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湖南省衡阳市八中2014届高三上学期第二次月考试题 数学(理)


衡阳市八中 2014 届高三第二次月考试题 理科数学
时量:120 分钟 满分:150 分 命题人:刘美容 审题人:颜军 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设集合 U ? 1, 2, 3, 4 , M ? 1, 2, 3 , N ? 2, 3, 4 ,则 CU ( M ? N ) =( A )

?

?

?

?

?

?

A. 1, 4

? ?

B. 2, 3

? ?

C. 2, 4

? ?

D.?

2.设集合 M ? x 0 ? x ? 3 , N ? x 0 ? x ? 2 ,则 a ? M” “a ? N” 是 的( B ) “

?

?

?

?

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
2

), x ? R ,则 f ( x) 是( B )
B.最小正周期为?的偶函数

A.最小正周期为?的奇函数

C.最小正周期为 的奇函数 2
2

?

D.最小正周期为 的偶函数 2
2

?

5.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? ( D )

A. ?

4 3

B.

5 4
1

C. ?

3 4

D.

4 5
1

6.若 (2m ? 1) 2 ? ( m2 ? m ? 1) 2 ,则实数 m 的取值范围是( D )

A.( ??,

? 5 ?1 ] 2

B.[

5 ?1 , ??) 2

C.( ?1, 2)

D.[

5 ?1 , 2) 2

?1 x x ? 4, ?( ) , 7. 已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f (2 ? log2 3) 的值为( A ) ? f ( x ? 1), x ? 4, ?

A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 3
3

8.已知 f ( x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? x ,则函 数 f ( x) 的图像在区间 [0, 6] 上与 x 轴的交点个数为( B )

A.6

B.7

C.8

D.9

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分 ,共 35 分.把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上) 9.

? (? x
0
1

1

2

? 1)dx =

2 3
1

.

x3 2 解: ? ( ? x ? 1) dx ? ( ? ? x) ? 0 3 3 0
2

10. 已知函数 f ( x) ?

log 1 (3 x ? 5) ,则 f ( x) 的定义域为
2

5 ( , 2] 3

.

解: log 1 (3 x ? 5) ? 0 ? 0 ? 3 x ? 5 ? 1 ?
2
2

5 5 ? x ? 2 ,所以定义域为 ( , 2] 3 3

11.若曲线 y ? 2 x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则切线 l 的方程为

4x ? y ? 2 ? 0
解:设切点为 ( x0 , y0 ) , y? ? 4 x ,则 4 x0 ? 4 ? x0 ? 1,? y0 ? 2 ,所以切线方程为:

y ? 2 ? 4( x ? 1) ? 4 x ? y ? 2 ? 0
12.已知 cos ? ?

3 5 , cos(? ? ? ) ? ? , ? , ? 都是锐角,则 cos ? = 5 13 3 5 , cos(? ? ? ) ? ? , 5 13

33 65

解:因为 ? , ? 都是锐角,且 cos ? ?

所以 sin ? ?

4 12 , sin(? ? ? ) ? , 则 5 13 5 3 12 4 33 ? ? ? ? 13 5 13 5 65

cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? ?

π π 13.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的部分图象如图所示, 2 2 2 则 f (0) 的值是 解:?

y

? 3

.

3 5? ? 3 T ? ? (? ) ? ?, 4 12 3 4

? T ? ? ,? ? ? 2

?

?
3

O

5? 12
-2

x

把(

5 5 5 ? ? , 2) 代入,得 2 sin( ? ? ? ) ? 2 ? ? ? ? ? ? 2k? 6 6 2 12

?? ? ?

?
3

? 2k? , k ? Z,? ?

?
2

?? ?

?
2

?? ? ?

?
3

? f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

) ? f (0) ? 2 sin( ? ) ? ? 3 3 3

?

14.对任意两个实数 x1, x2 ,定义 max( x1, x2 ) ? ? 则 max( f ( x), g( x)) 的最小值为 -1

? x1, x1 ? x2, ? 2 若 f ( x) ? x ? 2, g( x) ? ? x , ? x , x ? x2 . ? 2 1
.

