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从调和点列到Apollonius圆到极线


从交比到调和点列 到 Apollonius 圆到极 线极点
-------2010 年高中数学联赛几何题本质探讨

???? AC 段比 ???? / AD

??? ? BC ???? 称为线束 OA、OC、OB、 BD

OD 或点列 ACBD 的交比。[1] 定理 1 线束的交比与所截直线无关。
O

D

西安交大附中曲江校区 金磊 710049 收稿日期: 2010-10-21 修回日期 2010-11-20 2010 年 10 月 17 日结束的 2010 年全国 高中数学联赛平面几何题目为:如图 1,锐 角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) ,D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N,直线 CD 与 AB 交于点 M. 求证:若 OK⊥MN,则 ABDC 四点共圆.
A

B A C

图 2 证明:本文中把△ABC 面积记做[ABC]

???? ??? ? AC BC [ AOC ] [ BOC ] ???? / ??? ? ? / AD BD [ AOD] [ BOD]
CO sin ?AOC CO sin ?COB / DO sin ?AOD DO sin ?BOD sin ?AOC sin ?COB ? / sin ?AOD sin ?BOD ?
从而可知线束交比与所截直线无关。 定义 2 调和线束与调和点列:交比为-1,

O

B D M

K

C

???? ??? ? AC BC ? 即 ???? ? ? ??? 的线束称为调和线束,点列 AD BD
称为调和点列。 显然调和线束与调和点列是 等价的, 即调和线束被任意直线截得的四点 均为调和点列,反之,调和点列对任意一点 的线束为调和线束。 定理 2 调和点列等价性质: (1) 、

N

图 1

本题颇有难度, 参考答案的反证法让有 些人“匪夷所思” ,其实这是一系列射影几 何中常见而深刻结论的自然“结晶” ,此类 问题在国家队选拔考试中屡见不鲜。 本文拟 系统的介绍交比、调和点列、完全四边形、 Apollonius 圆、 极线等射影几何的重要概念, 抽丝剥茧、溯本求源,揭示此类问题的来龙 去脉, 并在文中给出上题的一种简洁明了的 直接证明。 知识介绍 定义 1 线束和点列的交比:如图 2,共点 于 O 的四条直线被任意直线所截的有向线

2 1 1 ? ? AD AB AC
2

(2) 令 O 为 CD 中点, OC ? OB ? OA 、 则 证明:由基本关系式变形即得,从略。 定理 3 一直线被调和线束中的三条平分当 且仅当它与第四条平行 (由定义即得, 证略) 定义 3 完全四边形:如图 3,凸四边形 ABCD 各边延长交成的图形称为完全四边 形 ABCDEF,AC、BD、EF 称为其对角线

(一般的四条直线即交成完全四边形) 。[2] 定理 4 完全四边形对角线互相调和分割。 即 AGCH、BGDI、EHFI 分别构成调和点列。
A

希腊数学家 Apollonius 最先提出并解决[2] (注: k=1 时轨迹为 AB 中垂线也可看成 当 半径为无穷大的圆) 。 证明:如图 4 由 AP=kPB,则在 AB 直线上 有两点 C、D 满足

AC BC

B G D C E H F I

?

AD BD

? k , 故 PC、

图 3

分析:只需证 EHFI 为调和点列,其余可类 似证得,也可由线束的交比不变性得到。 证法一:面积法

HE IF [ AEC ] [ BDF ] ? ? HF IE [ AFC ] [ BDE ]

?

[ AEC ] [ ACD] [ BDF ] [ BEF ] [ ACD] [ AFC ] [ BEF ] [ BDE ]

EC AD DC AF HE IE 。 ? ? ? 1,即 ? CD AF EC AD HF IF EH FD AB 证法二: Ceva 定理 由 ? ? ? 1, HF DA BE EI FD AB 由 Menelaus 定理得到 ? ? ? 1, IF DA BE HE IE 故 ,即 EHFI 为调和点列。 ? HF IF ?
定理 5 完全四边形 ABCDEF 中, 四个三角 形 AED、ABF、EBC、FDC 的外接圆共点, 称为完全四边形的密克(Miquel)点。 证明:设两圆交于一点,计算角易得。
P

