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《创新设计》2014届高考数学人教版A版(文科)第一轮复习方案课时作业:第5讲 函数的单调性与最值


课时作业(五) [第 5 讲 函数的单调性与最值]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1. 下列函数中, 满足“对任意 x1, 2∈(0, x +∞), x1<x2 时, 当 都有 f(x1)>f(x2)”的是( ) 1 A.f(x)= x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex D.f(x)=ln(

x+1) 1 2.函数 f(x)=1- 在[3,4)上( ) x A.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值 C.既有最大值又有最小值 D.最大值和最小值皆不存在 3.[2012· 天津卷] 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A.y=cos2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 - ex-e x C.y= ,x∈R 2 3 D.y=x +1,x∈R x 4.函数 f(x)= 的最大值为________. x+1

能力提升 5.[2012· 宁波模拟] 已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(|x|)<f(1)的实数 x 的取值范 围是( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 6. [2012· 商丘三模] 设 f(x)=x2-2x-3(x∈R), 则在区间[-π , ]上随机取一个实数 x, π 使 f(x)<0 的概率为( ) 1 2 3 3 A. B. C. D. π π π 2π 1 x +1 7.[2012· 哈尔滨师范大学附中期中] 函数 y=?2? 的值域为( ? ?
2

1

)

1 A.(-∞,1) B.?2,1? ? ? 1 ? 1 C.?2,1? D.?2,+∞? ? ? ? 8.[2013· 惠州二调] 已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( ) A.(2- 2,2+ 2) B.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] D.(1,3) ?ax(x<0), ? 9.[2012· 长春外国语学校月考] 已知函数 f(x)=? 满足对任意的 ? ?(a-3)x+4a(x≥0) f(x1)-f(x2) 实数 x1≠x2 都有 <0 成立,则实数 a 的取值范围是( ) x1-x2 A.(3,+∞) B.(0,1) 1 C.?0,4? D.(1,3) ? ? 1 1 10.若函数 y=f(x)的值域是?2,3?,则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是________. ? ? f(x) 1 1 2 11. 若在区间?2,2?上, ? ? 函数 f(x)=x +px+q 与 g(x)=x+x在同一点取得相同的最小值, 则 f(x)在该区间上的最大值是________. x 12.函数 y= 在(-2,+∞)上为增函数,则 a 的取值范围是________. x+a 1+x 13.函数 y=ln 的单调递增区间是________. 1-x x 14.(10 分)试讨论函数 f(x)= 2 的单调性. x +1

1 15.(13 分)已知函数 f(x)=a- . |x| (1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围.

难点突破 x2 16.(12 分)已知函数 f(x)= (x∈R,且 x≠2). x-2 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若函数 g(x)=x2-2ax 与函数 f(x)在 x∈[0,1]上有相同的值域,求 a 的值.

