,则称 f(x) 为“局部奇函数”. (1)已知二次函数 f(x)=ax +2x﹣4a(a∈R) ,试判断 f(x)是否为定义域 R 上的“局部奇 函数”?若是,求出满足 f(﹣x)=﹣f(x)的 x 的值;若不是,请说明理由; (2)若 f(x)=2x+m 是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值范围. 【考点】二次函数的性质. 【专题】综合题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)若 f(x)为“局部奇函数”,则根据定义验证条件是否成立即可;
2

(2)利用局部奇函数的定义,求出使方程 f(﹣x)=﹣f(x)有解的实数 m 的取值范围,可 得答案. 【解答】解: (1)f(x)为“局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f(﹣x)=﹣f(x)有解. 当 f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R)时, 方程 f(﹣x)=﹣f(x)即 2a(x ﹣4)=0,有解 x=±2, 所以 f(x)为“局部奇函数”. (2)当 f(x)=2x+m 时,f(﹣x)=﹣f(x)可化为 2x+2﹣x+2m=0, 因为 f(x)的定义域为,所以方程 2x+2﹣x+2m=0 在上有解. 令 t=2x,t∈,则﹣2m=t+
2

设 g(t)=t+ ,则 g'(t)=1﹣

=



当 t∈(0,1)时,g'(t)<0,故 g(t)在(0,1)上为减函数, 当 t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,故 g(t)在(1,+∞)上为增函数. 所以 t∈时,g(t)∈. 所以﹣m∈,即 m∈. 【点评】本题主要考查新定义的应用,利用新定义,建立方程关系,然后利用函数性质进行 求解是解决本题的关键,考查学生的运算能力.

22.函数 f(x)的定义域为 R,并满足以下条件: ①对任意的 x∈R,有 f(x)>0; ②对任意的 x,y∈R,都有 f(xy)=y; ③ .

(Ⅰ)求 f(0)的值; (Ⅱ)求证并判断函数 f(x)在 R 上的单调性;
(x+1) (Ⅲ)解关于 x 的不等式: >1.

【考点】抽象函数及其应用. 【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)可以令 y=0,代入 f(xy)=y,即可求得 f(0)的值;

(Ⅱ)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,可令 x1= P1,x2= P2,故 p1<p2,再判断 f(x1)﹣f(x2) 的符号,从而可证其单调性; , (Ⅲ)利用条件得到 f(x ﹣1)>f(0) ,根据 f(x)是增函数代入不等式,解不等式即可. 【解答】解: (1) : (Ⅰ)∵对任意 x∈R,有 f(x)>0, ∴令 x=0,y=2 得:f(0)=2? f(0)=1; (Ⅱ)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则令 x1= P1,x2= P2,故 p1<p2, ∵函数 f(x)的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x∈R,有 f(x)>0;②对任意 x, y∈R,有 f(xy)= ;③ ∴f(x1)﹣f(x2)=f( P1)﹣f( P2)= ﹣ <0, ∴f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)是 R 上的单调增函数. (Ⅲ)∵f(0)=1, : ∴
(x+1) (x+1) P1 P2 y 2

>1.

=f( (x﹣1) (x+1) )>f(0) .

∴x ﹣1>0, 解得 x<﹣1,或 x>1, ∴不等式的解集为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) . 【点评】 本题给出抽象函数, 求特殊的函数值, 根据函数的单调性并依此解关于 x 的不等式. 着 重考查了函数的单调性及其应用、基本初等函数的图象与性质和抽象函数具体化的处理等知 识点,属于中档题.

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