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1.2.1 第2课时 排列的综合应用 学案(人教A版选修2-3)


第 2 课时

排列的综合应用

【课标要求】 1.掌握几种有限制条件的排列. 2.能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题. 【核心扫描】 1.与数字有关的排列问题.(难点) 2.常见的解决排列问题的策略.(重点) 3.分类讨论在解题中的应用.(易错点)

自学导引
应用排列与排列数公式求解实际问题中的计

数问题的基本步骤:

试一试:某电视台连续播放 5 个不同的广告,其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的 世博宣传广告,要求前两个必须播放世博宣传广告,则不同的播放方式有________种(用数字 作答). 3 2 3 提示 分二步完成,第一步有 A2 A3=12 种. 2种方法,第二步有 A3种方法,因此共有 A2·

名师点睛
1.无限制条件的排列应用题 解决问题的方法是把问题转化为排列问题.弄清这里 n 个不同元素指的是什么,以及从 n 个不同元素中任取 m 个元素的每一种排列对应的是什么事件,即把要计算的数转化为一个 排列数,直接利用排列数公式计算. 2.有限制条件的排列应用题 所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求.解决此类问题常从特殊元 素或特殊位置入手进行解决,常用的方法有直接法和间接法,直接法又有分步法和分类法两 种. (1)直接法 ①分步法 按特殊元素或特殊位置优先安排,再安排一般元素(位置)依次分步解决,特别地: (ⅰ)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体,与其他元素排列 后,再考虑相邻元素的内部排序,这种分步法称为“捆绑法”,即“相邻元素捆绑法”. (ⅱ)当某些特殊元素要求不相邻时,可以先安排其他元素,再将这些不相邻元素插入空 档,这种方法称为“插空法”,即“不相邻元素插空法”. ②分类法 直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决,即直接分类法. 特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”,即 n 个不同元素参加排列,其 中 m 个元素的顺序是确定的,这类问题的解法是采用分类法:n 个不同元素的全排列有 An n种 m n m 排法,m 个元素的排列有 Am种排法,因此 An种排法中关于 m 个元素的不同分法有 Am类,而 An n 且每一分类的排法数是一样的,当这 m 个元素顺序确定时,共有 m种排法. Am (2)间接法 符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差.故求符合条件的种数时,可先求与 其对应的不符合条件的种数,进而求解,即“间接法”.

题型一 数字排列的问题 【例 1】 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字 (1)可以组成多少个数字不重复的三位数? (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数? (4)可以组成多少个数字不重复的小于 1 000 的自然数? (5)可以组成多少个大于 3 000,小于 5 421 的不重复的四位数? [思路探索] 利用两个计数原理及排列数公式解题,主要注意特殊元素“0”的位置. 解 (1)分三步: ①先选百位数字.由于 0 不能作百位数字,因此有 5 种选法; ②十位数字有 5 种选法; ③个位数字有 4 种选法. 由分步乘法计数原理知所求三位数共有 5×5×4=100(个). (2)分三步:①百位数字有 5 种选法;②十位数字有 6 种选法;③个位数字有 6 种选法. 故所求三位数共有 5×6×6=180(个). (3)分三步:①先选个位数字,有 3 种选法;②再选百位数字,有 4 种选法;③选十位数 字也有 4 种选法,所以所求三位奇数共有 3×4×4=48(个). (4)分三类:①一位数共有 6 个;②两位数共有 5×5=25(个);③三位数共有 5×5×4= 100(个).因此,比 1 000 小的自然数共有 6+25+100=131(个). (5)分四类:①千位数字为 3,4 之一时,共有 2×5×4×3=120(个);②千位数字为 5,百 位数字为 0,1,2,3 之一时,共有 4×4×3=48(个);③千位数字为 5,百位数字为 4,十位数字 为 0,1 之一时,共有 2×3=6(个);④还有 5 420 也是满足条件的 1 个.故所求四位数共 120 +48+6+1=175(个). [规律方法] 排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限 制条件主要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子上不排某个元素. 解决此类问题的方法主要按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子,若 一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时,应分类讨论. 【变式 1】 用 0,1,2, ?, 9 十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数: (1)五位奇数; (2)大于 30 000 的五位偶数. 解 (1)要得到五位奇数,末位应从 1,3,5,7,9 五个数字中取,有 5 种取法;取定末位数字 后,首位就有除这个数字和 0 之外的 8 种不同取法;首末两位取定后,十个数字还有八个数 字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取,共有 A3 8种不同的排列方法.因此由分步乘法 计数原理共有 5×8×A3 = 13 440 个没有重复数字的五位奇数; 8 (2)要得偶数,末位应从 0,2,4,6,8 中选取,而要得比 30 000 大的五位偶数,可分两类: ①末位数字从 0,2 中选取,则首位可取 3、4、5、6、7、8、9 中任一个,共有 7 种选取 方法,其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取,共 A3 8种取法.所 以共有 2×7×A3 8种不同情况. ②末位数字从 4,6,8 中选取,则首位应从 3、4、5、6、7、8、9 中除去末位数字的六个数 3 字中选取,其余三个数位仍有 A3 8种选法,所以共有 3×6×A8种不同情况.由分类加法计数 3 原理,比 30 000 大的无重复数字的五位偶数共有 2×7×A3 8+3×6×A8=10 752(个). 题型二 排队问题 【例 2】 3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数. (1)选 5 名同学排成一行; (2)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端; (3)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端; (4)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端; (5)全体站成一排,男、女各站在一起;