PD 分别为∠APB 的内外角平分线,则 CP ⊥DP,即 P 点的轨迹为以 CD 为直径的圆 O(O 为 CD 中点)。 (本题解析法亦可) 显然图 4 中 ACBD 为调和点列。 定理 6 在图 4 中,当且仅当 PB⊥AB 时, AP 为圆 O 的切线。 证明: PB⊥AB 时∠APC=∠BPC=∠CDP 当 故 AP 为圆 O 的切线,反之亦然。 定理 7 Apollonius 圆与调和点列的互推 如下三个条件由其中两个可推得第三个: 1.PC(或 PD)为∠APB 内(外)角平分线 2. CP⊥PD 3.ACBD 构成调和点列(证略) 定义 5 反演:设 A 为○O(r)平面上点, B 在射线 OA 上, 且满足 OA*OB=r*r, 则称 A、B 以○O 为基圆互为反演点。 定理 8 图 4 中,以 Apollonius 圆为基圆, AB 互为反演点。 (由定理 2(2)即得。 ) 定义 6 极线与极点: A、 B 关于○O 设 (r) 互为反演点, B 做 OA 的垂线 l 称为 A 点 过 对圆 O 的极线; 反之对任意直线 l 相应的 A 点称为 l 对圆 O 的极点。[3] 定理 9 当 A 点在○O 外时,A 的极线为 A 的切点弦。 (由定理 6 即得。 )
A

A

C

B O

D
P

C Q B O

图 4 定义 4 阿波罗尼斯(Apollonius)圆:到 两定点 A、 距离之比为定值 k k ? 0且k ? 1 ) B ( 的点的轨迹为圆,称为 Apollonius 圆,为古

D

图 5

定理 10 若 A 的极线为 l, A 的圆的割线 过

ACD 交 l 于 B 点,则 ACBD 为调和点列。 证明:如图 5,A 的切点弦为 PQ,则 BC [QPC ] CP CQ AP AC AC ? ? ? ? ? ? BD [QPD] DP DQ AD AQ AD 即 ACBD 为调和点列。 定理 11 配极定理: 如图 6, A 点的极线 若 通过另一点 D, D 点的极线也通过 A。 则 一 般的称 A、D 互为共轭点。 证法一: 几何法, AF⊥OD 于 F, DFGA 作 则 共圆,得 OF*OD= OG*OA = OI ,由定义 6 知 AF 即为 D 的极线。
A
2

例题选讲 例 1 如图 7, 过圆 O 外一点 P 作其切线 PA、 PB,OP 与圆和 AB 分别交于 I、M,DE 为 过 M 的任意弦。 求证:为△PDE 内心。2001 I ( 年中国西部数学奥林匹克) 分析:其本质显然为 Apollonius 圆。 证明: 由定理 6 知圆 O 为 P、 的 Apollonius M 圆,则 DI、EI 分别为△PDE 的内角平分线, 即 I 为△PDE 内心。 注:对图 7 我们有过 M 的任意弦与 P 构成 的所有三角形有共同的内心 I。反之亦然。

P

I
H D B J G F O I C

A M D O

E

B

图 6 证法二: 解析法, 设圆 O 为单位圆, x1 , y1 ) A ( , D x2 , y2 ) A 的极线方程为 xx1 ? yy1 ? 1 , ( ,

图 7 例 2 如图 8,△ABC 中,AD⊥BC,H 为 AD 上任一点,则∠ADF=∠ADE(1994 年 加拿大数学奥林匹克试题)
A F

由 D 在其上,得 x2 x1 ? y2 y1 ? 1 ,则 A 在

L E H

xx2 ? yy2 ? 1 上,即 A 在 D 的极线上。
定理 12 在图 6 中,有
B
2 2 2

AD2 ? A的幂+D的幂(对圆O) 证明:AD ? AG +DG =A的幂+D的幂
定义 7 调和四边形 对边积相等的四边形 称为调和四边形。 (因为圆上任意一点对此 四点的线束为调和线束,故以此命名) 定理 13 图 5 中 PDQC 为调和四边形。 证明:由定理 9 的证明过程即得。

