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2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(47)直线与圆、圆与圆的位置关系)


课时作业(四十七) [第 47 讲

直线与圆、圆与圆的位置关系]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1.直线 x+ 3y-2=0 被圆(x-1)2+y2=1 截得的线段的长为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 2.从原点向圆 x2+y2-12y+27=0 作两条切线,则

该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( ) A.π B.2π C.4π D.6π 3.[2011· 哈尔滨九中二模] 已知直线 l 过点(-2,0),当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交 点时,其斜率 k 的取值范围是( ) A.(-2 2,2 2) B.(- 2, 2) 1 1 2 2 - , ? C.?- , ? D.? 8 8? ? 4 4 ? ? 2 4.集合 A={(x,y)|x +y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中 r>0,若 A∩B 中有且仅有一个元素,则 r 的取值集合为( ) A.{3} B.{7} C.{3,7} D.{2,7} 能力提升 π ? 5.[2011· 山东实验中学二模] 圆 2x2+2y2=1 与直线 xsinθ+y-1=0? ?θ≠2+kπ,k∈Z? 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 6. [2011· 重庆卷] 在圆 x2+y2-2x-6y=0 内, 过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A.5 2 B.10 2 C.15 2 D.20 2 7.[2011· 吉林一中冲刺] 曲线 y=1+ 4-x2(|x|≤2)与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点 时,实数 k 的取值范围是( ) 5 3 5 ? ? ? A.? ?12,4? B.?12,+∞? 1 3? 5? ? C.? ?3,4? D.?0,12? 8.[2010· 江西卷] 直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点,若 |MN|≥2 3,则 k 的取值范围是( ) 3 ? A.? ?-4,0? 3 -∞,- ?∪[0,+∞) B.? 4? ? 3 3 C.?- , ? ? 3 3? 2 - ,0? D.? ? 3 ? 9.若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1 始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4 的周长,则 a,b 满足 的关系是( ) A.a2+2a+2b-3=0 B.a2+b2+2a+2b+5=0 C.a2+2a+2b+5=0 D.a2-2a-2b+5=0 10.[2011· 吉林一中冲刺] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 x2+y2=4 圆上有且仅有四

个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 11.[2010· 山东卷] 已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为________. → 12.已知直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=2 交于不同的两点 A、B,O 是坐标原点,|OA+ → → OB|≥|AB|,那么实数 m 的取值范围是________. ? ? m ≤?x-2?2+y2≤m2,x,y∈R ? , B = {(x , 13 . [2011· 江苏卷 ] 设集合 A = ??x,y?? ?2 ? ? y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围是________. 14. (10 分)求与圆 x2+y2-2x=0 外切且与直线 x+ 3y=0 相切于点 M(3, - 3)的圆的 方程.

15.(13 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 m,使 m 被圆 C 截得的弦为 AB,且以 AB 为直径的圆过原点?若存在,求出直线 m 的方程;若不存在, 说明理由.

难点突破 16.(12 分)已知与圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0 相切的直线 l 交 x 轴,y 轴于 A,B 两点, |OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2). (1)求证:(a-2)(b-2)=2; (2)求线段 AB 中点的轨迹方程; (3)求△AOB 面积的最小值.

课时作业(四十七) 【基础热身】 1.C [解析] 圆心到直线的距离 d= |1+0-2|
2

1 = , 1 +? 3? 2
2

∴弦长 l=2 r2-d2= 3. 2.B [解析] 圆即 x2+(y-6)2=32,数形结合知所求的圆弧长为圆周长的三分之一, 1 即 ×(2π)×3=2π. 3 3.C [解析] 圆心坐标是(1,0),圆的半径是 1,直线方程是 y=k(x+2),即 kx-y+2k |k+2k| 1 2 2 =0,根据点线距离公式得 2 <1,即 k2< ,解得- <k< . 8 4 4 k +1 4.C [解析] 集合 A,B 表示两个圆,A∩B 中有且仅有一个元素即两圆相切,有内切 和外切两种情况,由题意,外切时,r=3;内切时,r=7,即 r 的值是 3 或 7. 【能力提升】 1 5.A [解析] 圆心到直线的距离 d= ,根据 θ 的取值范围,0≤sin2θ<1,故 1+sin2θ π 1 注意条件θ≠ +kπ,k∈Z时,sinθ≠± 1?. d> =r? 2 ? 2 ? 6.B [解析] 将圆方程配方得(x-1)2+(y-3)2=10. 设圆心为 G,易知 G(1,3). 最长弦 AC 为过 E 的直径,则|AC|=2 10.最短弦 BD 为与 GE 垂直的弦,如图 1-2 所 示. 易知|BG|= 10,|EG|= ?0-1?2+?1-3?2= 5, |BD|=2|BE|=2 BG2-EG2=2 5. 1 所以四边形 ABCD 的面积为 S= |AC||BD|=10 2.故选 B. 2

7.A [解析] 曲线 y=1+ 4-x2为一个半圆,直线 y=k(x-2)+4 为过定点的直线系, |-2k-1+4| 数形结合、再通过简单计算即可. 曲线和直线系如图, 当直线与半圆相切时, 由 1+k2 5 3? 5 3 =2,解得 k= ,又 kAP= ,所以 k 的取值范围是? ?12,4?. 12 4

[解析] 直线过定点(0,3).当直线与圆的相交弦长为 2 3时,由垂径定理定理可 |2k-3+3| 3 得圆心到直线的距离 d=1,再由点到线的距离公式可得 2 =1,解得 k=± 3 .结合图 1+k 3 3 象可知当直线斜率满足 k∈?- , ?时,弦长|MN|≥2 3. ? 3 3?

