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湖南省衡阳市八中2014届高三上学期第二次月考试题 数学(文)


衡阳市八中 2014 届高三第二次月考
文科数学 (本卷满分 150 分,时量 120 分钟) 命题人:刘一坚 审题人:刘慧英

注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 2. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 一、选择题:本大题共 9 小题。每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合

题目要求的。 1.已知函数 f ( x) ? e ? x ,则函数 f ( x) 的导函数为
x

A. e

x

B. e ? 1
x

C. ln x ? 1

D. e ? x
x

2.已知点 P(tan ? ,cos ? ) 在第三象限,则角 ? 的终边在 A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 4b 在(0,1)内有零点.则
3

A.b>0

B.b<1

C.0<b<1
2

D.b<

1 2

4.已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {x | x ? n, n ? A} ,则 A ? B ? A.{1,4} 5.曲线 y= A. B.{-1,,1} C.{1,2} D. ?

1 3 x ? x 2 ? 5 在 x=1 处的切线的倾斜角为 3 ? 3? ? ? B. C. D. 6 4 4 3

6. 函数 f ( x ) ? ln 2 ? x 的图象大致为

4 ? x2 7.函数 f ( x) ? 的定义域为 ln x
A.

[?2, 2]

B. (0, 2] D. (0,1) ? (1, 2]

C. (0,1) ? (1, 2)

8. 函数 y ? A sin(?x ? ?)(? ? 0, ? ?

? , x ? R) 的部分图 2

象如图所示,则函数表达式为 ? ? ? ? A. y ? ?4 sin( x ? ) B. y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4 ? ? ? ? C. y ? 4 sin( x ? ) D. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 8 4

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 9.已知函数 f ( x) ? ? ,若 | f ( x) |? ax ? 1 恒成立,则 a 的取值范围是 ? ln( x ? 1), x ? 0
(A) [?2, 0] (B) [?2,1] (C) [?4, 0] (D) [?4,1]

二、填空题:本大题共 6 小题。每小题 5 分,请将答案填写在答卷相应的位置上。 10. 已知 tan ? ?

1 sin ? ? cos ? ,则 ? ______ 2 sin ? ? cos ?
2

11.命题“ ?x ? R, x - x ? 3 ? 0 ”的否定是______________ 12.已知命题 A 是命题 B 的充分不必要条件,命题 B 是命题 C 的充要条件, 则命题 C 是命题 A 的________条件 13. 已知 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? a ( a 为常数)在[—2,2]上有最小值-5,
3 2

那么 f(x)在[—2,2]上的最大值是_________. 14. 设集合 M={(x,y)|x2+y2= a , x ? 0 , y∈R},N={(x,y)| 2 ? y ? 0 , x ? 0 ,y∈R},
x

若 M∩N 恰有两个子集,则由符合题意的 a 构成的集合为______

( x ? 4) ? f ( x ? 2) ? (3 ? x ? 4) ,则 f (2014) =________; 15.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ? x ? 1 ? f ( x ? 1) ( x ? 3) ?

f ( x) ?

5 的解集为___________ 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,请写出详细的解答过程或证明过程. 16. (本小题满分 12 分)已知角 ? 的终边上一点 P(m, ?3)(m ? 0) ,且 sin ? ? ? 求 cos? 及 tan ?

3 , 5

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax 在 x=1 处有极小值—1.
3 2

(1)求 a, b 的值; (2)求出函数 f(x)的单调区间.

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4cos x ? 4 3 sin x cos x ? 1, x ? R 。 (1)求函数的最小正周期、最大值及单调增区间;
2

(2)在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ;若 a, b, c 成等比数列, 且 c ? 2a ,求 f ( B ?

?
12

) 的值

19. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 3x
3 2

(1)若 f ( x) 在 x∈[1,+∞]上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x= a 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [?2, a] 上的最小值和最大值.

20.(本小题满分 13 分)某地区地理环境偏僻,严重制约经济发展,影响了某种土特产品销 售。该地区政府每投资 x 万元,所获利润为 P ? ?

