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2011高考文科数学真题 附答案打印版


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 第I卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 文科数学 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.若 ( x ? i)i

? y ? 2i, x, y ? R ,则复数 x ? yi ?
B. 2 ? i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

A. ?2 ? i 2.若全集 U A. M C.

? {1, 2,3, 4,5,6}, M ? {2,3}, N ? {1, 4} ,则集合 {5, 6} 等于
B. M D.

?N

?N

?Cn M ? ? ?Cn N ?
1 ,则 f ? x ? 的定义域为 log 1 ? 2 x ? 1?
2

?Cn M ? ? ?Cn N ?

3.若

f ? x? ?

A. ? ? ? C.

1 ? ,0? ? 2 ?
? 1 ? , ? ? , 0? ? ? 0?? ? ? 2 ?

B. ? ? 1 , ?? ? ? ? ? 2 ? D. ? ? 1 , 2 ? ? ? ? 2 ?

4.曲线

y ? en 在点 A(0,1)处得切线斜率为
B.2 C.e D.

A.1 5.设 {an } 为等差数列,公差 d A.18 6.观察下列各式: 7 A.01
2

1 e

? ?2 , s n 为其前 n 项和,若 S10 ? S11 ,则 a1 ?
B.20 C.22 D.24

? 49,73 ? 343,74 ? 2401, ?,则 72011 的末两位数学为
B.43 C.07 D.49

7.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中 位数为 mE ,众数为 ma ,平均值为 x,则 A. me C. me

? ma ? x ? ma ? x

B. me D. ma

? ma ? x ? me ? x
176 175 176 176 176 177 178 177

8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子身高数据如下 父亲身高 x(cm) 儿子身高 y(cm) 则 y 对 x 的线性回归方程为 A. 174 175

y ? x ?1

B.

y ? x ?1

C.

y ? 88 ?

1 x 2

D.

y ? 176

9.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为

10.如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系 X 轴上方,其“底端”落在源点 O 处,一顶点及中心 M 在 Y 轴的正半轴上,它的外围 由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成

今使“凸轮”沿 X 轴正向滚动有进,在滚动过程中, “凸轮”每时每刻都有一个“最高点” ,其中心也在不断移动位置,则在 “凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置,应大致为

第Ⅱ卷 注意事项: 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.已知两个单位向量 e1 , e2 的夹角为

?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ,若向量 b1 ? e1 ? 2e2 , b2 ? 3e1 ? 4e2 , 则 1 ? b2 = b 3

y 2 x2 ? ? 1 的离心率 e=2,则 m= 12.若双曲线 16 m
13.下图是某算法的程序框图,则程序运行后所输出的结果是 ___

14.已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若

p ? 4, y ? 是角 ? 终边上的一点,且 sin ? ? ?

2 5 ,则 y=_ 5

15.对于 x ? R ,不等式

x ? 10 ? x ? 2 ? 8 的解集为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (本小题满分 12 分) 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别,公司准备了两种不同的饮料共 5 杯,其颜色完全相同,并且其中的 3 杯为 A 饮料,另外的 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料。若该员工 3 杯都选对,测 评为优秀;若 3 杯选对 2 杯测评为良好;否测评为合格。假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 (1)求此人被评为优秀的概率 (2)求此人被评为良好及以上的概率

17. (本小题满分 12 分) 在 V ABC 中,角 A,B,C 的对边是 a,b,c,已知 3a cos A ? c cos B ? b cos C (1)求 cos

A 的值

(2)若 a=1, cos B ? cos C

?

2 3 ,求边 c 的值 3

18. (本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中, ?B

?

?
2

, AB ? BC ? 2, P 为 AB 边上的一动点,PD//BC 交 AC 于点 D,现将 ? PDA 沿 PD 翻折至

? PDA ' ,使平面 ? PDA ' ? 平面 PBCD。 (1)当棱锥 A '? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A ' C 的中点,求证: A ' B ? DE 。

19. (本小题满分 12 分) 已知过抛物线

y ? ? px( p ? ?) 的焦点,斜率为 ? ? 的直线交抛物线于 A( x? , y? ) 和

B( x? , y? )( x? ? x? ) 两点,且 AB ? ? ,
(1)求该抛物线的方程;

uuu r
(2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC

uur uur u ? OA ? ?OB ,求 ? 的值.