? x2 ? 2, x ? ?2或x ? 1 ? 解: max( f ( x), g( x)) ? ? ,所以 max( f ( x), g( x)) 的最小值为-1 ? ? x, ?2 ? x ? 1 ?
15.已知集合 M ? ( x, y) y ? f ( x) ,若对于任意实数 ( x1, y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M , 使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ① M ? ?( x, y) y ?

?

?

? ?

1? x ? ;② M ? ( x, y) y ? e ? 2 ;③ M ? ( x, y) y ? cos x x?

?

?

?

?

④ M ? ( x, y) y ? ln x .其中是“垂直对点集”的序号是 解:对于①,注意到 x1 x2 ?

?

?

②③

.

1 ? 0 无实数解,因此①不是“垂直对点集”; 对于②,注意 x1 x2
x

到过原点任意作一条直线与曲线 y ? e ? 2 相交,过原点与该直线垂直的直线必与曲线

y ? e x ? 2 相交, 因此②是“垂直对点集”; 对于③, 与②同理; 对于④, 注意到对于点 (1,0) ,
不存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 1 ? x2 ? 0 ? ln x2 ? 0 ,因为 x2 ? 0 与 x2 ? 0 矛盾,因此④不 是“垂直对点集”. 答案:②③

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3A cos x , A cos 2x) ( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的最大值

2

为 4. (1)求 A ; (2)求 f ( x) 在 x ? [0, 解: (1) f ( x) ?

?
2

]上的值域.

A 3 A ? cos 2 x ? A sin 2 x ? cos 2 x ? A sin(2 x ? ) 2 2 2 6 f ( x) ? m ? n 的最大值为 4,所以 A ? 4 …………………………………………………(4 分) 3 A sin x cos x ?

(2) 0 ? x ?

?
2

?

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 1 ? ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 2 6

? ?2 ? 4 sin(2 x ?

?

所以 f ( x) 在 x ? [0, ]上的值域为 [?2, 4] …………… (12 分) ) ? 4, 6 2

?

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ), x ? R (1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (2)已知 cos( ? ? a) ? 解: 1)f ( x) ? sin( x ? (

1 4

3 4

4 4 ? , cos( ? ? ? ) ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) ,求证: [ f ( ? )]2 ? 2 ? 0 . 5 5 2

?
4

) ? cos( x ?

?
4

?

?
2

) ? sin( x ?

?
4

) ? sin( x ?

?
4

) ? 2 sin( x ?

?
4

)

………………………………………………………………………………………………(4 分)

? T ? 2? , f ( x) 和最小值为-2. ………………………………………………………(6 分)
(2)证明:由已知得

4 4 ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? , cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) 5 5 2 4 ? ? 两式相加得 2cos ? cos ? ? ? ,? 0 ? ? ? ? ? ,? ? ? . 5 2 2 ?[ f ( ? )]2 ? 2 ? 4sin 2

?

4

? 2 ? 0 ………………………………………………………(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ln x , g ( x) ? ln x ? (1)求函数 g ( x) 的极值; (2) 已知 x1 ? 0 ,函数 h( x) ?

a , a ? 0) ( . x

f ( x) ? f ( x1 ) , x ? ( x1 , ??) ,判断并证明 h( x ) 的单调性. x ? x1

解: (1) g '( x) ?

1 a x?a ? 2 ? 2 ,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? a . x x x

当 x ? (0, a) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 是减函数; 当 x ? (a, ??) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 是增函数. ∴当 x ? a 时,g ( x) 有极小值 ln a ? 1 ,g ( x) 无极大值. ………………………… (5 分) (2) h '( x) ?

f '( x)( x ? x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ) ( x ? x1 ) 2

x1 1 (1 ? )( x ? x1 ) ? x ? ln x ? x1 ? ln x1 ? ln x ? 1 ? ln x1 x x = = , ( x ? x1 ) 2 ( x ? x1 ) 2
由(1)知 ? ( x) ?

