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创新设计全国通用2017届高考数学二轮复习考前增分指导一技巧


(二)填空题的解法

填空题是高考试题的第二题型 . 从历年的高考成绩以及平
时的模拟考试可以看出,填空题得分率一直不是很高 . 因为填 空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简,稍有毛 病,便是零分 . 因此,解填空题要求在“快速、准确”上下功 夫,由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程,因此要想

“快速”解答填空题,则千万不可“小题大做”,而要达到
“准确”,则必须合理灵活地运用恰当的方法,在“巧”字上 下功夫.

填空题的基本特点是:(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆 盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体,不需要写出求解

过程而只需要写出结论等特点;(2)填空题与选择题有质的区别:
①填空题没有备选项,因此,解答时不受诱误干扰,但同时也 缺乏提示;②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中,抽 出其中的一些内容留下空位,让考生独立填上,考查方法比较 灵活;(3)从填写内容看,主要有两类:一类是定量填写型,要

求考生填写数值、数集或数量关系 . 由于填空题缺少选项的信
息,所以高考题中多数是以定量型问题出现;另一类是定性填 写型,要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对 象的某种性质,如命题真假的判断等.

方法一 直接法 对于计算型的试题,多通过直接计算求得结果,这是解决填

空题的基本方法.它是直接从题设出发,利用有关性质或结论,
通过巧妙地变形,直接得到结果的方法 . 要善于透过现象抓本质, 有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.

x2 y2 【例 1】 设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个 a b 焦点,P 是 C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小 内角为 30° ,则 C 的离心率为________.
解析 设P
? ?|PF1|+|PF2|=6a, 点在双曲线右支上,由题意得? ? ?|PF1|-|PF2|=2a,

故|PF1|=4a,|PF2|=2a,则|PF2|<|F1F2|,得∠PF1F2=30° , 2a 4a 由sin 30° = ,得 sin sin ∠PF2F1
2

∠PF2F1=1,∴∠PF2F1=90° ,
2

c 在 Rt△PF2F1 中,2c= (4a) -(2a) =2 3a,∴e=a= 3.

答案

3

探究提高

直接法是解决计算型填空题最常用的方法,在计算

过程中,我们要根据题目的要求灵活处理,多角度思考问题, 注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过程简化从 而得到结果,这是快速准确地求解填空题的关键.

【训练 1】 (1)设 θ 为第二象限角,若 cos θ=________.

? π? 1 tan?θ+4?=2,则 ? ?

sin θ+

(2)(2015· 全国Ⅱ卷)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二 氧化硫年排放量(单位: 万吨)柱形图, 以下结论中不正确的是 ( )

A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解析
? π? 1 (1)∵tan?θ+4?= ,∴tan ? ? 2

1 θ=- , 3

? ?3sin θ=-cos θ, 即? 2 又 2 ? ?sin θ+cos θ=1,

θ 为第二象限角,

10 3 10 解得 sin θ= ,cos θ=- . 10 10 10 ∴sin θ+cos θ=- 5 .

(2) 从 2006 年起,将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较,

得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大,A选项正
确;2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多,B选项正确; 虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些,但自2006年以来, 整体呈递减趋势,即C选项正确;自2006年以来我国二氧化硫年 排放量与年份负相关,D选项错误.故选D.

10 答案 (1)- 5 (2)D

方法二 特殊值法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题 的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值 时,可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊 值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特 殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.

1 【例 2】 (1)若 f(x)= +a 是奇函数,则 a=________. x 2 015 -1

(2)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD, →· → =________. 垂足为 P,且 AP=3,则AP AC

解析 (1)因为函数 f(x)是奇函数, 且 1, -1 是其定域内的值, 1 1 所以 f(-1)=-f(1), 而 f(1)=2 014+a, f(-1)= + 2 015-1-1
? 1 ? 2 015 2 015 1 ? ? a=a-2 014.故 a-2 014=- a+2 014 ,解得 a=2. ? ?

(2)把平行四边形 ABCD 看成正方形,则点 P 为对角线的交点, →· → =18. AC=6,则AP AC

1 答案 (1)2 (2)18
探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代 入法,但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题, 对于开放性的问题或者有多种答案的填空题,则不能使用该 种方法求解.

【训练 2】 如图, 在△ABC 中, 点 M 是 BC 的中点, 过点 M 的直线与直线 AB、AC 分别交于不同的两 1 1 → → → → 点 P 、 Q ,若 AP = λ AB , AQ = μ AC ,则 λ + μ = ________.
1 1 解析 由题意可知,λ +μ的值与点 P、Q 的位置无关,而当 1 1 直线 PQ 与直线 BC 重合时,则有 λ=μ=1,所以λ +μ=2.

答案 2

方法三 图象分析法 对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助 数,通过数形结合,往往能迅速作出判断,简捷地解决问题, 得出正确的结果 . 韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的 曲线等,都是常用的图形.

【例 3】(1)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数, 当 x∈[0, 1 3)时,f(x)=|x -2x+ |.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上 2
2

有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是________.

|lg x|(0<x≤10), ? ? (2)已知函数 f(x)=? 1 若 a,b, c 互不相等, - x+6(x>10), ? ? 2 且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是________.

解析

(1)函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]

上有互不相同的 10 个零点, 即函数 y=f(x), x∈[-3,4]与 y=a 的图象有 10 个不同交 点.在坐标系中作出函数 y=f(x)在[-3,4] 上的图象,f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)= 1 f(1)=f(2)=f(3)=f(4)= ,观察图象可得 2 1 0<a<2.