D

C

K

? ( AG 2 +BG 2 )+(DG 2 ? BG 2 )

图 8 证明:对完全四边形 AFHEBC,由定理 4 知 FLEK 为调和点列。又 AD⊥BC,由定理 7 得∠ADF=∠ADE。 例 3 如图 9,四边形 AFDE 中,AD 平分 ∠FDE, 为 AD 上任一点, 交 AE 于 N, P FP EP 交 AF 于 M,则∠MDA=∠NDA。 (1999 年全国高中数学联赛)

A M G F N P L E

两条切线。PCD 为任意一条割线,CF 平行 PA 且交 AB 于 E。求证:CE=EF(2006 国 家集训队培训题) 证明:由定理 10 及定理 3 即得。 例 6 如图 13, 过圆 O 外一点 P 做割线 PAB、 PCD,E、F 为对角线交点,则 EF 为 P 对圆 O 的极线。 (1997 年 CMO 试题等价表述)
C

B D

P
K

图 9 证明:本题为例 2 推广,过 D 作 AD 垂线, 则 FLEK 构成调和点列, 从而对完全四边形 FENMAK 必有 MNK 共线,由例 2 即得∠ MDA=∠NDA。 例 4 如图 10,完全四边形 ABCDEF 中, GJ⊥EF 与 J,则∠BJA=∠DJC(2002 年中 国国家集训队选拔考试)
A

A C E M O D T

B
B

图 11
G C D

证法一:作 AEB 外接圆交 PE 于 M,则 PE*PM=PA*PB=PC*PD, CDME 共圆 即 (易 知 P 为三圆根心且 M 为 PAECBD 密克点) ,
F I

E

J

H

从而 ?BMD ? ? BAE ? ? BCD? ? BOD , 即 BOMD 共圆。∠OMT=∠OMB+∠BMT= ∠ODB+∠BAE=90°则 M 为 ST 中点,由 定理 10 及定理 2(2)知 E 在 P 极线上,同 理 F 亦在 P 极线上,故 EF 为 P 的极线。
P

图 10 证明:由定理 4 及定理 7 有∠BJG=∠DJG 且∠AJG=∠CJG,则∠BJA=∠DJC。 通过例 2 到例 4,结合定理 7,我们可 以断言:由垂直证角平分线的问题,本质都 为调和点列。

P

C A F O
B

A

C W T

E G

B

S U O E

V D

D
例 5 P 为圆 O 外一点,PA、PB 为圆 O 的

图 12

证法二:如图 14,证明 E 在 P 的切点弦 ST 上即可。 在△ABT 中, 有

调和点列, 由定理 11 知 AD 的极点在 HI 上,
A

AU BV TW * * ? UB VT WA

AS sin ?AST BD sin ?BDA TC sin ?TCB ? ? ? BS sin ?BST DT sin ?TDA AC sin ?ACB

AS BD TC PS PB PD ? ? ? ? ? ?1 BS DT AC PB PD PT
由塞瓦定理逆定理知 ST、AD、BC 三线共 点于 E,同理 F 亦然,故 EF 为 P 的极线。 至此,点 P 在圆 O 外时,我们得到了 P 点极线的四种常见的等价定义: 1、过 P 反演点做的 OP 的垂线。 2、P 对圆 O 的切点弦。 3、过 P 任意做两条割线 PAB、PCD,AD、 BC 交点与 AC、BD 交点的连线。(注: 切线为割线特殊情形, 2、 是统一的) 故 3 4、过 P 任意作割线 PAB,AB 上与 PAB 构 成调和点列的点的轨迹的所在直线。 例 7 △ABC 内切圆 I 分别切 BC、 于 D、 AB F,AD、CF 分别交 I 于 G、H。求证:

