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广东省惠州市惠东县惠东荣超中学2016届高三上学期9月月考文科数学试卷


荣超中学 2016 届高三 9 月份月考 文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分 钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、室试号、座位号 填写在答题卷 2.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷的各题目指定区域内的 相关位置上。

/>第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
1.已知集合 A ? x log 2 x ? 0 ,集合 B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A ? B =( A. x x ? 0?

?

?

?

?

) D. ?

?

B. x x ? 1?

?

C. x 0 ? x ? 1或x ? 1?

?

2.在复平面内,复数 z ? A. ?

2 5

2i 的虚部为( ) ? 1 ? 2i 2 2 B. C. i 5 5
)

D. ?

2 i 5

3.下列有关命题的说法错误的是(

2 2 A.命题“若 x ? 1 ? 0 , 则 x ? 1 ”的逆否命题为:“若 x ? 1 则 x ? 1 ? 0 ”

2 B.“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题
2 0 D.对于命题 p : ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R 均有 x ? x ? 1…

2

4.已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 6,则a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ( A. 10 6
2

)

B. 5 6

C.30 )

D.15

5.若抛物线 y ? ax 的焦点坐标是(0,1) ,则 a ? ( A.1
2

B.

1 2

C.2 )

D.

1 4

6. f ( x) ? ln x ? x ? 3x 的极大值点是(

A.

1 2

B. 1

C. 2 )

D. 3

7.执行如图所示的程序框图,输出的 T=( A.17 B.29 C.44 D.52

8.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? 称的是 ( )

? 对 3

? 3 ? C. y?s in (2 x? ) 6

A. y?s in (2 x? )

? 6 x ? D. y ?sin ( ? ) 2 3

B. y?s in (2 x? )

9. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 [0,??) 的 增 函 数 , 则 满 足

1 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 的取值范围是( ) 3 2 1 2 1 A.( ? ? , ) B.[ , ) C.( , ? ? ) 3 3 3 2

D.[

1 2 , ) 2 3
)

10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A.64 B.72 C.80 D.112

11.函数 f ? x ? ? ? x ?

? ?

1? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图象可能( x?

)

12.设函数 f ( x) ? log a ( x ? a ? 2) 在区间 (1, ??) 上恒为正值, 则实数 a 的取值范围是( A. (1,2] B. (1,2) C. (0,1) ? (1,2)

)

,? D. ?1

? 5? ? 2?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
13.函数 y ?

log 1 ? 4 x ? 3? 的定义域为
2

.

? y?x ? 14.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为_________. ? y ?1 ?
15.已知 a ? (1,2), b ? ( x,4) 且 a ? b ? 10, 则 a ? b ? 16. 设 数 列 {a n } 满 足 a1 ? 2 , an ?1 ?

?

?

? ?

?

?

.

1 ? an (n ? N * ) , 则 该 数 列 的 前 2015 项 的 乘 积 1 ? an

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 ? _________.

三、解答题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分) 已知 a , b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边,c = (1)求 A ; (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c . 3asi nC-ccosA

18. (本小题满分 12 分) 在某高校自主招生考试中, 所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数 学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A, B, C , D, E 五个等级.某考场考生的 两科考试成绩数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (2)若等级 A, B, C , D, E 分别对应 5 分, 4 分, 3 分, 2 分, 1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的 平均分; (3)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A .在至少一科成绩为 A 的考 生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率. 19.(本小题满分 12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的 中点,点 V 是圆 O 所在平面外一点, D 是 AC 的中点,已知 AB ? 2 , VA ? VB ? VC ? 2 . (1)求证:AC⊥平面 VOD; (2)求三棱锥 C ? ABV 的体积.

x2 y 2 2 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 A(2, 1) , 离心率为 , 2 a b
过点 B(3, 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 BM ? BN 的取值范围.

???? ? ??? ?

