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高二数学(理科)第二学期期末考试试卷1


高二数学(理科)第二学期期末考试试卷 1
满分 150 分 姓名: 参考数据: P(?2≥x0) x0 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 考试时间 120 分钟 班级: 得分:



一、选择题:本大题共 10 分,每小题 5 分,共 50 分. 1.若函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3,则 f(x)的解析式可以为 A.f(x)=(x-1)2+3(x-1) B.f(x)=2(x-1) 2 C.f(x)=2(x-1) D.f(x)=x-1 2.(x- 2 y)10 的展开式中 x6y4 项的系数是 A.840 B.-840 C.210 D.-210

3.一个学生能够通过某种英语听力测试的概率是 得通过的概率是 A.

1 ,他连续测试 2 次,那么其中恰有一次获 2
D.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

3 4

4.已知曲线 y=cosx,其中 x∈[0, A.1 B.2

3 π],则该曲线与坐标轴围成的面积等于 2 5 C. D.3 2

5.一位母亲纪录了儿子 3?9 岁的身高的数据(略) ,她根据这些数据建立的身高 y(cm)与年 龄 x 的回归模型为 y =7.19x+73.93,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的 叙述是 A.身高一定是 145.83cm C.身高在 145.83cm 以上 6.若复数 B.身高在 145.83cm 左右 D.身高在 145.83cm 以下

a ? 3i (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i

A.-2 B.4 C.-6 D.6 7.若 z∈C 且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值等于 A.2 B.3 C.4 D.5 8.通过随机询问 250 名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明书,得到如下 2× 2联 表: 女 读营养说明书 不读营养说明书 总计 90 30 120
1

男 60 70 130

总计 150 100 250

从调查的结果分析,认为性别和读营养说明书的关系 A.95%以上认为无关 B.90%?95%认为有关 C.95%?99.9%认为有关 D.99.9%以上认为有关 9.从 4 位男教师和 3 位女教师中选出 3 位教师,派往郊区 3 所学校支教,每校 1 人,要求这 3 位教师中男、女教师都要有,则不同的选派方案有 A.210 种 B.186 种 C.180 种 D.90 种 10.若 A,B,C,D,E,F 六个不同元素排成一列,要求 A 不排在两端,且 B、C 相邻,则不 同的排法共有 A.72 种 B.96 种 C.120 种 D.144 种 二、填空题:每小题 5 分,共 25 分 11.

?

0

?1

(x2+2 x+1)dx=_________________.

12.从一副不含大小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 2 次,每次抽 1 张,已知第 1 次抽到 A, 那么第 2 次也抽到 A 的概率为_______________________. 13.在数列{an}中,a1=3,且 a n?1 =a 2 ,则数列{an}的通项公式 an=_____. n (n 为正整数) 14.若(2x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则 a7+a5+a3+a1=_____________. 15.某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂 1 面、2 面或 3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示___________种不同的信号. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16. (本小题满分 12 分) 用数学归纳法证明:当 n 为正整数时,13+23+33+……+n3=

n 2 (n ? 1) 2 . 4

17. (本小题满分 12 分) 某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个不透明的口袋中装有 10 个红球和 20 个白 球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出 5 个球,至少摸到 3 个红球就中奖,求中奖 概率.

2

18. (本小题满分 12 分) 有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资 X1/元 获得相应应职位的概率 P1 乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应应职位的概率 P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.2 1800 0.1 2000 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?请说明你的理由.

19. (本小题满分 12 分) 先阅读下面的文字,再按要求解答. 如图,在一个田字形地块的 A、B、C、D 四个区域中栽种观赏植物,要求同一区域种同一 种植物,相邻两区域(A 与 D,B 与 C 不相邻)种不同的植物,现有四种不同的植物可供 选择,问不同的种植方案有多少种? A B 某学生给出如下的解答: C D 解:完成四个区域种植植物这件事,可分 4 步, 第一步:在区域 A 种植物,有 C 1 4 种方法; 第二步:在区域 B 种植与区域 A 不同的植物,有 C 1 3 种方法 第三步:在区域 D 种植与区域 B 不同的植物,有 C 1 3 种方法 第四步:在区域 C 种植与区域 A、D 均不同的植物,有 C 1 2 种方法
1 1 1 根据分步计数原理,共有 C 1 4 C 3 C 3 C 2 =72(种)

答:共有 72 种不同的种植方案. 问题: (Ⅰ)请你判断上述的解答是否正确,并说明理由; (Ⅱ)请写出你解答本题的过程.

20. (本小题满分 13 分) 为了研究不同的给药方式(口服与注射)和药的效果(有效与无效)是否有关,进行了相 应的抽样调查,调查结果列表如下:
3

有效 口服 注射 合计 58 64 122

无效 40 31 71

合计 98 95 193

根据 193 个病人的数据,能否作出药的效果与给药方式有关的结论?请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=(x2-2x)ekx(k∈R,e 为自然对数的底数)在(-∞,- 2 ]和[ 2 ,+ ∞)上递增,在[- 2 , 2 ]上递减. (Ⅰ)求实数 k 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,m]上的最大值和最小值.

