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2015高考数学一轮题组训练:6-1数列的概念与简单表示法


第六篇
第1讲

数列

数列的概念与简单表示法

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.在数列{an}中,an+1=an+2+an,a1=2,a2=5,则 a6 的值是________. 解析 由 an+1=an+2+an,得 an+2=an+1-an,

∴a3=a2-

a1=3,a4=a3-a2=-2, a5=a4-a3=-5,a6=a5-a4=-3. 答案 -3

n 1 2.若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= ,则a =________. n+1 5 解析 30. 答案 30 n-1 n 1 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - n = ,∴a =5×(5+1)= n+1 n?n+1? 5

3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an=______. 解析 由 an+1-an=n+1,可得 an-an-1=n,

an-1-an-2=n-1,an-2-an-3=n-2, … a3-a2=3,a2-a1=2, 以上 n-1 个式子左右两边分别相加得, an-a1=2+3+…+n, ∴an=1+(1+2+3+…+n)= 答案 n?n+1? 2 +1 n?n+1? 2 +1.

4. (2014· 贵阳模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2n2-1, 则 a3=________. 解析 a3=S3-S2=2×32-1-(2×22-1)=10.
1

答案

10

5.已知 a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是________. 解析 ∴ 法一 (构造法)由已知整理得(n+1)an=nan+1,

?an? an+1 an = n ,∴数列? n ?是常数列. n+1 ? ?

an a1 且 n = 1 =1,∴an=n. 法二 … a3 3 a2 2 a2=2,a1=1, an 两边分别相乘得a =n,又因为 a1=1,∴an=n.
1

an-1 n-1 an n (累乘法):n≥2 时, = , = . an-1 n-1 an-2 n-2

答案

n

6. (2013· 蚌埠模拟)数列{an}的通项公式 an=-n2+10n+11, 则该数列前________ 项的和最大. 解析 易知 a1=20>0,显然要想使和最大,则应把所有的非负项求和即可,

令 an≥0,则-n2+10n+11≥0,∴-1≤n≤11,可见,当 n=11 时,a11=0, 故 a10 是最后一个正项,a11=0,故前 10 或 11 项和最大. 答案 10 或 11

n 7.(2014· 广州模拟)设数列{an}满足 a1+3a2+32a3+…+3n-1an=3,则数列{an} 的通项公式为________. 解析 n ∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=3,则当 n≥2 时,a1+3a2+32a3+…+

n-1 1 1 3n-2an-1= 3 ,两式左右两边分别相减得 3n-1an=3,∴an=3n(n≥2).由题 1 1 意知,a1=3,符合上式,∴an=3n(n∈N*). 答案 1 an=3n

8.(2013· 淄博二模)在如图所示的数阵中,第 9 行的第 2 个数为________.

2

解析

每行的第二个数构成一个数列{an},由题意知 a2=3,a3=6,a4=11,

a5=18,所以 a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,an-an-1=2(n-1)-1 ?2n-3+3?×?n-2? =2n-3,等式两边同时相加得 an-a2= =n2-2n, 2 所以 an=n2-2n+a2=n2-2n+3(n≥2),所以 a9=92-2×9+3=66. 答案 66

二、解答题 9.(2013· 梅州调研改编)已知函数 f(x)=2x-2-x,数列{an}满足 f(log2an)=-2n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:数列{an}是递减数列. (1)解 ∴ ∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n, 1 =-2n,∴an-a =-2n.
n

2 ∴a2 n+2nan-1=0,解得 an=-n± n +1.

∵an>0,∴an= n2+1-n. (2)证明 an+1 ?n+1?2+1-?n+1? = an n2+1-n



n2+1+n <1. ?n+1?2+1+?n+1?

∵an>0,∴aa+1<an,∴数列{an}是递减数列. 10.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围. 解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,

即 Sn+1=2Sn+3n, 由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n), 又 S1-31=a-3(a≠3), 故数列{Sn-3n}是首项为 a-3, 公比为 2 的等比数列,
3

因此,所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*. (2)由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*, 于是,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1 +(a-3)2n-2, 当 n=1 时,a1=a 不适合上式, ?a,n=1, 故 an=? n-1 n-2 ?2×3 +?a-3?2 ,n≥2. an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2 ? ?3?n-2 ? ?2? +a-3?, =2n-2?12· ? ? ? ? ?3?n-2 ?2? +a-3≥0?a≥-9. 当 n≥2 时,an+1≥an?12· ? ? 又 a2=a1+3>a1. 综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞). 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、填空题 1 .已知数列 {an} 的通项公式为 an = ________. 解析 4 4 8 由 an+1<an,得 an+1-an= - = <0,解得 9-2n 11-2n ?9-2n??11-2n? 4 ,则满足 an +1 < an 的 n 的取值为 11-2n

9 11 * < n < 2 2 ,又 n∈N ,∴n=5. 答案 5

??3-a?x-3,x≤7, 2.(2014· 湖州模拟)设函数 f(x)=? x-6 数列{an}满足 an=f(n),n ?a ,x>7, ∈N*,且数列{an}是递增数列,则实数 a 的取值范围是________. 解析 ∵数列{an}是递增数列,又 an=f(n)(n∈N*),

?3-a>0, ∴?a>1, ?f?8?>f?7?

?2<a<3.

4

答案

(2,3)

3.在一个数列中,如果?n∈N*,都有 anan+1an+2=k(k 为常数),那么这个数列 叫做等积数列,k 叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且 a1=1, a2=2,公积为 8,则 a1+a2+a3+…+a12=________. 解析 依题意得数列{an}是周期为 3 的数列,且 a1=1,a2=2,a3=4,因此

a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 答案 28

二、解答题 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2an=S2+Sn 对一切正整数 n 都成立. (1)求 a1,a2 的值;
? 10a1? (2)设 a1>0,数列?lg a ?的前 n 项和为 Tn.当 n 为何值时,Tn 最大?并求出 Tn ? n ?

的最大值. 解 (1)取 n=1,得 a2a1=S2+S1=2a1+a2, ① ② ③

取 n=2,得 a2 2=2a1+2a2, 由②-①,得 a2(a2-a1)=a2. 若 a2=0,由①知 a1=0. 若 a2≠0,由③知 a2-a1=1. 由①④解得,a1= 2+1,a2=2+ 2; 或 a1=1- 2,a2=2- 2.



综上可得,a1=0,a2=0;或 a1= 2+1,a2= 2+2;或 a1=1- 2,a2=2 - 2. (2)当 a1>0 时,由(1)知 a1= 2+1,a2= 2+2. 当 n≥2 时,有(2+ 2)an=S2+Sn,(2+ 2)an-1=S2+Sn-1, ∴(1+ 2)an=(2+ 2)an-1,即 an= 2an-1(n≥2), 10a1 ∴an=a1( 2)n-1=( 2+1)· ( 2)n-1.令 bn=lg a , n 1 1 100 则 bn=1-lg( 2)n-1=1-2(n-1)lg 2=2lg n-1. 2 1 ∴数列 {bn} 是单调递减的等差数列 ( 公差为- 2 lg 2) ,从而 b1>b2>…>b7 =
5

10 lg 8 >lg 1=0, 1 100 1 当 n≥8 时,bn≤b8=2lg128<2lg 1=0, 故 n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为
T7=
7?b1+b7? 7?1+1-3lg 2? 21 = =7- lg 2. 2 2 2

6


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