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? bx2 ? cx ? 1 , f ( x) ? x2 ? ax ? ln x(a ? 0) ,g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? 2 x (1)求 b, c 的值; (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,是否存在实数 a ,使得当 x ? (0, e] 时, 函数 h( x) 的最小值为 3, 若存在,求出所有满足条件的实数 a ;若不存在,说明理由.

请考生在第 22,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 在 ?ABC 中, AB ? AC ,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D。

PC PD ; ? AC BD (2)若 AC=3,求 AP ? AD的值.
(1)求证: 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点错误!未找到引用源。处,极轴与错误!未找 到引用源。轴的正半轴重合,且长度单位相同.直线错误!未找到引用源。的极坐标方程 为:错误!未找到引用源。,若点错误!未找到引用源。为曲线错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。上的动点,其中参数错误!未找到引用源。. (1)试写出直线错误!未找到引用源。的直角坐标方程及曲线错误!未找到引用源。的普通 方程; (2)求点错误!未找到引用源。到直线错误!未找到引用源。距离的最大值.

荣超中学 2016 届高三 9 月份月考
参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 A A C D D A B B D C D A 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13、 ( ,1] 15、 5 16、

3 4

14、 7 3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分)

-----------12 分 18. (本小题满分 12 分) 解析:(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人-----------1 分 所 以 该 考 场 考 生 中 “ 阅 读 与 表 达 ” 科 目 中 成 绩 等 级 为 A 的 人 数 为

40 ? (? 1

0.3 ?7 5

0 ? . 3 7? 5

0 . 1?5

0 ? . 0 -----------3 25 ?) 分 40

0.075

3

(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.375 ? 4 ? 0.25 ? 5 ? 0.075 ? 2.9 -----------6 分
(3)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等

级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} } ,有 6 个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的

基本事件有 1 个,则

P( B ) ?

1 6 .-----------12 分

考点:频率与频数,古典概型概率 20. (本小题满分 12 分) (1)∵VA=VB,O 为 AB 中点,∴ VO ? AB . 连接 OC ,在 ?VOA 和 ?VOC 中, OA ? OC,VO ? VO,VA ? VC , ∴ ?VOA ≌?VOC ,∴ ?VOA =?VOC=90?, ∴ VO ? OC ∵ AB ? OC ? O , AB ? 平面 ABC, OC ? 平面 ABC, ∴VO⊥平面 ABC.-----------4 分 ∵ AC ? 平面 ABC,∴ AC ? VO . 又∵ VA ? VC , D 是 AC 的中点,∴ AC ? VD . ∵VO? 平面 VOD , VD? 平面 VOD , VO ? VD ? V ,∴ AC ? 平面 DOV.-----------6 分
2 2 (2)由(2)知 VO 是棱锥 V ? ABC 的高,且 VO ? VA ? AO ? 3 .

又∵点 C 是弧的中点,∴ CO ? AB ,且 CO ? 1, AB ? 2 , ∴三角形 ABC 的面积 S ?ABC ?

1 1 AB ? CO ? ? 2 ? 1 ? 1 , 2 2

∴棱锥 V ? ABC 的体积为 VV ? ABC ?

1 1 3 S?ABC ?VO ? ?1? 3 ? 3 3 3

故棱锥 C ? ABV 的体积为

3 .-----------12 分 3

考点:线面垂直,棱锥的体积. 20.已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 A(2, 1) ,离心率为 ,过点 B(3, 0) 的 2 2 a b

直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 BM ? BN 的取值范围.

???? ? ??? ?

?4 1 ? a 2 ? b 2 ? 1, ? ? 21 .解析: ( 1 )由题意得 ? a 2 ? b 2 ? c 2 , 解得 a ? 6 , b ? 3 . ? 椭圆 C 的方程为 ? ?c ? 2 . ? 2 ?a
x2 y2 ? ? 1 .-----------4 分 6 3
(2)由题意显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,

? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 y 2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ?12k 2 x ? 18k 2 ? 6 ? 0 . -----------7 分 ? ? 1, ? 3 ?6
?
直 线

l







C















M



N



? ? ? 144k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(18k 2 ? 6) ? 24(1 ? k 2 ) ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 1 .设 M , N 的坐标分

12k 2 18k 2 ? 6 别 为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , y1 ? k ( x1 ? 3) , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

y2 ? k ( x2 ? 3)
?