(2)a,b,c 互不相等,不妨设 a<b<c, ∵f(a)=f(b)=f(c), 如图所示,由图象可知,0<a<1, 1<b<10,10<c<12. ∵f(a)=f(b),∴|lg a|=|lg b|. 1 1 即 lg a=lg b,a=b. 则 ab=1.所以 abc=c∈(10,12).
答案
? 1? (1)?0,2? ? ?

(2)(10,12)

探究提高

图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空

题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到 相应的结论,这也是高考命题的热点 .准确运用此类方法的关键

是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利
用几何图形中的相关结论求出结果.

【训练 3】 设函数

2 ? x ? +bx+c,x≤0, f(x)=? 若 ? ?2,x>0.

f(-4)=f(0),

f( - 2) = - 2 , 则 函 数 y = g(x) = f(x) - x 的 零 点 个 数 为 ________.

解析

由 f(-4)=f(0),得 16-4b+c=c.

由 f(-2)=-2,得 4-2b+c=-2. 联立两方程得 b=4,c=2.
2 ? ?x +4x+2,x≤0, 于是, f(x)=? 在同一直角坐标 ? ?2,x>0.

系中,作出函数 y=f(x)与函数 y=x 的图象,知 它们有 3 个交点,即函数 g(x)有 3 个零点.

答案 3

方法四 构造法 构造型填空题的求解,需要利用已知条件和结论的特殊性 构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的 数学问题得到简捷的解决,它来源于对基础知识和基本方法的 积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横

向类比,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的
函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题快速解决. 【例4】 如图,已知球O的球面上有四点A,B,C, D , DA⊥平面 ABC , AB⊥BC , DA = AB = BC =, 则球O的体积等于________.

解析

如图,以 DA,AB,BC 为棱长构造正方体,设正方体的

外接球球 O 的半径为 R,则正方体的体对角线长即为球 O 的直 6 径,所以|CD|= ( 2) +( 2) +( 2) =2R,所以 R= ,故球 2
2 2 2

4πR3 O 的体积 V= 3 = 6π.

答案



探究提高

构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用,

需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向,通过构

造新的函数、不等式或数列等新的模型,从而转化为自己熟悉
的问题.本题巧妙地构造出正方体,而球的直径恰好为正方体的 体对角线,问题很容易得到解决.

1 1 1 1 【训练 4】 已知 a=ln 2 013-2 013,b=ln 2 014-2 014,c= 1 1 ln 2 015-2 015,则 a,b,c 的大小关系为________.
解析 1-x 1 令 f(x)=ln x-x,则 f′(x)=x -1= x .

当 0<x<1 时,f′(x)>0,即函数 f(x)在(0,1)上是增函数. 1 1 1 ∵1>2 013>2 014>2 015>0,∴a>b>c.

答案 a>b>c

方法五 综合分析法 对于开放性的填空题,应根据题设条件的特征综合运用 所学知识进行观察、分析,从而得出正确的结论. 【例 5】 已知f(x)为定义在 R上的偶函数,当x≥0 时,有 f(x + 1) =-f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),给出下列命题: ①f(2 013)+f(-2 014)的值为0;②函数f(x)在定义域上为周期 是2的周期函数;③直线y=x与函数f(x)的图象有1个交点;

④函数f(x)的值域为(-1,1).其中正确的命题序号有________.

解析

根据题意,可在同一坐标系中画出直线 y=x 和函数 f(x)

的图象如下:

根据图象可知①f(2 013)+f(-2 014)=0 正确,②函数 f(x)在定义 域上不是周期函数,所以②不正确,③根据图象确实只有一个交 点,所以正确,④根据图象,函数 f(x)的值域是(-1,1),正确.

答案 ①③④

探究提高

对于规律总结类与综合型的填空题,应从题设条件

出发,通过逐步计算、分析总结探究其规律,对于多选型的问

题更要注重分析推导的过程,以防多选或漏选.做好此类题目要
深刻理解题意,捕捉题目中的隐含信息,通过联想、归纳、概 括、抽象等多种手段获得结论.

【训练 5】 给出以下命题: y2 2 ①双曲线 2 -x =1 的渐近线方程为 y=± 2x; 1 ②命题 p:“?x∈R+,sin x+sin x≥2”是真命题; ③已知线性回归方程为^ y=3+2x,当变量 x 增加 2 个单位,其 预报值平均增加 4 个单位;

④已知

2 6 5 3 7 1 + =2, + =2, + =2, 2-4 6-4 5-4 3-4 7-4 1-4

-2 10 + =2,依照以上各式的规律,得到一般性的等 10-4 -2-4 8-n n 式为 + =2(n≠4). n-4 (8-n)-4 则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号).

解析

y2 2 ①由 2 -x =0 可以解得双曲线的渐近线方程为

y=± 2x,正确. 1 ②命题不能保证 sin x, 为正,故错误; sin x ③根据线性回归方程的含义正确; ④根据验证可知得到一般性的等式是正确的.

答案 ①③④

1.解填空题的一般方法是直接法,除此以外,对于带有一般性命 题的填空题可采用特例法,和图形、曲线等有关的命题可考虑 数形结合法 . 解题时,常常需要几种方法综合使用,才能迅速

得到正确的结果.
2.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断是否正确的唯一标 准,因此解填空题时要注意如下几个方面: (1) 要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算有据、准 确;

(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;
(3)要重视对所求结果的检验.


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