(6)全体站成一排,男生必须排在一起; (7)全体站成一排,男生不能排在一起; (8)全体站成一排,男、女生各不相邻; (9)全体站成一排,甲、乙中间必须有 2 人; (10)全体站成一排,甲必须在乙的右边; (11)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变; (12)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人. [思路探索] 优先考虑特殊元素、特殊位置,关于某些元素 “相邻”“不相邻”或“定 序”问题,应遵循“先整体,后局部”的原则,元素相邻问题,一般用“捆绑法”,不相邻 An n 问题,一般用“插空法”,“定序”问题一般用除法:N= m. Am 5 解 (1)无限制条件的排列问题,只要从 7 名同学中任选 5 名排列,即可得共有 N=A7 = 7×6×5×4×3=2 520(种). 1 (2)(直接分步法)先考虑甲有 A3 种方案,再考虑其余六人全排, 1 6 故 N=A3A6=2 160(种). 2 (3)(直接分步法)先安排甲、乙有 A2 种方案,再安排其余 5 人全排, 2 5 故 N=A2· A5=240(种). (4)法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类; 第一类:甲在最右端有 N1=A6 6(种), 1 5 第二类:甲不在最右端时,甲有 A1 5个位置可选,而乙也有 A5个位置,而其余全排 A5, 1 5 ∴N2=A1 5A5A5, 6 1 1 5 故 N=N1+N2=A6 +A5 A5A5=3 720(种). 法二(间接法) 6 无限制条件的排列数共有 A7 7,而甲或乙在左端(右端)的排法有 A6,且甲在左端且乙在右 5 端的排法有 A5, 7 5 故 N=A7 -2A6 6+A5=3 720(种). 法三(直接分步法)按最左端 优先安排分步 对于左端除甲外有 A1 6种排法, 1 5 余下六个位置全排有 A6 6,但减去乙在最右端的排法 A5A5种, 1 6 5 故 N=A6 A6-A1 5A5=3 720(种). (5)相邻问题(捆绑法) 男生必须站在一起,是男生的全排列,有 A3 3种排法, 女生必须站在一起,是女生的全排列,有 A4 4种排法,全体男生、女生各视为一个元素, 2 3 4 2 有 A2种排法,由分步乘法计数原理知,共有 A3· A4· A2=288(种). (6)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素,与 4 名女生组成 5 个元素全排, 3 5 故 N=A3 · A5=720(种). (7)即不相邻问题(插空法):先排女生共 A4 4种排法,男生在 4 个女生隔成的五个空中安排 3 有 A5种排法, 4 3 故 N=A4 · A5=1 440(种). 4 (8)对比(7)让女生插空:N=A3 A4 =144(种). 3· 4 (9)(捆绑法)任取 2 人与甲、乙组成一个整体,与余下 3 个元素全排,故 N=(A2 A2 A4 = 5· 2)· 960(种). (10)甲与乙之间的左右关系各占一半, 7 A7 故 N= 2=2 520(种). A2 1 A7 7 (11)甲、 乙、 丙自左向右顺序保持不变, 即为所有甲、 乙、 丙排列的 3, ∴N= 3=840(种). A3 A3 (12)直接分步完成共有 A3 A4 7· 4=5 040(种). [规律方法] 排队问题的解题策略 排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外,还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题.

