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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第1讲 直线方程和两直线的位置关系


第九章
第1讲
一、选择题

解析几何

直线方程和两直线的位置关系
)

1.点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( 1 A.2 3 2 C. 2 解析 答案 3 B.2 2 D. 2 由点到 直线的距离公式得距离为 C[来源:学.科.网]

|1+1+1|

3 2 = 2 . 1+?-1?2

2.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的 倾斜角的取值范围是( ?π π? A.?6,3? ? ? ?π π? C.?3,2? ? ? 解析 ). ?π π? B.?6,2? ? ? ?π π? D.?6,2? ? ?

如图, 直线 l: y=kx- 3, 过定点 P(0, - 3),

3 π 又 A(3,0),∴kPA= 3 ,则直线 PA 的倾斜角为6,满 ?π π? 足条件的直线 l 的倾斜角的范围是?6,2?. ? ? 答案 B ).

3.过点 A(2,3)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为( A.x-2y+4=0 C.x-2y+3=0 解析 B.2x+y-7=0 D.x-2y+5=0

由题意可设所求直线方程为:x-2y+m=0,将 A(2,3)代入上式得 2-

2×3+m=0,即 m=4,所以所求直线方程为 x-2y+4=0. 答案 A

4.直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P,则 P 点坐标 为( ) B.(-3,0) D.(0,3)

A.(3,0) C.(0,-3)

y-1 解析 ∵点 P 在 y 轴上,∴设 P(0,y),又∵kl1=2,l1∥l2,∴kl2= = 0-?-1? y-1=2,∴y=3,∴P(0,3). 答案 D

5.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合, 则 m+n=( A.4 解析 ). B.6 34 C. 5 36 D. 5

由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线 y=2x-

3+n 7+m ? ? 2 =2× 2 -3, 3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是? n-3 1 =-2, ? ?m-7 3 ? ?m=5, 解得? 31 ?n= 5 . ? 答案 C )

34 故 m+n= 5 .

6.若点 A(3,5)关于直线 l:y=kx 的对称点在 x 轴上,则 k 是( A. C. -1± 5 2 B.± 3 D. -3± 34 5

-1± 30 4

解析

由题设点 A(3,5) 关于直线 l : y = kx 的对称点为 B(x0,0) ,依题意得

5-0 1 ? ?3-x0=-k, ?5+0 3+x0 = k × ? ? 2 2 ,

解得 k= 答案

-3± 34 . 5

D

二、填空题 7. 若点 P 是曲线 y=x2 上的任意点, 则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为________. 解析 在曲线 y=x2 上任取一点 P(x0,y0),则 P 到直线 y=x-2 的距离为:

|x0-y0-2| |x0-x2 0-2| = 2 2 1? 7? 1 7 ? ? ?-?x0-2?2- ? ?x0- ?2+ 2 4 ? 4? ? ? = = , 2 2 1 7 2 因此,当 x0=2时其最小值为 8 . 答案 7 2 8

8.已知直线 l1:ax+3y-1=0 与直线 l2:2x+(a-1)y+1=0 垂直,则实数 a= ________. 解析 答案 3 由两直线垂直的条件得 2a+3(a-1)=0,解得 a=5. 3 5

c+2 2 13 9.若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 13 ,则 a 的值为 ________. 解析 3 -2 -1 由题意得,6= a ≠ c ,∴a=-4 且 c≠-2,

c 则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+2=0, ?c ? ? +1? 2 13 ?2 ? 由两平行线间的距离,得 13 = , 13 c+2 解得 c=2 或 c=-6,所以 a =± 1. 答案 ± 1

10.已知直线 x+2y=2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A,B 两点,若动点 P(a,b)在线

段 AB 上,则 ab 的最大值为________. 解析 x 直线方程可化为2+y=1, 故直线与 x 轴的交点为 A(2,0), 与 y 轴的交点

为 B(0,1),由动点 P(a,b)在线段 AB 上,可知 0≤b≤1,且 a+2b=2,从而 a 1? 1 ? =2-2b,故 ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2?b-2?2+2,由于 0≤b≤1,故当 ? ? 1 1 b=2时,ab 取得最大值2. 答案 1 2

三、解答题 11.已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a, b 的值. (1)l1⊥l2,且直线 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解 (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0.

又∵直线 l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0. 故 a=2,b=2. (2)∵直线 l2 的斜率存在,l1∥l2,∴直线 l1 的斜率存在. a ∴k1=k2,即b=1-a. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, 4 ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即b=b. 2 故 a=2,b=-2 或 a=3,b=2. 12.已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点. (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+

λ)x+(1-2λ)y-5=0, ∴ |10+5λ-5| 1 2 2 =3.解得 λ=2 或 λ=2. ?2+λ? +?1-2λ?

∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0. ?2x+y-5=0, (2)由? 解得交点 P(2,1), ?x-2y=0, 如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立). ∴dmax=|PA|= 10. 13.已知直线 l 过点 P(2,3),且被两条平行直线 l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8 =0 截得的线段长为 d. (1)求 d 的最小值; (2)当直线 l 与 x 轴平行,试求 d 的值. 解 (1)因为 3×2+4×3-7>0,3×2+4×3+8>0, 所以点 P 在两条平行直线 l1,

l2 外. 过 P 点作直线 l,使 l⊥l1,则 l⊥l2,设垂足分别为 G,H,则|GH|就是所求的 d 的最小值.由两平行线间的距离公式,得 d 的最小值为|GH|= |8-?-7?| =3. 32+42

(2)当直线 l 与 x 轴平行时,l 的方程为 y=3,设直线 l 与直线 l1,l2 分别交于点 A(x1,3),B(x2,3),则 3x1+12-7=0,3x2+12+8=0,所以 3(x1-x2)=15,即 x1 -x2=5,所以 d=|AB|=|x1-x2|=5. 2 14.如图,函数 f(x)=x+ x 的定义域为(0,+∞).设点 P 是函数图像上任一点,过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线, 垂足分别为 M,N.[来 (1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐 标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. 解 ? 2? (1)证明:设 P?x0,x0+ ?(x0>0). x ? 0?

? 2? ? ? ? x0 ? 1 则|PN|=x0,|PM|= =x , 0 2 因此|PM|· |PN|=1. 2 2 (2)直线 PM 的方程为 y-x0- x =-(x-x0),即 y=-x+2x0+ x .
0 0

?y=x, 解方程组得? 2 y =- x + 2 x + 0 ? x0 ,
S 四边形 OMPN=S△NPO+S△OPM 1 1 =2|PN||ON|+2|PM||OM| 1 ? 1 ? 2? 2? ? =2x0?x0+ ?+2x ?x0+ x0 ? 2x0? ? 0? 1? 1? = 2+2?x2 0+ 2?≥1+ 2, x ? 0?

2 x=y=x0+2x ,
0

1 当且仅当 x0=x ,即 x0=1 时等号成立,
0

因此四边形 OMPN 的最小值为 1+ 2.


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