H G F B D K

E

I

C

J

图 14

又 AD 极点在 BD 上,故 J 为 AD 极点;则 JE 为切线,BDCJ 为调和点列,由 CF=CD 且 JD=JE 知 CF//JE,由例 5 知 GF=FC。 (注:例 8 中 BDCJ 为一组常见调和点列) 例 9 如图 17, 圆内接完全四边形 ABCDEF 对角线交于 G,则 EFGO 构成垂心组(即任 意一点是其余三点构成的三角形的垂心) 。 证明: 由定理 12 有 EG ? E的幂 ? G的幂
2

DF ? GH ? 3 (2010 年东南数学奥林匹克) FG ? DH
A

EG 2 ? FG 2 ? ( E的幂 ? G的幂)-(F的幂 ? G的幂)=E的幂 ? F的幂=EO 2 ? FO 2
从而 OG⊥EF,其余垂直同理可证。

G F E I H C

A

O

B

D

B

G C

D

图 13

证明:如图 15,由定理 13 知 GFDE 为调和 四边形, 由托勒密定理有 GD*EF=2FG*DE, 同 理 HF*DE=2DH*EF 相 乘 得 GD*FH= 4DH*FG 又 由 托 勒 密 定 理 GD*FH= DH*FG+FD*GH, 代入即得

E

P

F

DF ? GH ?3 FG ? DH

例 8 已知:如图 16,△ABC 内切圆切 BC 于 D,AD 交圆于 E,作 CF=CD,CF 交 BE 于 G。求证:GF=FC(2008 年国家队选拔) 证明:设内切圆的另两切点为 H、I,HI 交 BD 于 J,连 JE。由定理 10 知 AEKD 构成

图 15 注:本题结论优美深刻,比较早的见于 初版于 1929 年的[4],它涉及到调和点列、 完全四边形、密克点、极线、Apollonius 圆、 垂心组等几何中的核心内容。 本文开头提到 的 2010 年联赛题为本题的逆命题,熟悉上 述内容的情况下, 采用参考答案的反证法在 情理之中:如图 1,设 D 不在圆 O 上,令

AD 交圆 O 于 E, 交 AB 于 P, 交 AC CE BE 于 Q。由例 9 得 PQ//MN;由定理 4 得 MN、 AD 调和分割 BC,同理 PQ 亦然,从而 PQ//MN//BC,得 K 为 BC 中点,矛盾!故 ABCD 共圆。 其实本题也可直接证明, 如下: 如图 18, 由 例 4 得 ∠ 1= ∠ 2 ; 由 正 弦 定 理 有

JG//CM,即证

LK LJ LG 2LG , ? ? ? KA JC GM GA
A E M K G

而这由调和点列基本关系变形即得。

OJ OB OC OJ , 从 ? ? ? Sin?OBJ Sin?1 Sin?2 Sin?OCJ 而 Sin∠OBJ=Sin∠OCJ, K 不是 BC 中点, 又 故 Sin∠OBJ+∠OCJ =180°, OBJC 共圆; 则 1 ?MJB ? ?NJC ? ?BOC ? ?BAC ,由 2 定理 5 得 ABDC 共圆。
A

F

O L D J C

B

图 17

O

例 9 中 OG ? EF 对圆外切四边形亦然。 例 12 如图 21, 设圆 O 的外切四边形 ABCD 对角线交于 EFG,则 OG⊥EF。 (2009 年土 耳其国家队选拔考试)
A'

B

C K D 1 J
A D' O

M

2 N

B

G D B' C C' F' F E'

图 16

以例 9 为背景的赛题层出不穷, 以下再稍举 几例,以飨读者。 例 10 △ADE 中,过 AD 的圆 O 与 AE、 DE 分别交于 B、C,BD 交 AC 于 G,直线 OG 与△ADE 外接圆交于 P。 求证: △PBD、 △PAC 共内心(2004 年泰国数学奥林匹克) 分析:本题显然为密克点、Apollonius 圆、 极线及例 10 等深刻结论的简单组合。 证明:如图 17,由定理 5 知本题中 P 即为 完全四边形密克点,由例 10 得 P 为垂足, 由定理 6 知圆 O 即为 PG 的 Apollonius 圆, 由例 1 知△PBD 与△PAC 共内心。 例 11 △ABC 中,D 在边 BC 上且使得∠ DAC=∠ABC, O 通过 BD 且分别交 AB、 圆 AD 于 E、F,DF 交 BE 于 G, M 为 AG 中 点,求证:CM⊥AO(2009 年国家队选拔) 分析简证:如图 19,设 EF 交 BC 于 J。由 定 理 3 得 AKGL 为 调 和 点 列 , 倒 角 得 EJ//CA,由例 10 有 JG⊥OA,故只需证

