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构造函数法在高考解导数和数列问题


用构造函数法给出两个结论的证明. (1)构造函数 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 , 所以函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增, f ( x) ? f (0) ? 0 .所以 x ? sin x ? 0 ,即 sin x ? x . (2)构造函数 f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ,则 f

?( x) ?1 ?

1 x ? ?0 .所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 上 1? x 1? x

单调递增, f ( x) ? f (0) ? 0 ,所以 x ? ln(1 ? x) ,即 ln(1 ? x) ? x . 要证 ?1 ?

? ?

1? ? n?

n ?1

1 ? 1? , ? e, 两边取对数,即证 ln ?1 ? ? ? ? n ? n ?1

1 1 ? t, 则 n ? (t ? 1), n t ?1 1 因此得不等式 ln t ? 1 ? (t ? 1) t 1 构造函数 g (t ) ? ln t ? ? 1(t ? 1), 下面证明 g (t ) 在 (1, ??) 上恒大于 0. t 1 1 g ?(t ) ? ? 2 ? 0, t t
事实上:设 1 ? ∴g (t ) 在 (1, ??) 上单调递增, g (t ) ? g (1) ? 0, 即 ln t ? 1 ? ,

1 t

1 ? 1? ∴ ln ?1 ? ? ? , ? n ? n ?1

? 1? ∴?1 ? ? ? n?

n ?1

? e,

以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用.例如:2009 年广东 21,2008 年山东理科 21,2007 年山东理科 22.
2 1.【09 天津· 文】10.设函数 f ( x ) 在 R 上的导函数为 f ?( x ) ,且 2 f ( x) ? xf ?( x) ? x ,下面的不等式

在 R 上恒成立的是 A. f ( x ) ? 0 【答案】A 【解析】由已知,首先令 x ? 0 得 f ( x) ? 0 ,排除 B,D. 令 g ( x) ? x f ( x) ,则 g?( x) ? x ?2 f ( x) ? xf ?( x)? ,
2

B. f ( x ) ? 0

C. f ( x) ? x

D. f ( x ) ? x

① 当 x ? 0 时,有 2 f ( x) ? xf ?( x) ?

g ?( x) ? x 2 ? g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 单调递增,所以当 x

x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,从而 f ( x) ? 0 .
② 当 x ? 0 时,有 2 f ( x) ? xf ?( x) ?

g ?( x) ? x 2 ? g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 单调递减,所以当 x

x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,从而 f ( x) ? 0 .综上 f ( x) ? 0 .故选 A.
【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用.通过分析解析式的特点,考查了分析问题和 解决问题的能力. 2.【09 辽宁· 理】21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x , a ? 1 . 2

(Ⅰ )讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ )证明:若 a ? 5 ,则对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , x1 ? x2 ,有 解:(Ⅰ ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 . x1 ? x2

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) f ?( x) ? x ? a ? ? ? x x x
(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则 f ?( x) ? 故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加.

…………………2 分

( x ? 1) 2 , x

(ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 ;
' 当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 .故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少,

在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加. (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调增加. (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x . 2



g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 x? ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 . x x

由于 1 ? a ? 5, 故 g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0, ??) 单调增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 ,故 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x 1 )? f ( x 2 )? x 1? x 2 ? 0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 , 当 0 ? x1 ? x2 时 , 有 x1 ? x2

f(x f(x ) f ( 1x ) 1 )? f ( x 2 ) 2 ? ? ? ?1. x1 ? x2 x2? x1

………………………………12 分

3.【09 全国Ⅱ · 理】22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? aln ?1 ? x ? 有两个极值点 x1,x2 ,且 x1 ? x2 .
2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2ln 2 . 4

【解】(I)由题设知,函数 f ? x ? 的定义域是 x ? ?1,

f ?? x? ?

2 x2 ? 2 x ? a , 1? x
2

且 f ? ? x ? ? 0 有两个不同的根 x1、x2 ,故 2 x ? 2 x ? a ? 0 的判别式



? ? 4 ? 8a ? 0 , 1 a? , 2



x1 ?

