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河北省唐山一中2013届高三强化训练(三) 数学文


唐山一中 2013 届高三强化训练(三)

数学(文)试题
一.选择题:(共 60 分,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

1







R )




r />数





2 M ? {x | <1}, N ? { y | y ? x
A.(1,2) B. [0,2]

x ? 1} ,则 N ? CR M ? (
C. ?

D. [1,2] )

a+2i 2.已知 =b-i, (a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b=( i A.-1 B.1 C.2 D.3

3.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l ? m, m ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? , l / / m ,则 m ? ? D.若 l / /? , m / /? ,则 l / / m





C.若 l / /? , m ? ? ,则 l / / m

2 3 2 4.如下图,已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0? , 记 ? ? 4 b ? 3ac , 则当

?

?

? ? 0且a ? 0时,f ( x) 的大致图象为(
y y

) y

y

o A

x

o B

x

o C

x

o D

x

5. 数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 , a3 , a7 为等比数列 {bn } 的连续三项, 且 则数列 {bn } 的公比为( A. 2 ) B.4 C.2 D.

1 ks5u 2

y ? ? 6.已知向量 a=(x-1,2),b=(y,-4),若 a∥b,则向量 c ? ? x ? ,1? 与向量 d ? ? 0, ?1? 的夹 2 ? ?

角为 ( A.45°

) B.60° C.135°° D. 120

7.已知某个几何体的三视图如下,那么可得这个几何体的 体积是( )

1 A. 3

2 B. 3

4 C. 3

8 D. 3

8.若右边的程序框图输出的 S 是 126 ,则条件①可为( A. n ? 5 C. n ? 7 B. n ? 6 D. n ? 8



9.A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上两点,F 为该抛物线的焦点,若→+4→=0,则直线 FA FB AB 的倾斜角的余弦值为 1 A.± 2 3 B.± 5 2 C.± 3 5 D.± 7

10.已知函数 f ( x) ? cos x( x ? (0,2? )) 有两个不同的零点 x1 , x 2 ,且方程 f ( x) ? m 有两个不 同的实根 x3 , x 4 ,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为( )

A

1 2

B ?

1 2

C

3 2

D ?

3 2

11.已知 P ( x, y ) 是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA, PB 是圆 C :x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线, A, B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2 ,则 k 的值为( )

A. 3

B.

21 2

C. 2 2

D. 2

?x 12.函数 f ( x) ? ?2 ? 1( x ? 0) 若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不等的实数根,则实数 a 的取 ?

? f ( x ? 1) ( x ? 0)

值范围为 A.(-∞,0) B.[0,1) C.(-∞,1) D.[0,+∞)

二.填空题:( 每小题 5 分共 20 分)

13 若 a 是 1 ? 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为 a ?2 b

x2 y2 ? ? 1 上有一个动点 P,圆 E 14.椭圆 4 3
2 2

: x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,过圆心 E 任意作一条直

线与圆 E 交于 A,B 两点。⊙F : x ? y ? 2 x ? 0 ,过 F 任意作一条直线交⊙F 于 C,D 两点, 向量 PA ? PB ? PC ? PD 的最小值为

?x ? y ? 2 ? 0 ?4 x ? y ? 4 ? 0 y 满足约束条件 ? 15. 设 x 、 ,若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
值为 6 ,则 log 3 ( ? ) 的最小值为

1 a

2 b

.

16.给出下列五个命题:①当 x ? 0且x ? 1 时,有 ln x ?

1 ? 2 ;② ?ABC 中, A ? B 是 ln x

sin A ? sin B 成 立 的充 分必 要 条件 ;③ 函 数 y ? a x 的 图像 可 以由 函数 y ? 2a x ( 其中

a ? 0且a ? 1 )的图像通过平移得到;④已知 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,

则 S9 ? S3 ;⑤函数 y ? f (1 ? x) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图像关于直线 x ? 1 对称。其中正确 命题的序号为 .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。请把解答题答在答题卡限定的区域内,解答应 写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已 知 ?A B C 的 角 A 、 B 、 C , 所 对 的 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 且 C ?

?
3

,设向量

?? ? ? m ? ( a , b )? n ,
?? ? ?

? ( s i n B , s i (A ) , p = . b - 2 , a - 2 ) n

(1)若 m / /n ,求 B; (2)若 m ? p,S?ABC ? 3 ,求边长 c。 18. (本小题满分 12 分) 某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进 行研究,于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究,且分别记录了每天昼夜 温差与每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x / ?C 发芽数 y / 颗 4月1日 10 23 4月7日 11 25 4 月 15 日 13 30 4 月 21 日 12 26 4 月 30 日 8 16

?? ?

?

(1) 从这 5 天中任选 2 天, 记发芽的种子数分别为 m, n , 求事件 m, n 均不小于 25 的概率。 “ (2)从这 5 天中任选 2 天,若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日的两组数据,请根据这 5 天

? ? ? 中的另三天的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为 得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?

