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【人教A版】高中数学必修二:1.3.2球的体积与表面积学案设计 新人教A版必修2


第一章 1.3

空间几何体

空间几何体的表面积与体积 球的体积和表面积

1.3.2

学习目标 掌握球的表面积和体积公式,并能应用其解决有关问题,提高学生解决问题的能力,培养 转化与化归的数学思想方法. 学习过程 一、课题引入,问题探究 问题 1:圆的大小与半径有关,如何用半径来表示圆的面积?

问题 2:若球的半径为 R,它的表面积和体积只与球的半径 R 有关,是以 R 为自变量的函数, 如果球的半径为 R,那么如何用半径 R 来表示球的表面积和体积? 二、典型例题,加深理解

【例 1】如图所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的体积等于圆柱体积的; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

【例 2】若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 . 【例 3】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 . 【例 4】已知三棱锥 S-ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 AB 上,SO⊥ 底面 ABC,AC=r,则球的体积与三棱锥的体积之比是( ) A.π B.2π C.3π D.4π 三、作业精选,巩固提高 1 . 若 与 球 心 距 离 为 4 的 平 面 截 球 所 得 的 截 面 圆 的 面 积 是 9π , 则 球 的 表 面 积 是 . 2.三个球的半径之比为 1∶2∶ 3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ( ) A.1 倍 B.2 倍 C.倍 D.倍 3.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器,内放一个半径为 R 的内切球,然后将容器注满 水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体 ,问容器 中水的高度为多少?

布置作业 课本 P28 练习第 1,2,3 题. 参考答案 一、问题 1:S=π r 2 3 问题 2:S=4π R ,V=π R . 二、 【例 1】证明:(1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为 2R. 3 2 3 因为 V 球=π R ,V 圆柱=π R ·2R=2π R ,所以,V 球=V 圆柱. 2 2 (2)因为 S 球=4π R ,S 圆柱侧=2π R·2R=4π R ,所以,S 球=S 圆柱侧. 【例 2】 解析:画出球的轴截面可得,球的直径是正方体的对角线,所以球的半径 R=,则该 2 球的表面积为 S=4π R =27π . 答案:27π 2 【例 3】解析:长方体的对角线为,则球的半径为,则球的表面积为 4π () =14π . 答案:14π 【例 4】解析:由题意得 SO=r,为三棱锥的高,△ABC 是等腰直角三角形,所以其面积是 ×2r×r=r2,所以三棱锥的体积是×r2×r=,又球的体积为,则球的体积与三棱锥的体积之比 是 4π . 答案:D 三、答案:1.100π 2.C
2

3.解:作出圆锥和球的轴截面图如图所示, 圆锥底面半径 r=R, 圆锥母线 l=2r=2R,圆锥高为 h=r=3R, 2 3 2 3 3 ∴V 水=r h-R =·3R ·3R-R =R , 球取出后,水形成一个圆台,下底面半径 r=R,设上底面半径为 r', 则高 h'=(r-r')tan60°=R-r'), 3 2 2 ∴R =h'(r +r' +rr'), 3 2 2 3 3 3 ∴5R =R-r')(r' +Rr'+3R ),∴5R =(3R -r' ), 解得 r'=R=R, ∴h'=(3-)R. 答:容器中水的高度为(3-)R.


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