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圆章节知识点及练习题


《圆》章节知识点复习

圆章节知识点及其练习题
一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂

直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫 中垂线) ; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? 2、点在圆上 ? 3、点在圆外 ?

d ? r ? 点 C 在圆内; d ? r ? 点 B 在圆上;
d ? r ? 点 A 在圆外;

A r B

d O d C

三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d ? r ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d ? r ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d ? r ? 有两个交点;

r

d

d=r

r

d

四、圆与圆的位置关系
-1-

《圆》章节知识点复习 外离(图 1) ? 无交点

? d ? R?r ;

外切(图 2) ? 有一个交点 ? d ? R ? r ; 相交(图 3) ? 有两个交点 ? R ? r ? d ? R ? r ; 内切(图 4) ? 有一个交点 ? d ? R ? r ; 内含(图 5) ? 无交点

? d ? R?r ;

d R 图1 r
R

d r 图2

d R 图3 r

d R

d
r

r R

图4

图5

五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即 可推出其它 3 个结论,即: ① AB 是直径 ② AB ? CD ③ CE ? DE ④ 弧 BC ? 弧 BD ⑤ 弧 AC ? 弧 AD
A

中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙ O 中,∵ AB ∥ CD ∴弧 AC ? 弧 BD
C O A B
C B

D
O E D

六、圆心角定理

-2-

《圆》章节知识点复习 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对 的弧相等, 弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理, 即上述四个结论中, 只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论, 即:① ?AOB ? ?DOE ;② AB ? DE ; ③ OC ? OF ;④ 弧 BA ? 弧 BD
A O D C

E F

B

七、圆周角定理 1、 圆周角定理: 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵ ?AOB 和 ?ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 ∴ ?AOB ? 2?ACB 2、圆周角定理的推论: 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆 周角所对的弧是等弧; 即:在⊙ O 中,∵ ?C 、 ?D 都是所对的圆周角 ∴ ?C ? ?D
B O A D C
B O A C

推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧 是半圆,所对的弦是直径。 即:在⊙ O 中,∵ AB 是直径 ∴ ?C ? 90? 或∵ ?C ? 90? ∴ AB 是直径
B O

C

A

推论 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是 直角三角形。 即:在△ ABC 中,∵ OC ? OA ? OB ∴△ ABC 是直角三角形或 ?C ? 90?
B O

C

A

注: 此推论实是初二年级几何中矩形的推论: 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理。

八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
-3-

《圆》章节知识点复习 即:在⊙ O 中,
C

D

∵四边形 ABCD 是内接四边形 ∴ ?C ? ?BAD ? 180?

?B ? ?D ? 180?
B A E

?DAE ? ?C

九、切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵ MN ? OA 且 MN 过半径 OA 外端 ∴ MN 是⊙ O 的切线
O

(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
M A N

十、切线长定理 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这点和圆心的连线平分两条切线 的夹角。
B

即:∵ PA 、 PB 是的两条切线 ∴ PA ? PB
P O

PO 平分 ?BPA
A

十一、圆幂定理 (1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
D B O P C A

-4-

《圆》章节知识点复习 即:在⊙ O 中,∵弦 AB 、 CD 相交于点 P , ∴ PA ? PB ? PC ? PD (2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项。 即:在⊙ O 中,∵直径 AB ? CD , ∴ CE ? AE ? BE
2

C B O E D A

(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切 线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即:在⊙ O 中,∵ PA 是切线, PB 是割线 ∴ PA ? PC ? PB
2

A D P C O B E

(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等(如上图) 。 即:在⊙ O 中,∵ PB 、 PE 是割线 ∴ PC ? PB ? PD ? PE

十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆 的公共弦。 如图: O1O2 垂直平分 AB 。 即:∵⊙ O1 、⊙ O2 相交于 A 、 B 两点 ∴ O1O2 垂直平分 AB 十三、圆的公切线
C

A O1 O2



B

A

B O1

两圆公切线长的计算公式: (1)公切线长: Rt ?O1O2C 中, AB 2 ? CO12 ? O1O2 2 ? CO2 2 ; (2)外公切线长: CO2 是半径之差; 内公切线长: CO2 是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形

O2

C

O

-5B D A

《圆》章节知识点复习 在⊙ O 中△ ABC 是正三角形,有关计算在 Rt ?BOD 中进行: OD : BD : OB ? 1: 3 : 2 ;

(2)正四边形 同理,四边形的有关计算在 Rt ?OAE 中进行,OE : AE : OA ? 1:1: 2 :

B O A

C

E

D

(3)正六边形 同理,六边形的有关计算在 Rt ?OAB 中进行, AB : OB : OA ? 1: 3 : 2 .
O

B A

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形: (1)弧长公式: l ?

A

n? R ; 180
n? R 1 ? lR 360 2
2

O

S

l

(2)扇形面积公式: S ?