x1 ? ln x 在 [ x1 , ??) 上是增函数, x

当 x ? ( x1 , ??) 时, ? ( x) ? ? ( x1 ) , 即

x1 ? ln x ? 1 ? ln x1 , x

∴ h '( x) ? 0 , h( x ) 在 ( x1 , ??) 上是增函数. 即 ………………………………………… (12 分) 19. (本小题满分 13 分) 旅行社为某旅行团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为 16000 元.旅行团中的每个人的飞 机票按以下方式与旅行社结算:若旅行团的人数不超过 35 人时,飞机票每张收费 800 元; 若旅行团的人数多于 35 人时,则予以优惠,每多 1 人,每个人的机票费减少 10 元,但旅行 团的人数最多不超过 60 人.设旅行团的人数为 x 人,飞机票价格为 y 元,旅行社的利润为 Q 元. (1) 写出飞机票价格 y 元与旅行团人数 x 之间的函数关系式; (2) 当旅行团人数 x 为多少时,旅行社可获得最大利润?求出最大利润. 解:(1)依题意得,当 1 ? x ? 35 时, y ? 800 ; 当 35 ? x ? 60 时, y ? 800 ? 10( x ? 35) ? ?10 x ? 1150 ;

(1 ? x ? 35, 且x ? N ), ? 800 ?y ?? ……………………………………………… 分) (4 ??10 x ? 1150 (35 ? x ? 60, 且x ? N ),
(2) 设利润为 Q ,则

(1 ? x ? 35, 且x ? N ), ? 800 x ? 16000 Q ? y ? x ? 16000 ? ? ………………… 分) (6 2 ??10 x ? 1150 x ? 16000 (35 ? x ? 60, 且x ? N ).
当 1 ? x ? 35 且 x ? N 时, Qmax ? 800 ? 35 ? 16000 ? 12000 , 当 35 ? x ? 60 且 x ? N 时, Q ? ?10 x 2 ? 1150 x ? 16000 ? ?10( x ? 因为 x ? N ,所以当 x ? 57 或 x ? 58 时, Qmax ? 17060 ? 12000. 故当旅游团人数为 57 或 58 时,旅行社可获得最大利润为 17060 元. …………………(13 分)

115 2 34125 , ) ? 2 2

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f (x) = ln x, g ( x) ? 2 ?

3 ( x ? 0). x

(1)试判断当 f ( x)与g ( x) 的大小关系; (2)试判断曲线 y ? f ( x) 和 存在,说明理由. 解:(1)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F '( x) ? 1 ? 3 ??1分 2
x x

y ? g ( x) 是否存在公切线,若存在,求出公切线方程,若不

由 F '( x) ? 0, 得x=3 , 当0<x<3时,F '( x) ? 0, 当x ? 3时F '( x) ? 0

F ( x) 在区间 (0,3) 单调递减,在区间 (3,+?) 单调递增,………………………………(3 分)
所以 F ( x) 取得最小值为 F (3)=ln3-1>0 ,? F ( x) ? 0, 即 f ( x) ? g ( x) ………………(5 分)

) ( 2 ) 假 设 曲 线 f ( x与
Q(x1 , 2 ?

g ( 有 公 切 线 , 切 点 分 别 为 P(x0 , ln x0 ) 和 x)

3 ). ………………………………………………………………………………(6 分) x1
1 3 3 , g ?( x) ? 2 , ,所以分别以 P(x0 , ln x0 ) 和 Q(x1 , 2 ? ) 为切线的切线方程为 x x x1

因为 f ?( x) ?
y?

x 3x 6 ? ln x0 ? 1, y ? 2 ? 2 ? . ……………………………………………………………(8 分) x0 x1 x1
? 3 x12

令 ? x0 ?

?1

? ?ln x ? 1 ? 2 ? 6 ? 0 x1 ?

即 2 ln x1 ? 6 ? (3 ? ln 3) ? 0. …………………………………………… (10 分) x1

令 h( x) ? 2 ln x1 ? 6 ? (3 ? ln 3). 所 以 由 h?( x) ? 2 ? 6 ? 0 得 x1 ? 3. 显 然 , 当 0 ? x1 ? 3 时 , x1 x1 x 2
1

h?( x ) ? 0,当 x1 ? 3 时, h?( x) ? 0 ,所以 h(x)min =ln3-1>0 ,
所以方程 2 ln x1 ?

