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【学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修1-1)作业:2.2.1双曲线及其标准方程


§2.2
2.2.1

双曲线

双曲线及其标准方程

课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标 准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.

1.双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点 F1, F2 的距离的差的绝对

值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做 双曲线. 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为 __________________________________________. 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________. (2)双曲线的焦点和焦距 双 曲 线 定 义 中 的 两 个 定 点 F1 、 F2 叫 做 ________________ , 两 焦 点 间 的 距 离 叫 做 ________________. 2.双曲线的标准方程 (1) 焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 ________________ ,焦点 F1__________ , F2__________. (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是________________________, 焦点 F1________, F2__________. (3)双曲线中 a、b、c 的关系是____________.

一、选择题 1.已知平面上定点 F1、F2 及动点 M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a 为常数),命题乙: M 点轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若 ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是( ) A.双曲线,焦点在 x 轴上 B.双曲线,焦点在 y 轴上 C.椭圆,焦点在 x 轴上 D.椭圆,焦点在 y 轴上 3.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) 2 x2 2 2 y A.x - =1 B. -y =1 3 3 2 x2 y2 2 x C.y - =1 D. - =1 3 2 2 x2 y2 4.双曲线 - =1 的一个焦点为(2,0),则 m 的值为( ) m 3+m 1 A. B.1 或 3 2 1+ 2 2-1 C. D. 2 2 2 2 2 2 5.一动圆与两圆:x +y =1 和 x +y -8x+12=0 都外切,则动圆圆心的轨迹为( ) A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆

6.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 位于该双曲线上,线 段 PF1 的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是( ) x2 2 y2 2 A. -y =1 B.x - =1 4 4 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 2 3 3 2 1 题号 答案 二、填空题 7. 设 F1、 F2 是双曲线 =______. 2 3 4 5 6

x2 2 → → -y =1 的两个焦点, 点 P 在双曲线上, 且PF1· PF2=0, 则|PF1|· |PF2| 4

x2 y2 8.已知方程 - =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是________. 1+k 1-k 2 x y2 9.F1、F2 是双曲线 - =1 的两个焦点,P 在双曲线上且满足|PF1|· |PF2|=32,则∠ 9 16 F1PF2=______. 三、解答题 x2 y2 10.设双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点 A 的纵坐标为 27 36 4,求此双曲线的标准方程.

1 11.在△ABC 中,B(4,0)、C(-4,0),动点 A 满足 sin B-sin C= sin A,求动点 A 的轨 2 迹方程.

x2 12.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线 a → → 右支上的任意一点,则OP· FP的取值范围为( ) A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞) 7 7 C.[- ,+∞) D.[ ,+∞) 4 4 13.已知双曲线的一个焦点为 F( 7,0),直线 y=x-1 与其相交于 M,N 两点,MN 中 2 点的横坐标为- ,求双曲线的标准方程. 3

能力提升

1.双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得. 2.和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解,也要和双曲线的定义 相结合. 3.直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求),利用韦达定理,弦长公 式等解决.

§ 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程 答案
知识梳理 1.(1)|F1F2| 以 F1,F2 为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距 x2 y2 2.(1) 2- 2=1(a>0,b>0) (-c,0) (c,0) a b y2 x2 (2) 2- 2=1(a>0,b>0) (0,-c) (0,c) a b (3)c2=a2+b2 作业设计 1.B [根据双曲线的定义,乙?甲,但甲 ? 乙, 只有当 2a<|F1F2|且 a≠0 时,其轨迹才是双曲线.] x2 b 2.B [原方程可化为 +y2=1,因为 ab<0,所以 <0,所以曲线是焦点在 y 轴上的双 b a a 曲线,故选 B.] 3.A [∵双曲线的焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴设双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0). a b 由题知 c=2,∴a2+b2=4. ① 22 32 又点(2,3)在双曲线上,∴ 2- 2=1. ② a b 由①②解得 a2=1,b2=3, y2 ∴所求双曲线的标准方程为 x2- =1.] 3 4.A [∵双曲线的焦点为(2,0),在 x 轴上且 c=2, 1 ∴m+3+m=c2=4.∴m= .] 2 5.C [由题意两定圆的圆心坐标为 O1(0,0),O2(4,0),设动圆圆心为 O,动圆半径为 r, 则|OO1|=r+1,|OO2|=r+2,∴|OO2|-|OO1|=1<|O1O2|=4,故动圆圆心的轨迹为双 曲线的一支.] x2 y2 6.B [设双曲线方程为 2- 2=1,因为 c= 5,c2=a2+b2,所以 b2=5-a2,所以 a b x2 y2 - =1.由于线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则 P 点的坐标为( 5,4).代入双曲线 a2 5-a2 2 5 16 2 2 2 y 方程得 2- 2=1,解得 a =1 或 a =25(舍去),所以双曲线方程为 x - =1.故选 a 5-a 4 B.] 7.2

