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狐狸追及横向跑的兔子的问题


兔子沿着直线以6米每秒的速度跑。狐狸在兔子的垂直方向30米外。以8米每秒的速度始终 朝着兔子的方向追赶。问狐狸何时能够追上兔子?

这是一个被称为“狗追兔子曲线”的经典问题,乍一看是需要建立微分方程求解的,但既然是 经典问题,自然有经典解法。 第一种解法:源自华罗庚在《高等数学引论》第一卷第二分册第 14 章第 8 节“追踪问题” (p137-138)中所做。

其中给出了一个一般性的追击者与被追击者速度与方向的微分方程关系式, 楼主的问题条件 比较特别,如果在坐标系上表示就是兔子是从原点开始沿着 Y 轴奔逃,而狐狸的起点的位 置是(30,0),根据这种特定情况套入公式,这个特例在书中也有特别阐述,推导得出的公式 是: (VcosΦ+U)R=(V2- U2)t+aV; 这里,V 是狐狸的速度, U 是兔子的速度,a 是初始距离,也就是本题的 30 米,R 是狐狸 和兔之间的距离(当狐狸追上兔子时 R=0) ,t 是追击所需的时间。 据此进一步推导可得 t=aV/(V^2-U^2) 兔子奔逃的距离 s=aVU/ (V^2-U^2) 狐狸追击的距离 S=aV^2/(V^2-U^2) 代入本题数据可得: t=30*8/(8^2-6^2)=240/(64-36)=240/28=60/7, 即追上的时间是“八又七分之四”秒, 约等于 8.57 秒。 追上时兔子跑的距离是(360/7)米,狐狸跑过的距离是(480/7)米。 第二种解法:源自美国著名趣味数学大师萨姆?劳埃德的《萨姆?劳埃德的数学趣题续编 28 题》 。 这是一个极其巧妙的初等解答,甚至学过简单追击问题的小学生都可以用来计算出正确答 案。萨姆?劳埃德认为狐狸追兔子的过程是是两个运动过程的合成:一个是同向追及问题, 一个是相对相遇问题。 同向追击问题,就是狐狸和兔子都沿着同一方向跑,兔子在狐狸前方 a 米外,兔子速度 u, 狐狸速度 v,这个问题非常简单,追上的时间就是距离除以速度差,即 t1=a/(v-u );

相对相遇问题,就是兔子和狐狸相距 a 米沿直线相向奔跑(狐狸爱上兔子正常,兔子自投罗 网?残念) ,兔子速度 u,狐狸速度 v,相遇的时间就是距离除以速度和,即 t2=a/(v+u) ; 那么狐狸曲线追击兔子的时间是什么呢?竟然是上面两个时间的平均值! ! (震惊吧?这就是 说为啥学过追击问题的小学生都能做的原因) 。 追上的时间:T=(t1+t2)/2=[a/(v-u )+a/(v+u) ]/2=av/(v^2-u^2); (惊诧莫名啊!居然和华老用微 分方程推导出的结果完全一致,为啥是这样呢?我只能在风中凌乱,希望能有高人指教) 最后要说的是很多年不算算术,刚开始做这个题时废了老大的力气,设定了十字坐标系,根 据狐狸曲线上每个点的切线方向与兔子直线相交的位置就是兔子当时所在位置列了个微分 方程,然后推导出坐标点和时间的关系,马马虎虎也算是算出来了,觉得十分麻烦。后来找 到了上面两位数学大师的解法,对照一看实在是汗颜,仰望大师中……


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