8.C

9. C [解析] 即两圆的公共弦必过(x+1)2+(y+1)2=4 的圆心, 两圆相减得相交弦的方 2 程为-2(a+1)x-2(b+1)y+a +1=0,将圆心坐标(-1,-1)代入可得 a2+2a+2b+5=0. 10.(-13,13) [解析] 直线 12x-5y+c=0 是平行直线系,当圆 x2+y2=4 上有且只有 |c| 四个点到该直线的距离等于 1 时,得保证圆心到直线的距离小于 1,即 <1,故-13<c<13. 13 11. x+y-3=0 [解析] 由题意, 设所求的直线方程为 x+y+m=0, 设圆心坐标为(a,0), 则由题意知: ?|a-1|?2+2=(a-1)2,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3, ? 2 ? ? ? 故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0,即 m=-3,故所 求的直线方程为 x+y-3=0. 12.(-2,- 2]∪[ 2,2) [解析] 方法 1:将直线方程代入圆的方程得 2x2+2mx+ m2-2=0,Δ=4m2-8(m2-2)>0 得 m2<4,即-2<m<2.设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2 m2-2 → → → → → → → → → =-m,x1x2= ,|OA+OB|≥|AB|即|OA+OB|≥|OB-OA|,平方得OA· OB≥0,即 x1x2 2 m2-2 +y1y2≥0,即 x1x2+(m+x1)(m+x2)≥0,即 2x1x2+m(x1+x2)+m2≥0,即 2× +m(- 2 m)+m2≥0,即 m2≥2,即 m≥ 2或 m≤- 2.综合知-2<m≤- 2或 2≤m<2. → → → → → 方法 2:根据向量加减法的几何意义|OA+OB|≥|AB|等价于向量OA,OB的夹角为锐角 2 2 或者直角,由于点 A,B 是直线 x+y+m=0 与圆 x +y =2 的交点,故只要圆心到直线的距 |m| 离大于或者等于 1 即可,也即 m 满足 1≤ < 2,即-2<m≤- 2或者 2≤m<2. 2 1 13. ≤m≤2+ 2 [解析] 若 m<0,则符合题的条件是:直线 x+y=2m+1 与圆(x-2)2 2 |2-2m-1| 2- 2 2+ 2 +y2=m2 有交点,从而由 ≤|m|,解之得 ≤m≤ ,矛盾; 2 2 2 若 m=0,则代入后可知矛盾; m 1 1 若 m>0,则当 ≤m2,即 m≥ 时,集合 A 表示一个环形区域,且大圆半径不小于 ,即 2 2 2 2 直径不小于 1,集合 B 表示一个带形区域,且两直线间距离为 , 2 从而当直线 x+y=2m 与 x+y=2m+1 中至少有一条与圆(x-2)2+y2=m2 有交点,即可 符合题意,从而有 |2-2m| |2-2m-1| 2- 2 ≤|m|或 ≤|m|,解之得 ≤m≤2+ 2, 2 2 2 1 所以综上所述,实数 m 的取值范围是 ≤m≤2+ 2. 2 14.[解答] 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由题知所求圆与圆 x2+y2-2x=0 外切, 则 ?a-1?2+b2=r+1.① 又所求圆过点 M 的切线为直线 x+ 3y=0, b+ 3 故 = 3.② a-3 |a+ 3b| =r.③ 2 解由①②③组成的方程组得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-4 3,r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4 或 x2+(y+4 3)2=36. 15.[解答] 设存在直线方程为 y=x+b 满足条件, 代入圆的方程得 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 直线与该圆相交则 Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0,解得-3-3 2<b<-3+3 2.

b2+4b-4 , 2 以 AB 为直径的圆过原点时,AO⊥BO,即 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, 把上面式子代入得 b2+4b-4-b(b+1)+b2=0,即 b2+3b-4=0,解得 b=-4 或 b=1,都 在-3-3 2<b<-3+3 2内,故所求的直线是 y=x-4 或 y=x+1. 【难点突破】 x y 16.[解答] (1)证明:圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=1,设直线方程为 + =1,即 a b |a+b-ab| bx+ay-ab=0,圆心到该直线的距离 d= =1,即 a2+b2+a2b2+2ab-2a2b-2ab2 a2+b2 =a2+b2,即 a2b2+2ab-2a2b-2ab2=0,即 ab+2-2a-2b=0,即(a-2)(b-2)=2. 1 (2)设 AB 中点 M(x, y), 则 a=2x, b=2y, 代入(a-2)(b-2)=2, 得(x-1)(y-1)= (x>1, 2 y>1). (3)由(a-2)(b-2)=2 得 ab+2=2(a+b)≥4 ab,解得 ab≥2+ 2(舍去 ab≤2- 2), 当且仅当 a=b 时,ab 取最小值 6+4 2,所以△AOB 面积的最小值是 3+2 2. 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-(b+1),x1x2=


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