B

n :圆心角

R :扇形多对应的圆的半径

l :扇形弧长 S :扇形面积

2、圆柱: (1)圆柱侧面展开图
A D D1 母线长 底面圆周长 B C
B1

S表 ? S侧 ? 2S底 = 2? rh ? 2? r 2
(2)圆柱的体积: V ? ? r h
2

C1

(2)圆锥侧面展开图 (1) S表 ? S侧 ? S底 = ? Rr ? ? r
O
2

1 2 (2)圆锥的体积: V ? ? r h 3
A

R

C

r

B

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《圆》章节知识点复习

二、选择题: 13. 若两圆相切,且两圆的半径分别是 2,3,则这两个圆的圆心距是( A. 5 B. 1 C. 1 或 5 D. 1 或 4



14. ⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 1 和 4,圆心距 O1O2=5,那么两圆的位置关系是( ) A. 外离 B. 内含 C. 外切 D. 外离或内含

15.如果半径分别为 1cm 和 2cm 的两圆外切,那么与这两个圆都相切,且半径为 3cm 的 圆的个数有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
2

16.若两圆半径分别为 R 和 r(R>r) ,圆心距为 d,且 R +d2-r2=2Rd,则两圆的位置关 系是( ) B. 外切 C. 内切或外切 D. 相交 A M O B

A. 内切

17. 如图,⊙O 的直径为 10 厘米,弦 AB 的长为 6cm,M 是弦 AB 上的一动点,则线段 OM 的长的取值范围是( A. 3≤OM≤5 ) B. 4≤OM≤5 C. 3<OM<5 D. 4<OM<5

18. 已知:⊙O1 和⊙O2 的半径是方程 x2-5x+6=0 的两个根,且两圆的圆心距等于 5 则 ⊙O1 和⊙O2 的位置关系是( ) A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内切

19. 如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠A=90°,AB=AC= 2 ,⊙A 与 BC 相切, 则图中阴影部分的面积为( A. 1- )

? 2

B. 1-

? 3

C. 1-

? 4

D. 1-

? 5

1 VA,过点 B 作平行于底面的平面截得 3 一个小圆锥,若小圆锥的侧面积为 S1,原圆锥的侧面积为 S,则下列判断中正确的是 ( ) 1 1 1 1 A. S1= S B. S1= S C. S1= S D. S1= S 3 4 6 9 三、填空题 21. 若半径分别为 6 和 4 的两圆相切,则两圆的圆心距 d 的值是 _______________ 。
20. 如图,点 B 在圆锥母线 VA 上,且 VB= 22. ⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 20 和 15,它们相交于 A,B 两点,线段 AB=24,则两圆的 圆心距 O1O2=____。 23. ⑴⊙O1 和⊙O2 相切, ⊙O1 的半径为 4cm, 圆心距为 6cm, 则⊙O2 的半径为__________; ⑵⊙O1 和⊙O2 相切,⊙O1 的半径为 6cm,圆心距为 4cm,则⊙O2 的半径为__________

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《圆》章节知识点复习 24.⊙O1、⊙O2 和⊙O3 是三个半径为 1 的等圆,且圆心在同一直线上,若⊙O2 分别与⊙O1, ⊙O3 相交,⊙O1 与⊙O3 不相交,则⊙O1 与⊙O3 圆心距 d 的取值范围是_____。 25. 在△ABC,∠C=90°,AC=3,BC=4,点 O 是△ABC 的外心,现在以 O 为圆 心, 分别以 2、 2.5、 为半径作⊙O, 3、 则点 C 与⊙O 的位置关系分别是_____________. 26.如图在⊙O 中,直径 AB⊥弦 CD,垂足为 P,∠BAD=30°,则∠AOC 的度数是 ________度. 27.在 Rt△ABC,斜边 AB=13cm,BC=12cm,以 AB 的中点 O 为圆心,2.5cm 为半径画圆, 则直线 BC 和⊙O 的位置关系是________________. 28.把一个半径为 12 厘米的圆片,剪去一个圆心角为 120°的扇形后,用剩下的部分做成一 个圆锥侧面,那么这个圆锥的侧面积是___________. 29.已知圆锥的母线与高的夹角为 30°,母线长为 4cm,则它的侧面积为 ________ cm2(结 果保留 π) 。 30. 一个扇形的弧长为 4π,用它做一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面半径为 。

四、解答题: 31. 已知:如图,⊙O1 和⊙O2 相交于点 A、B,过点 A 的直线分别交两圆于点 C,D 点 M 是 CD 的中点直线,BM 分别交两圆于点 E、F。 ⑴求证:CE//DF ⑵求证:ME=MF

32. △ABC 的三边长分别为 6、8、10,并且以 A、B、C 三点为圆心作两两相切的圆,求这 三个圆的半径

33.如图所示, 1 和⊙O2 相切于 P 点, P 的直线交⊙O1 于 A,交⊙O2 于 B, ⊙O 过 求证: 1A O ∥O2B
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《圆》章节知识点复习

34.如图,A 为⊙O 上一点,以 A 为圆心的⊙A 交⊙O 于 B、C 两点,⊙O 的弦 AD 交公 共弦 BC 于 E 点。 (1)求证:AD 平分∠BDC (2)求证:AC2=AE·AD B E D

A C

O

35. 如图,⊙O 的半径 OC 与直径 AB 垂直,点 P 在 OB 上,CP 的延长线交⊙O 于点 D, 在 OB 的延长线上取点 E,使 ED=EP. (1)求证:ED 是⊙O 的切线; (2)当 OC=2,ED=2 时,求∠E 的正切值 tanE 和图中阴影部分的面积.

*36.两圆相交于 A、B,过点 A 的直线交一个圆于点 C,交另一个圆于点 D,过 CD 的中点 P 和点 B 作直线交一个圆于点 E,交另一个圆于点 F,求证:PE=PF.

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