20. (本小题满分 13 分) 设

f ( x) ?

1 3 x ? mx 2 ? nx. 3

(1)如果 g ( x) ? (2)如果 m ? n

f '( x) ? 2 x ? 3在x ? ?2 处取得最小值-5,求 f (x) 的解析式;

? 10(m, n ? N),f (x) 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值; (注;区间(a,b)的长度为 b-a)

21. (本小题满分 14 分) (1)已知两个等比数列 的值; (2) 是否存在两个等比数列

?a ? ,?b ? ,满足 a
n n
n n

?

? a(a ? ?), b? ? a? ??, b? ? a? ? ?, b? ? a? ? ? ,若数列 ?an ? 唯一,求 a
求 ? a? , b? ? a?.bn ? an 成公差不为 0 的等差数列?若存在, ?an ? , .

?a ? ,?b ? ,使得 b ? a , b
? ?

?

?b ? 的通项公式;若不存在,说明理由. .
n

参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1 答案:B 解析:?

? x ? i ? i ? y ? 2i, xi ? i2 ? y ? 2i

4. 答案:A 5. 答 案

解析: :
1

y ' ? e x , x ? 0, e0 ? 1
解 析 :

B

? y ? 1, x ? 2,? x ? yi ? 2 ? i
2. 答 案 : D 解 析

? S1 ? 0 ,S ? 1
, 6. B

a 0? , 1 a1 ?


a ? 01 11


d ,? 1 a


M ? N ? ? ,2,3,4? , M ? N ? ? 1

?CU M ? ? ?CU N ? ? ?1,2,3,4,5,6?
?CU M ? ? ?CU N ? ? ?5,6?
3 答 案 : C 解 析 :

?f ?

? ? 7xx ? ? ,

?f ?2 ?

?4 ?

?f

9

? ?,

2011? 2 ? 2009,? f ? 2011? ? ***343
7.答案:D 计算可以得知,中位数为 5.5,众数为 5 所以选 D

log 1 ? 2 x ? 1? ? 0,? 2 x ? 1 ? 0, 2 x ? 1 ? 1
2

8.C 线性回归方程

y ? a ? bx , b ?

? ?x ? x ??y
n i ?1 i n i ?1 i

i

?y
2

?


? 1 ? ? x ? ? ? , 0? ? ? 0?? ? , ? 2 ?

? ?x ? x ?

a ? y ? bx

9.答案:D 左视图即是从正左方看,找特殊位置的可视点,连 起来就可以得到答案。 10.答案:A 根据中心 M 的位置,可以知道中心并非是出于 最低与最高中间的位置,而是稍微偏上,随着转动,M 的位置 会先变高,当 C 到底时,M 最高,排除 CD 选项,而对于最高 点,当 M 最高时,最高点的高度应该与旋转开始前相同,因此 排除 B ,选 A。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
? ?

当 x>2 时,

x+10-x+2 ? 8 ,

x>2

?综上:x ? 0
方法二:用绝对值的几何意义,可以看成到两点-10 和 2 的距离 差大于等于 8 的所有点的集合,画出数轴线,找到 0 到-10 的距 离为 d1

? 10,到

2 的距离为 d 2

? 2, d1 ? d 2 ? 8 ,并当

x

往右移动, 距离差会大于 8, 所以满足条件的 x 的范围是 x 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 16. (本小题满分 12 分)

?0.

11.答案:-6. 解析:要求 b1 * b2 ,只需将题目已知条件带入, 得:

解:将 5 不饮料编号为:1,2,3,4,5,编号 1,2,3 表
? ? ? ?

b1 * b2 =( e1 -2 e2 )*(3 e1 +4 e2
? 2

?

?

? 2

) 3 e1 =

? 2 e1 ? e2 ? 8 e2
1 = 2

?

?

? 2

示 A 饮料,编号 4,5 表示 B 饮料,则从 5 杯饮料中选出 3 杯的所有可能情况为: (123)(124)(1,2,5)(134) , , , , (135)(145)(234)(235)(245)(345)可见共有 , , , , , 10 种

其中

e1

=1, e1 ? e2

?

