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高中数学必修五课件:3.4-2(1)《基本不等式》(人教A版必修5)


? 第1课时

基本不等式

? 1.重要不等式:对于任意实数a、b,有a2 ≥

+b2 2ab,当且仅当 时 , 等 a=b 号成立. ≤ ? 2 . 基 本 不 等 式 : 如 果 a , b∈R + , 那 么 a=b 算术平均数 ,当且仅当 时,等号成 算术 , 立.其中几何平均数为a、b的 几何 ?

为a、b的 .所以两个正数的 1 a 平均数不小于它们的b 平均数. 3.已知a,b∈R ,则a+ ≥ 2 , + ≥ 2 .


a

b a

? 1.不等式a2 +1≥2a中等号成立的条件是

( ) ? A.a=±1 B.a=1 ? C.a=-1 D.a=0 ? 解析:a2 +1-2a=(a-1)2≥0,∴a=1时, 等号成立. ? 答案:B

? 2.已知a,b∈(0,1),且a≠b,则下列各式

最大的是( ? A.2ab ? C.a+b ? 答案:C

)
B.2 D.a2+b2

a+b 3.对于任意正数a,b,设A= 2 ,G= ab ,则A与G 的大小关系是________.
解析:∵a>0,b>0, a+b ∴ ≥ ab>0,∴A≥G. 2
答案:A≥G

1 4.函数y=x+ (x≠0)的值域是________. x

? 解析:分x>0和x<0讨论. ? 答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)

a+b 2 a2+b2 5.求证:( )≤ . 2 2 a+b 2 a2+b2+2ab a2+b2+a2+b2 证明:( )= ≤ = 2 4 4 a2+b2 (当且仅当a=b时“=”成立). 2

[例1] 已知a>b>0,则下列不等式成立的是 a+b A.a>b> 2 > ab a+b C.a> 2 >b> ab a+b B.a> 2 > ab>b a+b D.a> ab> 2 >b

(

)

[解析]

a+b 本题的关键在于比较 2 ,b, ab的大小,因
2

a+b a+b 为 ab> b , ab>b,又由推论知 > ab,∴a> 2 2 > ab>b,故选 B.
[答案] B

迁移变式 1 以下结论中,错用基本不等式作依据的是 ( y x A.x,y 均为正数,则x+y≥2 1 B.a∈R,则(1+a)(1+a)≥4 C.若 x>1,则 lgx+logx10≥2 x2+2 D. 2 ≥2 x +1 )

? 解析:A、C符合基本不等式,可以运用基

本不等式作理论依据.D拆项后为 , 符合基本不等式,只有B,因给出a∈R, 所以需讨论.故答案为B. ? 答案:B

[例 2]

lga+lgb a+b 若 a>b>1,P= lga· lgb,Q= ,R=lg( 2 ), 2

试比较 P、Q、R 的大小.
lga+lgb [解] ∵a>b>1, ∴lga>lgb>0, lga· ∴ lgb< , P<Q. 即 2 a+b a+b 又 ab < , 两 边 取 常 用 对 数 , 得 lg ab <lg( ), 2 2 lga+lgb a+b ∴ <lg( 2 ),即 Q<R,∴P<Q<R. 2

? [点评]

根据均值不等式与对数的运算法则, 利用不等式的传递性,即可得到三个式子 的大小关系.

1+x 1 2x 迁移变式 2 设 m= logax,n=loga ,p=loga ,其 2 2 1+x 中 0<a<1,x>0 且 x≠1,则下列结论正确的是( A.m<n<p C.n<m<p B.m<p<n D.n<p<m )

1+x 1+x 2x 解析: ∵x>0 且 x≠1, 2 > x> ∴ >0, 又∵0<a<1, ∴loga 2 1+x 1 2x <2logax<loga ,∴n<m<p. 1+x
答案:C

[例 3]

a+b 已知 a>0, b>0, 求证: ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 + a b 1

a2+b2 . 2

[分析]

要证的题目可分解成三个不等式,每一个不等号都连接

a+b 一个不等式,其中的 ab≤ 2 是已证明过的定理,只需证明 a+b 1 1≤ ab和 2 ≤ a+b 1 a2+b2 1 1 因为 a>0, b>0, a>0, >0, ∴ 2 即可. b 1 a2+b2 2 时,可

a+b 运用推论后取倒数可证出1 1≤ ab;证 2 ≤ + a b 先证平方成立,然后开方.

[证明] 2

1 1 a+b 1 1 ∵a>0, b>0, >0, >0, ∴ ∴ ≥ a b 2 1

1 1 = >0, ab ab

ab ∴1 1≤ ab,∴1 1≤ 2 ≤ ab. + + a b a b ?a+b?2 a2+b2+2ab a2+b2+a2+b2 a2+b2 a+b 又 = ≤ = ,∴ 4 4 4 2 2 ≤ a2+b2 2 . 1 a2+b2 (当且仅当 a=b 时, 2

a+b 综上: ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 + a b “=”号成立).

? [点评]

本题的证题思想非常重要,证明其 他不等式时有时用到.

? 迁移变式3

已知a、b、c、d都是正数,求 证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
ab+cd ac+bd 证明: a、 c、 都是正数, 由 b、 d 得 2 ≥ ab· cd>0, 2 ≥ ac· bd>0, ?ab+cd??ac+bd? ∴ ≥abcd,即 4 (ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 当且仅当 ab=cd 且 ac=bd,即 a=d 且 b=c 时,取等号.

[例 4]

已知 a,b,c∈{正实数}且 a+b+c=1.

1 1 1 求证:(a-1)(b-1)(c-1)≥8.

[分析]

不等式右边数字为 8,使它们联想到左边因式分

1-a 1 别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又 -1= a a b+c 2 bc = a ≥ a ,可由此变形入手.

[证明]

∵a,b,c∈{正实数},a+b+c=1,

1-a b+c b c 2 bc 1 ∴a-1= a = a =a+a≥ a , 1 2 ac 1 2 ab 同理b-1≥ b ,c -1≥ c . 由上述三个不等式两边均为正,分别相乘, 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ∴( -1)( -1)( -1)≥ · · =8. a b c a b c 1 当且仅当 a=b=c=3时取等号.

? [点评]

本题除了正确使用基本不等式外, 还要注意“1”的整体代换,上式中还必须 保证三个“=”号同时成立.

迁移变式 4 已知 a,b,c∈{正实数},且 a+b+c=1. 1 1 1 求证:a+b+c≥9.
1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c 解:证明: a + b + c = + + =3+ a b c b a c a c b ( + )+( + )+( + ) a b a c b c ≥3+2+2+2=9. 1 当且仅当a=b=c=3时取等号.

1.基本不等式是由重要不等式:如果a、b∈R,那么a2+ b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)推出的,但它们运用的 条件不同,基本不等式中要求a、b是正数,而重要不等式 a+b 中,a,b是实数即可.在推导a +b ≥2ab和 ab ≤ 2 时,
2 2

是由不等式的意义、性质及比较法推出的,因此,凡是用这 两个不等式解答的问题,也都是由不等式的意义、性质及比 较法来解决的.

2.根据定理中的基本公式,易得到一些常用的变形公 式和推广公式. 常用的变形公式有: a+b 2 (1)a+b≥2 ab,ab≤( 2 ) (当且仅当a=b时取等号). 1 + (2)a+ ≥2(a∈R )(当且仅当a=1时取等号). a 1 - a+a≤-2(a∈R )(当且仅当a=-1时取等号). b a (3)a+b≥2(a,b同号)(当且仅当a=b时取等号).


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