???? ? ??? ? BM ? BN ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2

? (1 ? k 2 )[ x1x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9]

???? ? ??? ? 3 ? 3k 2 3 3 3 3 ? ? 1 ? k ? 1 ? ? 的范围为 ? 2 ? ? ? 3 ? BM ? BN 1 ? 2k 2 2 2(1 ? 2k 2 ) 2 2(1 ? 2k 2 )

(2, 3] .-----------12 分
考点:椭圆定义,转化与化归思想,舍而不求思想的运用.

21. (本小题满分 12 分)
解: (1) g ?( x) ? 2bx ? c,? g ?(1) ? 2 ,即 2b ? c ? 2 -- -- ------------------1 分 又? x ? 1, y ? 2 ? g (1) ? 2 ,即 b ? c ? 1 ? 2 解得: b ? 1, c ? 0 ,----------------------------------------------------------------4 分

? g ( x) ? x 2 ? 1 ----------------------------------------------------------------5 分
(2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax ? ln x ? 1 ,

1 a( x ? ) 1 a ----------------------------------------------------7 分 h?( x) ? a ? ? x x 1 1 当 ? e ,即 0 ? a ? 时, h?( x) ? 0 在(0,e)上成立, h( x) 为减函数 e a
h( x) min ? h(e) ? ae ? 1 ? 1 ? 3, a ? 5 舍去-------------------------------------------9 分 e

当0 ?

1 1 1 1 ? e ,即 a ? 时,当 0 ? x ? 时 h?( x) ? 0 , h( x) 为减函数;当 ? x ? e , a a a e 1 1 h?( x) ? 0 为增函数, h( x) min ? h( ) ? 1 ? ln ? 1 ? 3, a ? e 3 --------------------------- -11 分 a a
3
[来源:学.科.网]

[来源:Z*xx*k.Com]

综上,存在 a ? e 使得 x ? (0, e] 时 h( x) 有最小值 3. --------------------------12 分 请考生在第 22,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。

22(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 在 ?ABC 中, AB ? AC ,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D。

PC PD ; ? AC BD (2)若 AC=3,求 AP ? AD的值。
(1)求证: 试题解析:连结 BP,∵四边形 ABCP 内接于圆,

∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA ∴ ?PCD ? ?BAD

PC PD ? BD ∴ BA

又∵ AB ? AC

PC PD ? BD -----------5 分 ∴ AC
(2)连结 BP 。∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB 又∵四边形 ABCP 内接于圆 ∴∠ACB=∠APB 从而∠ABC=∠APB 又∠BAP=∠BAD ∴ ?PAB ? ?BAD

PA AB ? AD ∴ BA

2 ∴ AP ? AD ? AB

2 2 又∵AB=AC=3 ∴ AP ? AD ? AB = AC ? 9 -----------10 分

考点:1.三角形相似;2.内接四边形.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(1) 因为错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。, 所以直线错误!未找到引用源。的直角坐标方程为错误!未找到引用源。.……………3 分 曲线错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 且参数错误!未找到引用源。, 消去参数错误!未找到引用源。可知曲线错误!未找到引用源。的普通方程为错误!未找 到引用源。.……………5 分 (2) 法一:由(1) 点错误!未找到引用源。的轨迹方程为错误!未找到引用源。,圆心为错 误!未找到引用源。,半径为 2. 错误!未找到引用源。,…3 分所以点错误!未找到引用 源。到直线错误!未找到引用源。距离的最大值错误!未找到引用源。.…10 分 法二:错误!未找到引用源。, ………4 分 当错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,即点错误!未找到引用源。到直线错 误!未找到引用源。距离的最大值错误!未找到引用源。 . ----------------------------10 分


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