解析 ∵||PF1|-|PF2||=4, 又 PF1⊥PF2,|F1F2|=2 5, ∴|PF1|2+|PF2|2=20,∴(|PF1|-|PF2|)2 =20-2|PF1||PF2|=16,∴|PF1|· |PF2|=2. 8.-1<k<1 x2 y2 解析 因为方程 - =1 表示双曲线, 1+k 1-k 所以(1+k)(1-k)>0.所以(k+1)(k-1)<0. 所以-1<k<1. 9.90° 解析 设∠F1PF2=α,|PF1|=r1,|PF2|=r2. 在△F1PF2 中,由余弦定理, 2 得(2c)2=r2 1+r2-2r1r2cos α, ?r1-r2?2+2r1r2-4c2 36+64-100 ∴cos α= = =0. 2r1r2 64 ∴α=90° . y2 x2 10.解 方法一 设双曲线的标准方程为 2- 2=1 (a>0,b>0),由题意知 c2=36-27 a b =9,c=3. 又点 A 的纵坐标为 4,则横坐标为± 15,于是有 ? 2 ? ? ?42-?± 15 =1, 2 ?a =4, a b ? ? 解得 2 ?b =5. ? ?a2+b2=9, ? y2 x2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 4 5 方法二 将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(± 15,4), 又两焦点分别为 F1(0,3),F2(0,-3). 所以 2a=| ?± 15-0?2+?4+3?2- ?± 15-0?2+?4-3?2|=4, 即 a=2,b2=c2-a2=9-4=5, y2 x2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 4 5 11. 解 设 A 点的坐标为(x,y),在△ABC 中, 由正弦定理, 得 a b c = = = 2R , sin A sin B sin C 1 代入 sin B-sin C= sin A, 2 |AC| |AB| 1 |BC| 得 - = · ,又|BC|=8, 2R 2R 2 2R 所以|AC|-|AB|=4. 因此 A 点的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且 2a=4,2c=8,所以 a=2,c=4,b2=12. x2 y2 所以 A 点的轨迹方程为 - =1 (x>2). 4 12 12.B
2 2

[由 c=2 得 a2+1=4, ∴a2=3, x2 ∴双曲线方程为 -y2=1. 3 设 P(x,y)(x≥ 3), → → ∴ OP· FP=(x,y)· (x+2,y)=x2+2x+y2 2 x =x2+2x+ -1 3 4 2 = x +2x-1(x≥ 3). 3 4 令 g(x)= x2+2x-1(x≥ 3), 则 g(x)在[ 3, +∞)上单调递增. g(x)min=g( 3)=3+2 3. 3 → → OP· FP的取值范围为[3+2 3,+∞).] x2 y2 13.解 设双曲线的标准方程为 2- 2=1, a b 2 2 且 c= 7,则 a +b =7.① 2 由 MN 中点的横坐标为- 知, 3 2 5? 中点坐标为? ?-3,-3?. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), x2 y2 1 1 2- 2=1, a b 则由 2 x2 y2 2 - =1, a2 b2

? ? ?

得 b2(x1+x2)(x1-x2)-a2(y1+y2)(y1-y2)=0. 4 x1+x2=- 3 y1-y2 ∵ ,且 =1, x1-x2 10 y1+y2=- 3

? ? ?

∴2b2=5a2.② 由①,②求得 a2=2,b2=5. x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 2 5


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