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高中数学三角函数知识点总结(原创版)2


高考三角函数
1.特殊角的三角函数值:
sin 0 = 0 cos 0 = 1 tan 0 = 0 tan3 0 =
0 0 0 0

sin3 0 =

0

1 2

sin 45 =

0

2 2 2 2

/>sin6 0 =
0

0

3 2

sin9 0 =1 cos9 0 =0 tan9 0 无 意 义
0 0

0

cos3 0 =

0

3 2 3 3

cos 45 = tan 45 =1
0

0

1 cos6 0 = 2
tan6 0 = 3
0

2.角度制与弧度制的互化: 3600 ? 2? , 1800 ? ? ,
00
0 30
0

450

60

0

90

0

1200
2? 3

1350
3? 4

1500
5? 6

18 0

0

27 0

0

36 0

0

? 6

? 4

? 3

? 2

?

3? 2

2?

3.弧长及扇形面积公式 弧长公式: l ? ? .r 4.任意角的三角函数 设 ? 是一个任意角,它的终边上一点 p(x,y), (1)正弦 sin ? =
y r
2 2 r= x ? y

扇形面积公式:S= l.r

? ----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径

1 2

余弦 cos ? =

x r

正切 tan ? =

y x

(2)各象限的符号:
y y + O — x —
+

y + x + — + + O —

+
?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?

+ —

O —

sin ?

cos ?

tan ?

5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:sin2 ? + cos2 ? =1。 (2)商数关系:
2

sin ? =tan ? cos ?

6.诱导公式:记忆口诀: 把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 奇变偶不变,符号
看象限。

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

7、三角函数公式: 两角和与差的三角函数关系 sin( ? ? ? )=sin ? · cos ? ? cos ? · sin ? cos( ? ? ? )=cos ? · cos ? ? sin ? · sin ?
tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

倍角公式 sin2 ? =2sin ? · cos ? cos2 ? =cos2 ? -sin2 ? =2cos2 ? -1 =1-2sin2 ?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

降幂公式: 1+cos ? = 2 cos 2 1-cos ? = 2 sin
?
2

升幂公式 cos2 ? ?



2?

2

1 ? cos 2? 2 1 ? cos 2? sin2 ? ? 2

8 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

9.正弦定理 :
a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C

余弦定理:
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ;

b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ;
c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .

三角形面积定理. S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B .
1.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=

1 2

1 2

1 2

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π 。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等

a b c ? ? ? 2R 。 (R 为外接圆半径) sin A sin B sin C
(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。 3.三角形的面积公式:

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2)△= absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2 2 2 a sin B sin C b sin C sin A c 2 sin A sin B (3)△= = = ; 2 sin(B ? C ) 2 sin(C ? A) 2 sin( A ? B)
(1)△= (4)△=2R2sinAsinBsinC。 (R 为外接圆半径) (5)△=

abc ; 4R

(6)△= s(s ? a)(s ? b)(s ? c) ; ? s ?

? ?

1 ? ( a ? b ? c) ? ; 2 ?

(7)△=r·s。 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少 有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三 角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般 可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角 形是斜三角形,则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角关系:A+B+C = π; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (3)边与角关系: 正弦定理

余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA; 它们的变形形式有:a = 2R sinA, 5.三角形中的三角变换

a b c ; ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin A sin B sin C

b2 ? c2 ? a2 sin A a 。 ? , cos A ? 2bc sin B b

三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的 特点。 (1)角的变换 因为在△ ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=- tanC。 sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。

r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半。 (3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠ A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠ B=60°;△ ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等 比数列。

四. 【典例解析】
题型 1:正、余弦定理 (2009 岳阳一中第四次月考) .已知△ ABC 中,AB ? a ,AC ? b ,a ? b ? 0 ,S ?ABC ?

15 , 4

a ? 3, b ? 5 ,则 ?BAC ?
A.. 30 答案 C B . ?150 C. 150
0

( D. 30 或 150
0



例 1. (1)在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形; (2)在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边 长精确到 1cm) 。 解析: (1)根据三角形内角和定理,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 ) ? 66.20 ;
根据正弦定理,

b?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c?

(2)根据正弦定理,

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20 因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. sin B ?
①当 B ? 640 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,

c?

a sin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400

②当 B ?1160 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 , c ?

a sin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400

点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两 解的情形; (2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2. (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A; (2)在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形 解析: (1)∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) =8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: 解法一:∵cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , ∴ A ? 600. 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)

a 2 3 ?sin450 , 解法二:∵sin A ? sin B ? b 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ? 3.8, 2 3 < 2?1.8 ? 3.6, ∴ a < c ,即 00 < A < 900 , ∴ A ? 600. (2)由余弦定理的推论得: cos A?

b2 ? c2 ? a2 87.82 ?161.72 ?134.62 ? 0.5543, ? 2bc 2?87.8?161.7 A ? 56020? ;

cos B ?

c2 ? a2 ?b2 134.62 ?161.72 ?87.82 ? 0.8398, ? 2ca 2?134.6?161.7 B ? 32053? ;

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053?) ? 90047?.
点评:应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围。 题型 2:三角形面积 例 3.在 ?ABC 中,sin A ? cos A ?

2 n A 的值和 ?ABC , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 ta 2

的面积。 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。

? sin A ? cos A ? 2 cos(A ? 45? ) ? 1 ? cos(A ? 45? ) ? . 2

2 , 2

又 0 ? A ? 180 , ? A ? 45 ? 60 , A ? 105 .
? ?