?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a , x2 ? . 2 2

…………………………………①

又 x1 ? ?1, 故 a ? 0 . 因此 a 的取值范围是 (0, ) . 当 x 变化时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的变化情况如下表:

1 2

因此 f ( x ) 在区间 (?1, x1 ) 和 ( x2 , ??) 是增函数,在区间 ( x1 , x2 ) 是减函数. (II)由题设和① 知

?
于是 设函数 则 当t ? ?

1 ? x2 ? 0, a ? ?2 x2 (1 ? x2 ), 2

f ? x2 ? ? x22 ? 2x2 (1? x2 )ln ?1? x2 ? . g ?t ? ? t 2 ? 2t (1 ? t )ln ?1 ? t ? , g? ?t ? ? ?2t (1 ? 2t )ln ?1 ? t ?

1 时, g ?(t ) ? 0 ; 2 1 1 当 t ? (? , 0) 时, g? ? t ? ? 0, 故 g ? t ? 在区间 [? , 0) 是增函数. 2 2

于是,当 t ? (? , 0) 时,

因此

1 1 ? 2ln2 g ? t ? ? g (? ) ? . 2 4 1 ? 2ln 2 f ? x2 ? ? g ( x2 ) ? . 4

1 2

5.2009 届山东省德州市高三第一次练兵(理数)21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 (1, 2] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数. (1)求 f ( x) 、 g ( x) 的表达式; (2)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解; (3)当 b ? ?1 时,若 f ( x ) ? 2bx ? 解:(1) f ?( x) ? 2x ?

1 在 x ∈(0,1] 内恒成立,求 b 的取值范围. x2

a , 依题意 f ?( x) ? 0 , x ? (1,2] ,即 a ? 2 x 2 , x ? (1,2] . x

∵ 上式恒成立,∴a ? 2 ① …………………………1 分 a 又 g ?( x) ? 1 ? ,依题意 g ?( x) ? 0, x ? (0,1) ,即 a ? 2 x , x ? (0,1) . 2 x ∵ 上式恒成立,∴a ? 2 . 由① ② 得a ? 2. ∴ f ( x) ? x 2 ? 2 ln x, g ( x) ? x ? 2 x . ②…………………………2 分 …………………………3 分 …………………………4 分

(2)由(1)可知,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 , 即x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 ? 0. 设 h( x) ? x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 , 则h ?( x) ? 2 x ?

2 1 ?1? , x x

令 h?( x) ? 0 ,并由 x ? 0, 得 ( x ? 1)(2x x ? 2 x ? x ? 2) ? 0, 解知 x ? 1. ………5 分 令 h ?( x) ? 0, 由 x ? 0, 解得0 ? x ? 1. 列表分析: …………………………6 分

x
h?( x) h( x )

(0,1) 递减

1 0 0

(1,+?) + 递增

可知 h( x) 在 x ? 1 处有一个最小值 0, …………………………7 分 当 x ? 0且x ? 1 时, h( x) >0, ∴h( x) ? 0 在(0,+?)上只有一个解. 即当 x>0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解. (3)设 ? ( x) ? x ? 2 ln x ? 2bx ?
2

…………………………8 分

1 2 2 则? ' ( x) ? 2 x ? ? 2b ? 3 ? 0 , …………9 分 2 x x x

?? ( x) 在 (0,1] 为减函数?? ( x)min ? ? (1) ? 1 ? 2b ? 1 ? 0 又 b ? ?1 ………11 分

所以: ? 1 ? b ? 1 为所求范围. …………………………12 分 7.山东省滨州市 2009 年 5 月高考模拟试题(理数)20.(本题满分 12) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln x. (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,设斜率为 k 的直线与函数 y ? f ( x) 相交于两点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )

( x2 ? x1 ) ,求证: x1 ?
解:(Ⅰ)略 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x.