课时作业(五) 【基础热身】 1 [解析] 由题意知,函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数.而反比例函数 f(x)= 在(0, x +∞)上是减函数.故选 A. 2.A [解析] 函数 f(x)在[3,4)上是增函数,又函数定义域中含有 3 而没有 4,所以该 函数有最小值无最大值,故选 A. 3.B [解析] 方法一:由偶函数的定义可排除 C,D,又∵y=cos2x 为偶函数,但在(1, 2)内不单调递增,故选 B. 方法二: 由偶函数定义知 y=log2|x|为偶函数, 2 为底的对数函数在(1, 以 2)内单调递增. 1 x 4. [解析] 因为 x≥0,当 x=0 时,y=0 不是函数的最大值.当 x>0 时,f(x)= = 2 x+1 1 1 1 ,而 x+ ≥2,当且仅当 x=1 时等号成立,所以 f(x)≤ . 1 2 x x+ x 【能力提升】 5.D [解析] 因为 f(x)为 R 上的减函数,且 f(|x|)<f(1),所以|x|>1.所以 x<-1 或 x>1.故 选 D. 3-(-1) 2 6.B [解析] 解 x2-2x-3<0 得,-1<x<3,所以,满足条件的概率为 = . 2π π 故选 B. 1 1 1 1 1 1 1 7.C [解析] 因为 x2+1≥1,所以 0< 2 ≤1,令 t= 2 ,则 1≤ t< 0,即 ≤ t<1, 2 2 2 2 2 x +1 x +1 1 所以 ≤y<1.故选 C. 2 8.A [解析] 由题可知 f(x)=ex-1>-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1,若有 f(a)=g(b),则 g(b)∈(-1,1],即-b2+4b-3>-1,解得 2- 2<b<2+ 2. 9.C [解析] 由题设条件知函数 f(x)在 R 上为减函数,所以 x<0 时,f(x)=ax 为减函数, 则 a∈(0, x≥0 时, 1); f(x)=(a-3)x+4a 为减函数, a-3<0, f(0)=(a-3)×0+4a≤a0, 则 且 1 1 得 a≤ .综上知 0<a≤ .故选 C. 4 4 10? 1 1 1 10.?2, 3 ? [解析] 令 f(x)=t,t∈?2,3?,问题转化为求 y=t+ ,t∈?2,3?的值域. ? ? ? ? ? t 10? 1 ?1 ? 因为 y=t+ 在?2,1?上递减,在[1,3]上递增,所以 y∈?2, 3 ?. ? t 1 1 11.3 [解析] g(x)=x+ ≥2 x· =2,当 x=1 时等号成立,所以 x=1 时,g(x)的最 x x 4q-p2 p 小值为 2,则 f(x)在 x=1 时取最小值 2,所以- =1, =2.解得 p=-2,q=3.所以 f(x) 2 4 1 =x2-2x+3,所以 f(x)在区间?2,2?上的最大值为 3. ? ? x a 12.a≥2 [解析] y= =1- ,因为函数在(-2,+∞)上为增函数,所以 a>0, x+a x+a x 所以得函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使 y= 在(-2,+∞)上为增 x+a 函数,只需-2≥-a,即 a≥2. 1+x 13.(-1,1) [解析] 由 >0 得函数的定义域为(-1,1),原函数的递增区间即为函 1-x 1+x 1+x 1+x 2 数 u(x)= 在(-1,1)上的递增区间,由于 u′(x)= ′= 2>0.故函数 u(x)= 1-x 1-x (1-x) 1-x 1.A

的递增区间为(-1,1),即为原函数的递增区间. 14.解:f(x)的定义域为 R,在定义域内任取 x1<x2, (x1-x2)(1-x1x2) x1 x2 有 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 = , 2 x1+1 x2+1 (x1+1)(x2+1) 2 其中 x1-x2<0,x2+1>0,x2+1>0. 1 2 ①当 x1,x2∈(-1,1)时,即|x1|<1,|x2|<1,所以|x1x2|<1, 则 x1x2<1,1-x1x2>0,f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),所以 f(x)为增函数. ②当 x1,x2∈(-∞,-1]或[1,+∞)时, 1-x1x2<0,f(x1)>f(x2),所以 f(x)为减函数. 综上所述,f(x)在(-1,1)上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数. 1 15.解:(1)证明:当 x∈(0,+∞)时,f(x)=a- , x 设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2-x1>0. 1 1 1 1 x1-x2 ∴f(x1)-f(x2)=a- -a- = - = <0. x1 x2 x2 x1 x1x2 ∴f(x1)<f(x2),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 (2)由题意 a- <2x 在(1,+∞)上恒成立, x 1 设 h(x)=2x+ ,则 a<h(x)在(1,+∞)上恒成立. x 可证 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以 a≤h(1),即 a≤3. 所以 a 的取值范围为(-∞,3]. 【难点突破】 [(x-2)+2]2 x2 4 16.解:(1)f(x)= = =(x-2)+ +4, x-2 x-2 x-2 令 x-2=t, 4 由于 y=t+ +4 在(-∞,-2),(2,+∞)内单调递增, t 在(-2,0),(0,2)内单调递减,∴容易求得 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(4,+∞); 单调递减区间为(0,2),(2,4). (2)∵f(x)在 x∈[0,1]上单调递减,∴其值域为[-1,0], ∴x∈[0,1]时,g(x)∈[-1,0]. ∵g(0)=0 为最大值,∴最小值只能为 g(1)或 g(a), ?a≥1, ? 若 g(1)=-1,则? ?a=1; ? ?1-2a=-1 ?1≤a≤1, ? 若 g(a)=-1,则?2 ?a=1.

? ?-a2=-1

综上得 a=1.


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