1 x( x ? 80) 万元. 为顺应开发大西北的宏 8

伟决策,该地区政府在制订经济发展十年规划时,拟开发此种土特产品,而开发前后用于该 项目投资的专项财政拨款每年都是 60 万元. 若开发该产品,必须在前 5 年中,每年从 60 万 元专款中拿出 30 万元投资修通一条公路,且 5 年可以修通. 公路修通后该土特产品销售渠 道拓宽,每投资 x 万元,可获利润 Q ? ?

1 x( x ? 90) 万元. 问从该土特产十年的投资总利润 6

(未用来投资的专项财政拨款视为利润)来看,该项目有无开发价值?请详细说明理由.

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ae ? e , x ? R 有一个零点为 0,
x

?x

且函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) . (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间及 f ?( x) 的最值; (3)请探究当 x ? [0, ??) 时,是否存在实数 k ,使得 f ( x) ? kx 恒成立, 若存在,请求出 k 的取值范围,若不存在请说明理由.

衡阳市八中 2014 届高三第二次联考
文科数学(答案) 命题人:刘一坚 审题人:刘慧英

注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 2. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 一、选择题:本大题共 9 小题。每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数 f ( x) ? e ? x ,则函数 f ( x) 的导函数为(
x

)B

A. e

x

B. e ? 1
x

C. ln x ? 1

D. e ? x
x

2.已知点 P(tan ? ,cos ? ) 在第三象限,则角 ? 的终边在( A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限

)B.

D.第四象限

3.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 4b 在(0,1)内有零点.则
3

A.b>0 答案: C

B.b<1

C.0<b<1

D.b<

1 2


4.已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {x | x ? n, n ? A} ,则 A ? B ? ( c
2

A.{1,4}

B.{-1,,1}

C.{1,2}

D. ?

5.曲线 y= A. 答案: B

1 3 x ? x 2 ? 5 在 x=1 处的切线的倾斜角为 3 ? 3? ? ? B. C. D. 6 4 4 3

6. 函数 f ( x ) ? ln 2 ? x 的图象大致为 B

4 ? x2 7.函数 f ( x) ? 的定义域为( ln x
A.

)D

[?2, 2]

B. (0, 2] D. (0,1) ? (1, 2]

C. (0,1) ? (1, 2)

? , x ? R) 的部分图 2 象如图所示,则函数表达式为( )D ? ? ? ? A. y ? ?4 sin( x ? ) B. y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4 ? ? ? ? C. y ? 4 sin( x ? ) D. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 8 4
8. 函数 y ? A sin(?x ? ?)(? ? 0, ? ?

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 9.已知函数 f ( x) ? ? , | f ( x) |? ax ?1 恒成立, a 的取值范围是 若 则 (C ) ? ln( x ? 1), x ? 0
(A) [?2, 0] (B) [?2,1] (C) [?4, 0] (D) [?4,1]

二、填空题:本大题共 6 小题。每小题 5 分,请将答案填写在答卷相应的位置上。 10. 已知 tan ? ?

1 1 sin ? ? cos ? ,则 ? ______ ? 3 2 sin ? ? cos ?
2
2

11.命题“ ?x ? R, x - x ? 3 ? 0 ”的否定是______________ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 3 ? 0 12.已知命题 A 是命题 B 的充分不必要条件,命题 B 是命题 C 的充要条件, 则命题 C 是命题 A 的________条件 必要不充分 13. 已知 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? a ( a 为常数)在[—2,2]上有最小值-5,那么 f(x)在[—2,2]上
3 2

的最大值是_________.35 14. 设集合 M={(x,y)|x2+y2= a , x ? 0 , y∈R},N={(x,y)| 2 ? y ? 0 , x ? 0 ,y∈R},
x

若 M∩N 恰有两个子集,则由符合题意的 a 构成的集合为______ {1}

( x ? 4) ? f ( x ? 2) ? (3 ? x ? 4) ,则 f (2014) =________; 15.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ? x ? 1 ? f ( x ? 1) ( x ? 3) ?

f ( x) ?

