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第16讲 圆锥曲线的综合问题 1.考题展望 有关圆锥曲线的最值问题、参变量范围问题、探究 性问题和实际应用问题充分体现了数形结合思想, 函数与方程思想.主要考查转化化归能力、推理论 证能力、运算求解能力以及创新意识和应用意识, 是高考命题的常见题型和基本问题.可以预测有关 解析几何的综合性问题仍将是轨迹问题、定点与定 值问题、最值问题、参变量范围问题、探究性问题 以及应用性问

题和恒等证明问题中的两个或三个问 题组合构建而成. 2.高考真题 考题1(2012 广东)在平面直角坐标系 xOy 中, x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= , a b 3 且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得 直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同 的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求 出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积; 若不存在, 请说明理由. c 【解析】 (1)设 c= a -b , 由 e=a= 1 所以 b2=a2-c2= a2. 3 2 2 2 2 2 2 ?c = a , 3 3 x2 y2 设 P(x,y)是椭圆 C 上任意一点,则 2+ 2=1, a b 2 y 所以 x2=a2(1- 2)=a2-3y2. b |PQ|= x2+(y-2)2= a2-3y2+(y-2)2 = -2(y+1)2+a2+6. 当 b≥1 时, 当 y=-1 时, |PQ|有最大值 a2+6 =3, 可得 a= 3 ,所以 b=1,c= 2. 当 b<1 时,|PQ|< a2+6= 3b2+6<3 不合题 意. x2 2 故椭圆 C 的方程为: +y =1. 3 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? (2)S△AOB= ?OA?·?OB?sin∠AOB= sin∠AOB 2 2 1 当∠AOB=90°时,S△AOB 取最大值 , 2 1 2 点 O 到直线 l 的距离 d= 2 2= 2 m +n ∴m2+n2=2 m2 又∵ +n2=1 3 3 1 2 2 解得:m = ,n = 2 2 6 2 6 2 6 所以点 M 的坐标为( , )或(- , )或( , 2 2 2 2 2 2 6 2 1 - )或(- ,- ),△AOB 的面积为 . 2 2 2 2 考题2(2012 山东)在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点,M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M,F,O 三 点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的距 3 离为 . 4 (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存 在,说明理由; 1 (3)若点 M 的横坐标为 2, 直线 l: y=kx+ 与 4 抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,l 与圆 Q 有两 1 个不同的交点 D, E, 求当 ≤k≤2 时, |AB|2+|DE|2 2 的最小值. 【解析】(1)依题意线段 OF 为圆 Q 的弦, p 由垂径定理知圆心 Q 的纵坐标 yQ= , 4 p p p p 又 Q 到抛物线准线 y=- 的距离为 yQ+ = + 2 2 4 2 3 = ,所以 p=1. 4 所以 x2=2y 为所求. x02 1 1 (2)假设存在点 M(x0, ),又

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