? tan A ? tan(45 ? 60 ) ?

1? 3 ? ?2 ? 3 , 1? 3
2? 6 . 4

sin A ? sin 105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos60? ? cos45? sin 60? ?

S ?ABC ?

1 1 2? 6 3 AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) 。 2 2 4 4

解法二:由 sin A ? cos A 计算它的对偶关系式 sin A ? cos A 的值。

? sin A ? cos A ?

2 2
1 2



? (sin A ? cos A) 2 ? ? 2 sin A cos A ? ?

1 2 ? ? ? 0 ? A ? 180 ,? sin A ? 0, cos A ? 0.
? (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? 2 sin A cos A ? 3 , 2

? sin A ? cos A ?

6 2 s iA n?



① + ② 得

2? 6 。 4 2? 6 。 4

① - ② 得

c oA s?

从而

tan A ?

sin A 2? 6 4 ? ? ? ?2 ? 3 。 cos A 4 2? 6

以下解法略去。 点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算 能力,是一道三角的基础试题。两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢? 例 4. (2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A



AC 的取值范围为
答案 2 ( 2 , 3)

.

解析

设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 , 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?

2 3 , ? cos ? ? 2 2

? AC ? 2 cos ? ? ( 2, 3).
例 5. (2009 浙江理) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且满足 cos

A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5
(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

(I)求 ?ABC 的面积; 解 (1) 因为 cos

A 3 4 A 2 5 ? cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? ,sin A ? , , 又由 AB ? AC ? 3 ? 2 5 5 2 5 1 bc sin A ? 2 2

得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ?

(2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5

例 6. (2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
分析::此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧
2 2

是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现
在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在 ?ABC 中

sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?3 c, 化简并整理得: 2(a2 ? c2 ) ? b2 .又由已知 有: a 2ab 2bc
a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .

解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 .
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2



又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得 b ? 4 . 评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、 提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不 再考的知识和方法了解就行,不必强化训练 题型 4:三角形中求值问题 例 7. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 大值,并求出这个最大值。 B+C π A B+C A 解析:由 A+B+C=π ,得 = - ,所以有 cos =sin 。 2 2 2 2 2 B+C A A A A 1 3 cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin =-2(sin - )2+ ; 2 2 2 2 2 2 2 当 sin π A 1 B+C 3 = ,即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 。 2 2 3 2 2

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



B?C 取得最 2

点评: 运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式, 通过三 角函数的性质求得结果。 例 8. (2009 浙江文) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且满足 cos

A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5
(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.
2

(I)求 ?ABC 的面积; 解(Ⅰ) cos A ? 2 cos

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5
2

又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? 以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为:

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所 5 5

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

点评:本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的 公式以及倍角公式,考察应用、分析和计算能力 题型 5:三角形中的三角恒等变换问题 例 9.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数 列,且 a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及

b sin B 的值。 c 分析:因给出的是 a、b、c 之间的等量关系,要求∠A,需找∠A 与三边的关系,故可
b2 b sin B =a,再用正弦定理可求 的值。 c c 解法一:∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac。

用余弦定理。由 b2=ac 可变形为

又 a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc。
b2 ? c2 ? a2 bc 1 = = ,∴∠A=60°。 2bc 2bc 2 b sin A 在△ABC 中,由正弦定理得 sinB= ,∵b2=ac,∠A=60°, a

在△ABC 中,由余弦定理得:cosA=

b sin B b 2 sin 60? 3 ? =sin60°= 。 c ac 2 解法二:在△ABC 中,



1 1 bcsinA= acsinB。 2 2 2 ∵b =ac,∠A=60°,∴bcsinA=b2sinB。
由面积公式得
3 b sin B =sinA= 。 2 c 评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用 正弦定理。



例 10.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,求 tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan 2 2 2 2

的值。 解析:因为 A、B、C 成等差数列,又 A+B+C=180°,所以 A+C=120°, 从而

A?C A?C ? 3 .由两角和的正切公式, =60°,故 tan 2 2

A C ? tan 2 2 ? 3。 得 A C 1 ? tan tan 2 2 tan
所以 tan

A C A C ? tan ? 3 ? 3 tan tan , 2 2 2 2

tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan ? 3 。 2 2 2 2

点评:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知 角求解,同时结合三角变换公式的逆用。 题型 6:正、余弦定理判断三角形形状 例 11.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案:C 解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B 点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形 方向,通畅解题途径

A、B 为锐角, 例 12. (2009 四川卷文) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,
且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2? 1 ∴ b ? 1

a ? 2 ,c ?

5

21.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2? 1 ∴ b ? 1

a ? 2 ,c ?

5

点评:三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的 语 言转 化为三 角的 符号语 言, 再通过 局部的 换元 ,又 将问题 转化为 我们 熟知 的函数
f (t ) ? t ? 4 ,这些解题思维的拐点,你能否很快的想到呢? t

五. 【思维总结】
1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b; (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短 边所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况;

(4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C。 2.三角形内切圆的半径: r ?

a ? b ? c斜 2S? ,特别地, r直 ? ; a?b?c 2

3.三角学中的射影定理:在△ABC 中, b ? a ? cos C ? c ? cos A ,? 4.两内角与其正弦值:在△ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ,? 5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大 角定理及几何作图来帮助理解” 。


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