5 1 的解集为___________ 2, [a, a ? ), a ? Z 2 2 3 , cos? 求 5

三、解答题:本大题共 6 个小题 16. (本小题满分 12 分) 已知角 ? 的终边上一点 P(m, ?3)(m ? 0) , s ? ? ? 且n i 及 tan ?

解析:? sin ? ?

?3 ?3 ? 2 5 m ? (?3) 2

? m ? ?4

………………………………….

6分

4 3 , tan ? ? ? ;………………………………. 9 分 5 4 4 3 当 m ? ?4 时, cos ? ? ? , tan ? ? ………………………………. 12 分 5 4
当 m ? 4 时, cos ? ? 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax 在 x=1 处有极小值—1.
3 2

(1)求 a, b 的值; (2)求出函数 f(x)的单调区间. 解析: (1) f ?( x ) ? 3 x ? 2bx ? a
2

由题易知

? f ?(1) ? 3 ? 2b ? a ? 0 ? a ? 1 ?? ? ? f (1) ? 1 ? b ? a ? ?1 ?b ? ?1
? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x …………………………………. 6 分 2 (2) f ?( x ) ? 3 x ? 2 x ? 1 ? (3 x ? 1)( x ? 1) 1 由 f ?( x) ? 0 可得 x ? 1 或 x ? ? ; 3 1 由 f ?( x) ? 0 可得 ? ? x ? 1 3 1 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??, ? ) , (1, ??) 3 1 函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ? ,1) 3

……………………………….
18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4cos x ? 4 3 sin x cos x ? 1, x ? R 。 (1)求函数的最小正周期、最大值及单调增区间;
2

12 分

(2)在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ;若 a, b, c 成等比数列, 且 c ? 2a ,求 f ( B ?

?
12

) 的值

解析: (1) f ( x) ? 2cos 2 x ? 2 3 sin 2 x ? 1 ? 4sin(2 x ? 令 2 k? ? 则 k? ?

?
6

) ?1

?
?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z

3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z

所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 单调增区间为 [ k? ?

?

, k? ? ], k ? Z ………………. 6 分 3 6

?

2? ? ? , 最大值为 5, 2

(2)因为在 ? ABC 中,若 a, b, c 成等比数列,

? b 2 ? ac ,又? c ? 2a

? cos B ?

a2 ? c2 ? b2 3 7 ? ? sin B ? 4 2ac 4

? f (B ?

?
12

) ? 4 sin 2B ? 1 ? 8sin B cos B ? 1 ?
3 2

3 7?2 2

…………….

12 分

19. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 3x (1)若 f ( x) 在 x∈[1,+∞]上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x= a 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [?2, a] 上的最小值和最大值. 解析: (1)? f ( x ) ? x ? 2ax ? 3 x 在 x∈[1,+∞]上是增函数
3 2

? f ?( x) ? 3 x 2 ? 4ax ? 3 ? 0

?a ?

3 1 ( x ? ) 在[1,+∞]恒成立 4 x 3 1 ? a ? [ ( x ? )]min 4 x 3 1 3 ? ( x ? ) ? , 当 x ? 1 时等号成立 4 x 2 3 ? a ? ………………. 6 分 2
2 2

(2)由题可知 f ?( a ) ? 3a ? 4a ? 3 ? 0 当a ?

?a ? ? 3

3 时 , x ? [?2, 3]
3 ) 3

f ?( x) ? 3 x 2 ? 4 3 x ? 3 ? 3( x ? 3)( x ?
此时 由 f ?( x) ? 0 可得 ?2 ? x ? 由 f ?( x) ? 0 可得

3 ; 3

3 ? x? 3, 3

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ ?2, 函数 f ( x) 的单调递增区间为 (

3 ), 3

3 , 3) 3 又? f ( ?2) ? ?14 ? 8 3, f ( 3) ? 0 3 4 3 )? 3 9 函数 f ( x) 的函数 f ( x) 的最小值为 ?14 ? 8 3
极小值为 f ( 函数 f ( x) 的函数 f ( x) 的最大值为 当 a ? ? 3 时 , x ? [ ?2, ? 3]

4 3 ………………. 11 分 9

f ?( x) ? 3 x 2 ? 4 3 x ? 3 ? 3( x ? 3)( x ?