?

?=

1 e1 ? e2 ? cos60 =1*1* 2
?

?

?



令 D 表示此人被评为优秀的事件,E 表示此人被评人良好 的事件,F 表示此人被评为良好及以上的事件。则

e2 ? 1 ,
带入,原式=3*1—2*

? 2

1 2

—8*1=—6

1 10 3 7 (2) P(E) ? , P(F) ? P(D) ? P(E) ? 5 10
(1) P(D)

?

17. (本小题满分 12 分) 解 : ( 1 ) 由 余 弦
2

12 答案:48.

y2 x2 解析:根据双曲线方程: 2 ? 2 ? 1 知, a b




2

b2 ?


a2 ? 2 c2 ? c

a o

c s

,?B

c?

2

a 2 ?

a 2 ? 16, b2 ? m ,并在双曲线中有: a 2 ? b 2 ? c 2 ,? 离
c 心率 e= a
13.

cos B ? b cos C ? a

, 代 入 已 知 条 件 得

16 ? m c2 =2 ? 2 ? 4 = , ? m=48 16 a
解 析 : 由 框 图 的 顺 序 , S=(1+2)*2=6,n=3,注意此刻 3>3 仍

3a cos A ? a, 即 cos A ?
(2)由 cos A ?

1 3

答 案 : 27.

s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)*1=1,n=n+1=2,依次循环 然是否,所以还要循环一次 s=(6+3)*3=27,n=4 , 此 刻 输 出 , s=27. 14 答案:—8. 解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象 限,再加上横坐标为正,断定该 角为第四象限角。 得 cos C ?

1 2 2 , 得 sin A ? 3 3

则 cos B

1 2 2 ? ? cos( A ? C ) ? ? cos C ? sin C , 3 3 ? 2 3 3

代入 cos B ? cos C

sin ? ?

y 2 5 对边 ?? ? y ? ?8 = 2 5 斜边 16 ? y
解析:两种方法,方法一:分三段, -x-10+x-2 ? 8 , x+10-x+2 ? 8 ,

2 sin C ? 3, 从而得sin(C ? ?) ? 1 ,
3 6 ? ,cos ? ? ,0 ? ? ? 3 3 2 , 于是 sin C ? 6 , 3


15.答案: {x x ? 0} 当 x<-10 时, 当 ? 10 ?

其中 sin ?

?

?
0? x?2

x ? 2 时,

即C ??

?

?
2

由正弦定理得 c

?

a sin C 3 ? . sin A 2
( 1 ) 令

y1 ? ?2 2, y2 ? 4 2,
从而 设

18. (本小题满分 12 分) 解 :

A(1, ?2 2), B(4, 4 2)

P ? ( A
因为

0 ?则x

?2 x

)

,? A

??? ? P( P , D ? 2 B OC '?? x3 , y3 ) ? (1 ? 2? 2) ? ?(4,4 2) x (4? ?1,4 ,2? ? 2P 2 ?
2 y3 ? 8x3 ,即 2(2? ?1)]2 ? 8(4? ?1), [2
2

A ' P ? PD , 且平面 A ' PD ? 平面 PBCD, 故 A ' P ? 平面 PBCD。
所 以



VA ' ?

1 ? 3

(

3

, P

1 S ? 2 6

即 (2? ? 1) 解得 ?

? 4? ? 1
B

h

? )

1 3 令 f ( x ) ? (4 x ? x ), 6 1 2 2 3, 由 f '( x ) ? (4 ? 3 x ) ? 0, 得x= 6 3 2 3)时, f '( x) ? 0, f ( x) 单调递增 当 x ? (0, 3 2 3, 2)时, f '( x) ? 0, f ( x) 单调递减, 当 x?( 3 2 3 时, f ( x) 取得最大值, 所以,当 x ? 3
即:当 VA' ? PBCD 最大时, PA ?

? 0, 或? ? 2.
: ( 1 )

20. (本小题满分 13 分) 解 由 题 得

g(

? x2 )

?x

2

? (m

?1 x

) ? 2n

( ?