? (参考公式: b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

? ? , a ? y ? bx )

2 i

19. (本小题满分 12 分)

EF EF BC ? 2 AD ? 4 , 在如图的多面体中, ⊥平面 AEB ,AE ? EB , AD // EF , // BC ,

EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点.
(Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ) 求证: BD ? EG ;
B

A

D

E

F

G

C

(Ⅲ) 求多面体 ABGDE 的体积 20. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中 a>0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)当 x>0 时,证明不等式: 21. (本小题满分 12 分) 已知点 Q(1,0) 在椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过点 P ( m,0) 作直线交椭圆 C 于点 A,B,△ABQ 的垂心为 T,是否存在实数 m ,使得垂 心 T 在 y 轴上.若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 选考题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,若都选,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线
PBC

x <ln(x+1)<x; 1? x

y 2 x2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,且椭圆 C 的离心率 . 2 a b 2

A E C

.D O
第 22 题图

B

P

交圆 O 于点 B,C , ?APC 的平分线分别交 AB,AC 于 点 D,E . (Ⅰ)证明: ?ADE = ?AED ; (Ⅱ)若 AC ? AP ,求

PC 的值. PA

23.选修 4-4:坐标系与参数方程

4 ? ?x ? 1? 5 t ? ? (t为参数) 被曲线 ? ? 2 2a cos(? ? ) 所截得的弦长大于 2 2 , 若直线 l : ? 求 3 4 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?
正整数 a 的最小值。 24.选修 4—5;不等式选讲 对于任意实数 a ( a ? 0 )和 b ,不等式 a ? b ? a ? b ? m a 恒成立,记实数 m 的最大值 为M 。 (1)求 M 的值; (2)解不等式: x ?1 ? x ? 2 ? M 。

参考答案

1.B 2. D 3.B 4.C 5. C 6.C 7.C 8. B. 9.B 13.

10.D

11.D 12.C

2 4

14.6

15.2

16.②③④

17.证明: (1)? m // n,? a sin A ? b sin B …………2 分 由正弦定理得

a 2 ? b 2即a ? b ………4 分
又? c ?

?
3
………4 分

? ?ABC为等边三角形 B?

?
3

由题意可知 m. p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ks5u

? a ? b ? ab ………①…………8 分
由正弦定理和①②得, 3 ?

1 . sin c.ab 2

?C ?

?
3

,? sin C ?

3 2

? ab ? 4 ………②…………10 分

? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab ? 16 ? 12 ? 4 ……………12 分 ks5u ?c ? 2
18. 解: (1) m, n 的所有取值情况有(23,25)(23,30)(23,26)(23,16)(25,30) , , , , , (25,26)(25,16)(30,26)(30,16)(30,26) , , , , ,共有 10 个???????2 分 设“ m, n 均不小于 25”为事件 A,则包含的基本事件有(25,30)(25,26)(30,26) , , 所以 P( A) ?
3 3 ,故事件 A 的概率为 ?????????4 分 10 10

(2) 由数据得 x ? 12, y ? 27 , x y ? 972 , 3 6分

?x y
i i ?1

3

i

? 977 ,

?x
i ?1

3

2 i

3 ? 434 , x ? 432 ????

2

? 977 ? 972 ? 5 , a ? 27 ? 5 ? 12 ? ?3 ? 由公式,得 b ? 434 ? 432 2 2 ? 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 5 x ? 3 ???????????8 分 2

? ? (3)当 x ? 10 时, y ? 22 ,|22-23| ? 2 ,当 x ? 8 时, y ? 17, |17-16| ? 2

所以得到的线性回归方程是可靠的。???????????12 分

19.【解析】(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ……………2 分

∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (Ⅱ) 解法 1 …………………4 分

解法 2

E ∵ EF ? 平面 AEB ,AE ? 平面 AEB ,BE ? 平面 AEB , E ?A ∴ F
又 AE ? EB , ∴ EB, EF , EA 两两垂直. ……………………5 分

,EF ? BE ,

以点 E 为坐标原点, EB, EF , EA 分别为 x, y, z 轴建立如 图的空间直角坐标系. 由已知得, A (0,0,2) B (2,0,0) , ,

z
A

D

C (2,4,0) F (0,3,0) D (0,2,2) , , ,

G (2,2,0).
(3)

…………………………6 分

E

F

y

B G ax ? 1 20.解: (1)f’(x)= (x>-1,a>0) x ?1 1 令 f’(x)=0? x ? ? 0 a 1 1 1 1 ? f(x)在(-1, )为减,在( ,+ ? )为增 f(x)min=f( )=1-(a+1)ln( +1) a a a a x ( x ? 0) ks5u (2)设 F(x)=ln(x+1)x ?1

x

C

F’(x)=

1 x ?1? x x ? ? ? 0 ? F(x)在(0,+ ? )为增函数 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1)2
x ? ln( x ? 1) x ?1

F(x)>F(0)=0 ? F(x)>0 即 G(x)=x-ln(x+1)(x>0) G’(x)=1-

1 x ? ?0 x ?1 x ?1

? G(x)在(0,+ ? )为增函数

G(x)>G(0)=0 ? G(x)>0 即 ln(x+1)<x 经上可知 21、 (本小题满分 12 分)

x ? ln( x ? 1) ? x x ?1

c2 a 2 ?1 1 ? ? 2 2 2 ,? a ? 2 a2 .解:(Ⅰ) b ? 1 ,? a
? 椭圆C的方程为
x2 ? y2 ?1 2 ——————————————2分

(Ⅱ)假设存在实数m,使得垂心T在Y轴上。 当直线斜率不存在时,设 A?m, n?,则 B?m,?n? 则有 AT ? BQ ? 0 ,所以 n ? m?1 ? m? ? 0
2



? m2 ?