E

图 18 证明: G 在 BD 上,由定理 11 知 BD、AC 极点 E’、F’在 EF 上,同理可证其余共点如 图 21。则对圆外切四边形 A’B’C’D’,其对 角线交点与对应的圆内接四边形 ABCD 对 角线交点 G 重合,由例 9 得 OG ? EF。
A M

I D E F O L H

C G

B

图 19 例 13 如图 22,ABCD 为圆 O 的外切四边

形,OE⊥AC 于 E,则∠BEC=∠DEC(2006 年协作夏令营测试题) 分析:上面我们说过,见到已知垂直要证角 平分线必为调和点列。 证明: 如图 22, 做出辅助线, 由例 12 知 FI、 GH、BD 共点于 M,且为 AC 的极点,从而 OE 也过 M,且 BLDM 构成调和点列,由例 4 得∠BEC=∠DEC。 最后我们看一道伊朗题及其推广 例 14 △ABC 内切圆 I 切 BC 于 D,AD 交 I 于 K。BK、CK 交 I 于 E、F,求证:BF、 AD、CE 三线共点。 (2002 年伊朗国家队选 拔考试题) 分析:本题一般思路为 Ceva 定理计算,计 算量不小。而且有人将其推广为对 AD 上任 意一点 K,都有本结论成立。推广题难度极 大,网络上有人用软件大量计算获证,也有 高手通过复杂的计算得证[5]。 其实从调和点 列、极点、极线角度看本题结论极为显然。

BH、CH 分别交对边于 E、F,EF 交 AD 于 K, 任意做过 K 的直线与 CF、 CE、 交于 M、 CD N、Q,都有∠MDF=∠NDE。 (2003 年保加利亚 数学奥林匹克) 提示:由 CA、CK、CH、CD 构成调和线束, 得 NKMQ 为调和点列,有∠MDK=∠NDK 和∠ KDF=∠KDE,从而有∠MDF=∠NDE。 4 设以 O 为圆心的圆经过△ABC 的两个顶 点 A、C,且与边 AB、BC 分别交于两个不 同的点 K 和 N, 又△ABC 和 KBN 的外接圆 交于点 B 及另一点 M,求证:∠OMB 为直 角。 (第 22 届 IMO) 提示:由定理 3 及例 10 即得 参考文献: 1、 《高等几何》 梅向明等 1988 年 高等教 育出版社 2、 《初等数学复习及研究(平面几何) 》 梁绍鸿 2008 年 哈尔滨工业大学出版社 3、 《射影几何趣谈》 冯克勤 1983 年 上海 教育出版社 4、 《近代欧式几何》 单墫 译 1999 年 上海 教育出版社 5、 《多功能题典(高中数学竞赛) 》 单墫 熊斌 2008 年 华东师范大学出版社

A

K

M E I F B D C J

N

图 20

证明: A 点极线交 BC 于 J, 设 由例 8 得 BDCJ 为调和点列,故对 AD 上 K 点,由定理 11 知 EF 必过 J 点;由定理 4 对完全四边形 BEFCJK 必有 CE、BF、AK 共点。 练习: 1 H 是锐角△ABC 的垂心,以 BC 为直径 作圆,自 A 作切线 AS、AT。求证:S、H、 T 三点共线。 (1996CMO 试题) 提示:本题为例 7 特例 2 在完全四边形 ABCDEF 中,过 AC、BD 交点做 AB 平行线被 CD、EF 平分。 提示:由定理 4 及定理 3 即得 3 △ABC 中,AD⊥BC,H 为 AD 上一点,


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