已知 g ( x)在x

? ?2 处取得最小值-5
,即 m ? 3, n ? 2

所以 ?

?m ? 1 ? 2
2 ?( n ? 3) ? ( m ? 1) ? ?5

2 3 . 3

即得所要求的解析式为

f ( x) ?

1 3 x ? 3 x 2 ? 2 x. 3

(2)设 F 为 A ' B 的中点,连接 PF,FE,

1 ? 则有 EF / / BC , PD / / BC ?? 2 ?? 2 所以 DE//PF,又 A ' P ? PB 所以 PF ? A ' B , 故 DE ? A ' B.
19. (本小题满分 12 分) (1)直线 AB 的方程是 与

(2)因为

f '( x) ? x2 ? 2mx ? n, 且f ( x) 的单调递减

区间的长度为正整数, 故

f '( x) ? 0 一定有两个不同的根,
2

从而 ? ? 4m

? 4n ? 0即m2 ? n ,
x2 ? x1 |? 2 m 2 ? n
为正整数,

p y ? 2 2( x ? ) , 2

不妨设为 x1 , x2 , 则 |

y 2 ? 2 px 联立,从而有 4 x2 ? 5 px ? p2 ? 0,
? x2 ? 5p 4

故 m ? 2 时才可能有符合条件的 m,n 当 m=2 时,只有 n=3 符合要求 当 m=3 时,只有 n=5 符合要求 当 m ? 4 时,没有符合要求的 n 综上所述,只有 m=2,n=3 或 m=3,n=5 满足上述要求。 21. (本小题满分 14 分) 解 :( 1 ) 设

所以: x1

由抛物线定义得: |

AB |? x1 ? x2 ? p ? 9, y 2 ? 8x.

所以 p=4,从而抛物线方程是 (2)由

{an }

的 公 比 为

q , 则

p ? 4, 4 x2 ? 5 px ? p2 ? 0 可简化为

2 b1 ? 1 ? a, 2b ? 2 ? a ,q b? 3 ? a q 3

x2 ? 5x ? 4 ? 0, 从而x1 ? 1, x2 ? 4,



b1 , b2 , b3













(2 ? aq)2 ? (1 ? a)(3 ? aq2 )
即 aq
2

? 4aq ? 3a ?1 ? 0
2

2 ?2(b1q2 ? a1q1 ) ? b1 ? a1 ? (b1q2 ? a1q12 ) ? ? 2 2 3 3 ?2(b1q2 ? a1q1 ) ? b1q2 ? a q1 ? (b1q2 ? q1q1 ) ?

由 a ? 0得? ? 4a

? 4a ? 0 ,

?b1 (q2 ? 1) 2 ? a1 (q1 ? 1) 2 ? 0 ? 即? 2 2 ?b1q2 (q2 ? 1) ? a1q1 (q1 ? 1) ? 0 ?
① ?q2 由 a1

① ②

故方程有两个不同的实根 再由 {an } 唯一, 知方程必有一根为 0, q=0 代入方程得 将

? ②得 a1 (q1 ? q2 )(q1 ?1)2 ? 0

1 a? . 3
(2)假设存在两个等比数列 {an },{bn } , 使 b1 ? a1 , b2 差数列, 设 {an } 的公比为 q1 ,{bn } 的公比为 q2 则 b2

? 0 得 q1 ? q2或q1 ? 1 ? q2 时,由①,②得 b1 ? a1或q1 ? q2 ? 1 ,
? a2 ) ? (b1 ? a1 ) ? 0 与公差不为 0 矛盾 ? 1 时,由①,②得 b1 ? 0 或 q2 ? 1 ,

i)当 q1 这时 (b2 0 的等

? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差不为

ii)当 q1 这时 (b2

? a2 ) ? (b1 ? a1 ) ? 0 与公差不为 0 矛盾,

? a2 ? b1q2 ? a1q1

综上所述,不存在两个等比数列 {an },{bn } , 使 b1 ? a1 , b2 数列。

2 b3 ? a3 ? b1q2 ? a1q12

? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差不为 0 的等差

b4 ? a4 ? b q ? a q
3 1 2

3 1 1

由 b1 ? a1 , b2

? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成等差数列得


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