2 n2 m?? 或 ?1 2 3 m ?1 可解得 (舍)

?m ? ?

2 3

—————————

————4分 当直线斜率存在时,设 T ?0, t ?( t ? 0 ) A x1 , y1 , B

?

?

?x2 , y2 ?
?k ? 1 t

设直线方程为: y ? k ( x ? m) 则 QT 斜率为 ? t ,? AB ? QF , 又? BT ? AQ,? ?? x2 , t ? y2 ? ? ?1 ? x1 ,? y1 ? ? 0

即: x1 x2

? y1 y2 ? x2 ? ty1

1 ? ?1 x1 x2 ? y1 y2 ? x2 ? t ? x1 ? m ? t ? ?t ?

x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? m ————————————6分

1 ? ? y ? t ( x ? m) ? ? 2 ?x 2 ? y ? 1 2 2 2 2 ? y 2 ? 消去 可得: 2t ? 1 x ? 2mx ? m ? 2t ? 0

?

?

?? ? 0

? 2t 2 ? 1 ? m2 ? 0

2m ? ? x1 ? x 2 ? 2t 2 ? 1 ? ? 2 2 ? x x ? m ? 2t ? 1 2 2t 2 ? 1 ?
1 1 2m 2 ? 2 ( x1 ? m)( x 2 ? m) 2 [ x1 x 2 ? m? x1 ? x 2 ? ? m 2 ] ? y1 y2 ? t 2 2t 2 ? 1 =t
————————————8分 代入可得(? m ? 1)

2t 2 ?

3? 5 3? 5 3m2 ? m ? 2 ?? ?m?? 2 ? ?3m ? 2 ? m ? 3m ? 1 ? 0 2 2 --10分 1? m
2

又? 2t ? 0

?m ? ?

2 3
?

3? 5 2 ?m?? 2 3 ——————————12分 综上知实数m的取值范围

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,若都选,则按所做的第一题记分。 22.解: (Ⅰ)∵ PA 是切线, AB 是弦, E C A

.D O

B

P

∴ ?BAP ? ?C . 又∵ ?APD ? ?CPE , ∴ ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE . ∵ ?ADE ? ?BAP ??APD , ?AED ? ?C ? ?CPE , ∴ ?ADE ? ?AED .……………………………5 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 ?BAP ? ?C ,又∵ ?APC ? ?BPA , ∴ ?APC ∽ ?BPA . ∴

PC CA . ? PA AB
∴ ?APC ? ?C

∵ AC ? AP ,

∴ ?APC ? ?C ? ?BAP . 由三角形内角和定理可知, ?APC ? ?C ? ?CAP ? 180? . ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ?BAC ? 90? .∴ ?APC ? ?C ? ?BAP ? 180? ? 90? ? 90?

1 3 1 CA 1 CA 在 Rt ?ABC 中, ,即 , ? ? ? tan C AB tan 30 AB CA PC CA ∴ ? 3. ∴ ? ? 3 . ………………………10 分 AB PA AB
∴ ?C ? ?APC ? ?BAP ? ? 90? ? 30? .

4 ? ?x ? 1? 5 t ? 23.解:把 ? 化为普通方程为: 3x ? 4 y ? 1 ? 0 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
把 ? ? 2 2a cos(? ?

…………2 分

?
4

) 直角坐标系方程为: ( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 2a2
a ?1 5

…4 分

因为 a 为正整数,所以圆心到直线的距离为 又因为弦长大于 2 2 ,所以 2a ?
2

…………7 分

(a ? 1) 2 ? 2 ,解得: a ? 1 ,所以正整数 a 的最小值为 25

2 。

…………10 分。

24.解: (I)不等式 a ? b ? a ? b ? m a 恒成立,即不等式

a ?b ? a ?b a

? m 对任意实数

a ( a ? 0 )和 b 恒成立。
由于 a ? b ? a ? b ? (a ? b) ? (a ? b) ? 2 a

…………2 分

当且仅当 (a ? b)(a ? b) ? 0 时取等号,即 a ? b 时。

所以有:

a ?b ? a ?b a

?2

即:

a ?b ? a ?b a

的最小值为 2。于是 M ? 2 。

…………5 分

(II)不等式即 x ?1 ? x ? 2 ? 2 由于 x ?1 ? x ? 2 ? ( x ?1)( x ? 2) ? 2x ? 3 原不等式等价于: 2 x ? 3 ? 2 解得:

1 5 ?x? 。 2 2

……10 分


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