1 ? x2 . k

以下先证

1 ? x1 , k

k?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ? ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

所以只需证

ln x2 ? ln x1 1 ? ,即 x2 ? x1 x1

ln

x2 x2 ? x1 x2 ? ? ? 1. x1 x1 x1
1 t

? t ? 1) ,则 ? ?(t ) ? ? 1 ? 0?(t ? 1) . 设 ? (t ) ? ln t ? t ? 1(
所以在 t ? (1, ??) 时, ? (t ) 为减函数, 即 ln t ? t ? 1??(t ? 1) .又

? (t )? ? ( 1? ) ?? 0 t ?( . 1)

x2 ?1, x1

∴ ln

1 x2 x2 ? ? 1 成立,即 ? x1 . k x1 x1

同理可证 ∴ x1 ?

1 ? x2 . k

1 ? x2 . k 1 sin ? ? x ? ln x 在 ?1, ?? ? 上为增函数,且 ? ? (0, ? ) ,

9.山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地 2009 届高三 5 月联考 22.(本题满分 14 分) 已知函数 g ( x) ?

f ( x) ? mx ?

m ?1 ? ln x , m ? R . x (1)求 ? 的取值范围;
(2)若 f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ? ? 上为单调函数,求 m 的取值范围;

(3)设 h( x ) ? 值范围. 解:

2e ,若在 ?1, e? 上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立,求 m 的取 x

(1)由题意, g ?( x) ? ?

1 sin ? ? x
2

?

1 sin ? ? x ? 1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即 ?0 x sin ? ? x 2

.故 ? ? ( 0 ,? ) ?, ? ?? s ? in ? 0 sin ? ? x ? 1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立, ……………2 分 只须 sin ? ?1 ? 1 ? 0 ,即 sin ? ? 1 ,只有 sin ? ? 1 .结合 ? ? (0, ? ), 得 ? ? (2)由(1),得 f ( x) ? g ( x) ? mx ?

?
2

.…4 分

m mx 2 ? 2 x ? m ? 2 ln x. ? ? f ( x) ? g ( x) ?? ? . x x2

f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ? ? 上为单调函数, ? mx 2 ? 2 x ? m ? 0 或者? mx 2 ? 2 x ? m ? 0 在 ?1, ? ? 恒成立. …………….. 6 分

mx2 ? 2 x ? m ? 0 等价于 m(1 ? x2 ) ? 2x, 即 m ?

2x , 1 ? x2
…………………………………8 分

? ? 2x 2 ? 2 ? 而 ? ,? ? max ? 1???? m ? 1 . 1 ? x2 x ? 1 ? x ? 1 ? x ? x?
? mx2 ? 2 x ? m ? 0 等价于 m(1 ? x2 ) ? 2x, 即 m ?


2x 在 ?1, ? ? 恒成立, 1 ? x2

2x ? ? 0,1? , m ? 0 . 1 ? x2

综上, m 的取值范围是 ? ??,0?

?1, ??? .

………………………………………10 分

(3)构造函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? h( x), F ( x) ? mx ? 当 m ? 0 时, x ? ?1, e ? , mx ?

m 2e ? 2 ln x ? . x x

m 2e ? 0 , ?2 ln x ? ? 0 ,所以在 ?1, e? 上不存在一个 x0 , x x

使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立. 当 m ? 0 时, F ?( x) ? m ?

m 2 2e mx 2 ? 2 x ? m ? 2e ? ? ? . x2 x x2 x2
2

…………12 分

因为 x ? ?1, e? , 所以 2e ? 2 x ? 0 , mx ? m ? 0 ,所以 F ?( x) ? 0 在 ?1, e? 恒成立. 故 F ( x) 在 ?1, e? 上单调递增, F ( x) max ? me ? 解得 m ?

4 4 ? 4 ,只要 me ? ? 4 ? 0 , e e

4e . e ?1
2

故 m 的取值范围是 ?

? 4e ? , ?? ? . 2 ? e ?1 ?

……………………………………………14 分


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