4

参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 D 13. 32
n ?1

5 B

6 C

7 B

8 D

9 C

10 D

二、填空题: 11.

1 3

12.

1 17

14.1094

15.15

三、解答题: 16.证明: (1)当 n=1 时,左边=1,右边= ∴等式成立. (2)假设当 n=k 时,等式成立,即 13+23+33+……+k3=

12 ? 2 2 =1, 4

k 2 (k ? 1) 2 . 4
3

那么,当 n=k+1 时,有

k 2 (k ? 1) 2 1 +2 +3 +……+k +(k+1) = +(k+1)3. 4 2 2 k k ? 4k ? 4 (k ? 1) 2 (k ? 2) 2 =(k+1)2( +k+1)=(k+1)2 = 4 4 4 2 (k ? 1)[(k ? 1) ? 1] = . 4
3 3 3 3

这就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. 根据(1)和(2) ,可知对 n∈N*等式成立. 17.解:设摸出红球的个数为 x,则 X 服从超几何分布, 其中 N=30,M=10,n=5. 于是中奖的概率为 P(x≥3)=P(x=3)+P(x=4)+P(x=5) =
3 5?3 4 5? 4 5 5?5 C10 C30 C10 C30 C10 C30 ?10 ?10 ?10 + + 5 5 5 C30 C30 C30

≈0.191. 18.解:根据月工资的分布列,可得 EX1=1200× 0.4+1400× 0.3+1600× 0.2+1800× 0.1 =1400. DX1=(1200-1400)2× 0.4+(1400-1400)2× 0.3 2 +(1600-1400) × 0.2+(1800-1400)2× 0.1 =40000 EX2=1000× 0.4+1400× 0.3+1800× 0.2+2200× 0.1 =1400 DX2=(1000-1400)2× 0.4+(1400-1400)2× 0.3
5

+(1800-1400)2× 0.2+(2200-1400)2× 0.1 =112000 因为 EX1=EX2,DX1<DX2. 所以两家单位的月工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的 工资相对分散. 这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工 资差距大一些,就选择乙单位. 注:最后一步言之有理就给 2 分. 19.解: (Ⅰ)上述解答不正确. 理由如下:上述解答中的第四步认为 A、D 区域种植的植物一定是不同的,事实上,已知 条件中规定 A、D 两区域不相邻,所以 A、D 两区域中可以种植不同植物,也可以种植相 同的植物,故解答不正确. 正确解答以种植需要进行合理的分类 (Ⅱ)在 A、B、C、D 四个区域完成种植植物这件事,可分为 A、D 两区域种植同一种植物和 A、D 两区域种植不同种植物两类. ①A、D 两区域种植同一种植物的方法有
1 1 1 C1 4 C 3 C 2 C 3 =36(种)

②A、D 两区域种植不同种植物的方法有
1 1 1 C1 4 C 3 C 2 C 2 =48(种)

根据分类加法原理可知,符合题意的种植方法共有 36+48=84(种) 答:共有 84 种不同的种植方案. 20.解:提出假设 H0:药的效果与给药方式无关系. 根据列联表中的数据,得

193 ? (58 ? 31 ? 40 ? 64) 2 ?= ≈1.3896<2.072. 122 ? 71? 98 ? 95
2

当 H0 成立时,?2>1.3896 的概率大于 15%, 这个概率比较大,所以根据目前的调查数据,不能否定假设 H0,即不能作出药的效果与给 药方式有关的结论. 21.解: (Ⅰ)对函数 f(x)求导,得 f ?(x)=ekx[kx2+(2-2k)x-2]. ∵函数 f(x)在(-∞,- 2 ]和[ 2 ,+∞)上递增, 在[- 2 , 2 ]上递减.而 ekx>0. ∴g(x)=kx2+(2-2k)x-2 在(-∞,- 2 )和( 2 ,+∞)上的函数值恒大于零, g(x)=kx2+(2-2k)x-2 在( 2 -, 2 )上函数值恒小于零. 即不等式 kx2+(2-2k)x-2>0 的解集为 (-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞)
6

∴k>0,且 x=± 2 是方程 kx2+(2-2k)x-2=0 的两个解. 根据韦达定理得,k=1. (Ⅱ)①当 0<m≤ 2 时, ∵f(x)在[- 2 , 2 ]上递减, ∴f(x)在区间[0,m]上的最大值为 f(0)=0, f(x)在区间[0,m]上的最小值为 f(m)=(m2-2m)em. ②当 2 <m≤2 时, ∵f(x)在 [- 2 , 2 ]上递减,f(x)在[ 2 ,+∞)上递增,且 f(0)=f(2)=0, ∴f(x)在[0,m]上的最大值为 f(0)=0, f(x)在区间[0,m]上的最小值为 f( 2 )=(2-2 2 )e ③当 m>2 时,
2



∵f(x)在[- 2 , 2 ]上递减,f(x)在[ 2 ,+∞)上递增,且 f(m)>0=f(0), ∴f(x)在[0,m]上的最大值为 f(m)=(m2-2m)em, f(x)在区间[0,m]上的最小值为 f( 2 )=(2-2 2 )e
2



7


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