3 ) 3

此时 由 f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 [ ?2, ? 3] 上为增函数,

? f ( x) min ? f (?2) ? ?14 ? 8 3
? f ( x) max ? f (? 3) ? 0 ………………. 13 分
20.(本小题满分 13 分)某地区地理环境偏僻,严重制约经济发展,影响了某种土特产品销 售。该地区政府每投资 x 万元,所获利润为 P ? ?

1 x( x ? 80) 万元. 为顺应开发大西北的宏 8

伟决策,该地区政府在制订经济发展十年规划时,拟开发此种土特产品,而开发前后用于该 项目投资的专项财政拨款每年都是 60 万元. 若开发该产品,必须在前 5 年中,每年从 60 万 元专款中拿出 30 万元投资修通一条公路,且 5 年可以修通. 公路修通后该土特产品销售渠 道拓宽,每投资 x 万元,可获利润 Q ? ?

1 x( x ? 90) 万元. 问从该土特产十年的投资总利润 6

(未用来投资的专项财政拨款视为利润)来看,该项目有无开发价值?请详细说明理由. 解析:该项目有开发的价值. (1) 若不开发该产品: 因为政府每投资 x 万元,所获利润为 P ? ?

投资结余 60 ? x 万元,故可设每年的总利润为

1 x( x ? 80) (0 ? x ? 60) 万元, 8
( 0? x ? 6 0 )

1 1 f ( x) ? ? x( x ? 80) ? 60 ? x ? ? x 2 ? 9 x ? 60 8 8
f ( x)m a x? f ( 3 6 ) ? 2万元 22

故十年总利润为 2220 万元. (2)若开发该产品

……………….

5分

前五年每年所获最大利润为 P (30) ? 后五年可设每年总利润为

375 万元, 2

1 g ( x) ? ? x( x ? 90) ? 60 ? x 6 1 , ? ? x 2 ? 1 4x ? 6 0 (0 ? x ? 60) 6
g ( x)max ? g (42) ? 354 万元
故十年总利润为

375 5415 ? 5 ? 354 ? 5 ? ? 2220 2 2

所以从该土特产十年的投资总利润来看,该项目具有开发价值.
x ?x

……………

13 分

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ae ? e , x ? R 有一个零点为 0, 且函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) . (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间及 f ?( x) 的最值; (3)请探究当 x ? [0, ??) 时,是否存在实数 k ,使得 f ( x) ? kx 恒成立, 若存在,请求出 k 的取值范围,若不存在请说明理由. (1) 由题可知 f (0) ? ae ? e
0 ?0

?0

a ? 1 ………………. 1 分
(2)

? f ( x) ? e x ? e ? x
f ?( x) ? e x ?

即 f ( x) ? e ?
x

1 ex

1 1 ? 2 ex ? x ? 2 ? 0 x e e

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 R, f ?( x) 的最小值为 2. (3)假设当 x ? [0, ??) 时,存在实数 k ,使得 f ( x) ? kx 恒成立. 设 g ( x ) ? f ( x ) ? kx ? e ? e
x ?x

……………4 分

? kx
6分

g ?( x) ? e x ? e ? x ? k

……………….

当 k ? 2 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [0, ??) 为单调递增函数,

? g ( x) ? g (0) ? 0 恒成立

所以 f ( x) ? kx 恒成立. 当 k ? 2 时, 不妨设 g ?( x ) ? e ? e
x ?x

……………….
?k ? 0

9分

则 x ? x1 ? ln

k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 或 x ? x2 ? ln 2 2

? k ? 2,? x1 ? 0, x2 ? 0 ? 0 ? x ? x2 时, g ?( x) ? 0 , x ? x2 时, g ?( x) ? 0 ? g ( x) min ? g ( x2 ) ? g (0) ? 0
所以当 k ? 2 时 g ( x) ? 0 恒成立是不可能的. 综上所得:当 x ? [0, ??) 时,存在实数 k ? 2 ,使得 f ( x) ? kx 恒成立.

……………….

13 分


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