6 ? (3 ? ln 3) ? 0. 无解,故二者没有公切线。……………………(13 分) x1

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x
2

(1)若方程 f ( x) ? m ? 0 在 [ , e ]内有两个不等的实根,求实数 m 的取值范围; 为自然对 (e 数的底数) (2) 如果函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 的图象与 x 轴交于两点 A( x1 ,0) 、B( x2 ,0) 且 0 ? x1 ? x2 .求证:

1 e

g ?( px1 ? qx2 ) ? 0 (其中正常数 p, q满足p ? q ? 1, 且q ? p ).
解: (1)由 f ( x) ? 2 ln x ? x ,
2

求导数得到: f ?( x) ?

2 2(1 ? x)(1 ? x) ? 2x ? x x

1 ? ? x ? e ,故 f ?( x) ? 0 在 x ? 1 有唯一的极值点 e 1 1 1 f ( ) ? ?2 ? 2 , f (e) ? 2 ? e2 , f ( x)极大值 ? f (1) ? ?1,且知 f (e) ? f ( ) e e e
故 ?m ? f ( x)在 ? , e ? 上有两个不等实根需满足: e

?1 ?

? ?

?2 ?

1 ? ?m ? ?1 e2
? ? 1? .………………………………………………………(6 分) e2 ? ?

故所求 m 的取值范围为 ?1, 2 ? (2) g ?( x) ? 则?

2 ? x ? a, 又 f ( x) ? ax ? 0 有两个实根 x1 , x2 x

? 2 ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 ? 2 ? 2 ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0 ?

两式相减得到: a ? 于是 g ?( px1 ? qx2 )

2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 )(且x1 ? 0, x2 ? 0) x1 ? x2

?

? 2(ln x1 ? ln x2 ) ? 2 ? 2( px1 ? qx2 ) ? ? ? ( x1 ? x2 ) ? px1 ? qx2 x1 ? x2 ? ?

?

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ? (2 p ? 1)( x2 ? x1 ) px1 ? qx2 x1 ? x2

? 2q ? 1, 且x2 ? x1 ? 0 ,故 (2 p ? 1)( x2 ? x1 ) ? 0
要证: g ?( px1 ? qx2 ) ? 0 ,只需证:

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ?0 px1 ? qx2 x2 ? x1

只需证:

x2 ? x1 x ? ln 1 ? 0? (*) px1 ? qx2 x2



x1 ? t ,则 0 ? t ? 1 x2
1?t ? 0 在 0 ? t ? 1 上恒成立. pt ? q

只需证明: u(t ) ? ln t ?

法一:又? p ? q ? 1, q ?

q q2 1 , 则 ? 1, 从而 2 ? 1 p p 2

于是由 t ? 1 可知 t ?

q2 .故知 u?(t ) ? 0 p2

? u (t )在t ? (0,1) 上为增函数,则 u(t ) ? u(1) ? 0
从而可知 ln

x1 x ?x ? 2 1 ? 0 ,即(*)式成立,从而原不等式得证.………………(13 分) x2 px1 ? qx2
1 1 p2t 2 ? (2 pq ? 1)t ? q 2 ? ? t ( pt ? q)2 t( pt ? q)2
2

法二: u ?( t ) ?

令 ?(t) ? p t ? (2 pq ? 1)t ? q ,
2 2

所以 ?(t) 的对称轴为 t ?

1 ? 2 pq 1 ? 2 p(1 ? q) 1 1 ? ?1? ? , 2 2 p 2 p2 2p 2p

?0 ? p ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ,? 1 ? ? 2 ? ( ? 1)2 ? ? 1 2 p p 2p 2 p 2

所以 ?(t) 在 t ? (0,1) 上单调递减,? ?(t) ? ?(1) ? 0,? u?(t) ? 0

? u (t )在t ? (0,1) 上为增函数,则 u(t ) ? u(1) ? 0
从而可知 ln

x1 x ?x ? 2 1 ? 0 ,即(*)式成立,从而原不等式得证.………………(13 分) x2 px1 ? qx2


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