(1)对于相邻问题,可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列. (2)对于不相邻问题,可采用“插空法”解决.即先排其余的元素,再将不相邻的元素插 入空中. (3)对于定序问题,可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的 全排列数. 【变式 2】 分别求出符合下列要求的不同排法的种数. (1)6 名学生排 3 排,前排 1 人,中排 2 人,后排 3 人; (2)6 名学生排成一排,甲不在排头也不在排尾; (3)6 人排成一排,甲、乙不相邻. 解 (1)分排与直排一一对应,故排法种数为 A6 6=720(种). 5 (2)甲不能排头尾, 让受特殊限制的甲先选位置, 有 A1 4种选法,然后其他 5 人排,有 A5种 1 5 排法,故排法种数为 A4A5=480(种). (3)甲乙不相邻,第一步除甲乙外的其余 4 人先排好;第二步,甲、乙在已排好的 4 人的 2 左、右及之间的空位中排,共有 A4 4A5=480(种)排法. 题型三 排列的综合应用 【例 3】 从数字 0,1,3,5,7 中取出不同的三个数作系数,可以组成多少个不同的一元二次 方程 ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个? 审题指导

[规范解答] 先考虑组成一元二次方程的问题. 首先确定 a,只能从 1,3,5,7 中选一个,有 A1 4种,然后从余下的 4 个数中任选两个作 b、 c,有 A2 种. (2 分 ) 4 ∴由分步乘法计数原理知,共组成一元二次方程: 2 A1 A4 =48(个)(4 分) 4· 方程要有实根,必须满足 Δ=b2-4ac≥0. 分类讨论如下:(6 分) 当 c=0 时,a,b 可在 1,3,5,7 中任取两个排列,有 A2 4个;(8 分) 当 c≠0 时, 分析判别式知 b 只能取 5,7.当 b 取 5 时, a、 c 只能取 1,3 这两个数, 有 A2 2种; 2 当 b 取 7 时,a,c 可取 1,3 或 1,5 这两组数,有 2A2种.(10 分) 2 此时共有 A2 2+2A2个. 2 2 由分类加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有:A2 4+A2+2A2=18(个).(12 分) 【题后反思】 该例的限制条件较隐蔽,需仔细分析,一元二次方程中 a≠0 需要考虑到, 而对有实根的一元二次方程需有 Δ≥0.这里有两层意思:一是 a 不能为 0;二是要保证 b2- 4ac≥0,所以需先对 c 能否取 0 进行分类讨论.实际问题中,既要能观察出是排列问题,又 要能搞清哪些是特殊元素,还要根据问题进行合理分类、分步,选择合适的解法.因此需做 一定量的排列应用题,逐渐掌握解决问题的基本思想. 【变式 3】 从集合{1,2,3,?,20}中任选出 3 个不同的数,使这 3 个数成等差数列,这 样的等差数列可以有多少个? 解 设 a、b、c∈N,且 a、b、c 成等差数列,则 a+c=2b,即 a+c 应是偶数.因此从 1 到 20 这 20 个数字中任选出三个数成等差数列,则第一个数与第三个数必同为偶数或同为 奇数,而 1 到 20 这 20 个数字中有 10 个偶数和 10 个奇数.当第一个和第三个数选定后,中 间数被唯一确定.因此,选法只有两类. (1)第一、三个数都是偶数,有 A2 10种选法; (2)第一、三个数都是奇数,有 A2 10种选法; 2 于是,选出 3 个数成等差数列的个数为 A2 10+A10=180(个). 方法技巧 正难则反思想在排列中的应用 正难则反思想在有限制条件的排列问题中有很明显的作用,限制条件问题的反面有时比 较简明,所以我们往往选择从总数中去掉不符合要求的排列数,也就是“间接法”.

【示例】 某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共 6 门课程,如果第 一节不排体育,最后一节不排数学,一共有多少种不同的排法? [思路分析] 本题可以采用特殊元素分析法,也可采用位置分析法,考虑在总数中除掉不 符合条件的情况. 解 不考虑任何条件限制共有 A6 6种排法,其中包括不符合条件的有: (1)数学排在最后一节,有 A5 种; 5 (2)体育排在第一节,有 A5 5种; 但这两种情况都包含着数学排在最后一节,且体育排在第一节的情况有 A4 4种(即重复), 6 5 4 故共有 A6-2A5+A4=504 种. 方法点评 排列应用题特别是有限制条件的应用题是排列问题的难点, 在解决问题时, 一 般先排限制元素或限制位置.另外,同学们要根据实际问题选取合适的解法,如果问题的正 面分类较多或正面问题计算较复杂,而反面比较简明,则正难则反,运用间接法会使问题的 解答清晰明了,简化思维过程.


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