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命题及其关系、充分条件与必要条件


第一节

命题及其关系、充分条件与必要条件

一、考纲要求 (1)理解命题的概念 (2)了解原命题,逆命题,否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系 (3)理解必要条件,充分条件,充要条件的意义 二、知识点精讲 1、四种命题 原命题: 若p则q 逆命题: 若q则p 否命题: 若┑p 则┑q 逆否命题: 若┑q 则┑p 2、考察四种命题的相

互关系

.

3、充分条件与必要条件 (1)若 p?q,则 p 叫做 q 的 充分 条件; (2)若 q?p,则 p 叫做 q 的 必要 条件; (3)如果 p?q,则 p 叫做 q 的 充要 条件 (4)集合法: 从集合观点看,建立命题 p,q 相应的集合.p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}, 那么: 若 A?B,则 p 是 q 的 充分条件 若 B?A,则 p 是 q 的 必要条件 若 A=B,则 p 是 q 的 充要条件 4、命题的否定是只否定命题的结论,命题的否命题实际否定命题的条件,又否定命题的结 论。 5、俩个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性。 三、分类解析 【经典题型 1】考查充要条件,反函数,映射关系,函数单调性。 【例 1】 (2008 北京)3. “函数 f ( x)( x ? R) 存在反函数”是“函数 f ( x ) 在 R 上为增函数”

的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:函数 f ( x)( x ? R) 存在反函数,至少还有可能函数 f ( x ) 在 R 上为减函数,充分条件 不成立;而必有条件显然成立 【经典题型 2】考查不等式的求解及条件命题的关系
2 【例 2】 (2007 辽宁) 10. 设 p, q 是两个命题: p : log 1 (| x | ?3) ? 0,q : x ? 2

5 1 x? ?0, 6 6

则 p 是 q 的( A ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【经典题型 3】四种命题及其真假的判定.考查分析、推理的能力 【例 3】判断命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题的真假. [分析] 先写出逆否命题,再判断真假或利用原命题与其逆否命题同真假的关系等方法解 决. [解答] 解法 1:写出逆否命题,再判断其真假. 原命题:若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根, 逆否命题:若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0, 判断如下: ∵x2+x-a=0 无实根, ∴△=1+4a<0,∴a<- <0, ∴“若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0”为真命题. 解法 2:利用命题之间的关系:原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证明. ∵a≥0,∴4a≥0,∴4a+1>0, ∴方程 x2+x-a=0 的判别式△=4a+1>0, ∴方程 x2+x-a=0 有实根, 故原命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”为真. 又因原命题与其逆否命题等价, 所以“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题为真. 【经典题型 4】命题的改写 【例 4】写出命题“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定和否命题。 解:命题“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ?1 ? 0 ”的否定为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? 1≤ 0 ” ;否命题 2 为:若 x ? 1 ,则 x ? 2 x ? 1≤ 0 。 四、巩固练习 1、 (2008 福建)2.设集合 A ? ? x B”的(A ) A.充分而不必要条件 C.充要条件

x ? ? ? 0? , B ? ? x 0 ? x ? 3? ,那么“m ? A”是“m ? ? x ?1 ?

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由

x ? 0 得 0 ? x ? 1 ,可知“ m ? A ”是“ m ? B ”的充分而不必要条件 x ?1

知识点:主要考查分式不等式及四种命题 2、 (2006 年山东)8.设 p : x 2 ? x ? 20 ? 0, q :

1 ? x2 ? 0 ,则 p 是 q 的 | x | ?2

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必 要条件 知识点:充分条件和必要条件 3、 (2007 年浙江) (1) “ x ? 1 ”是“ x ? x ”的(
2



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 知识点:考查充分条件和必要条件 答案:A 4.(湖北卷 2)若非空集合 A, B, C 满足 A

B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则 B

A. “ x ? C ”是“ x ? A ”的充分条件但不是必要条件 B. “ x ? C ”是“ x ? A ”的必要条件但不是充分条件 C. “ x ? C ”是“ x ? A ”的充要条件 D. “ x ? C ”既不是“ x ? A ”的充分条件也不是“ x ? A ”必要条件 5.(湖南卷 2) “ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B )

6、 (重庆卷 2)设 m,n 是整数,则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 A (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 7.(福建卷 2)设集合 A={x| A.充分而不必要条件 C.充要条件
2

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x <0 },B={x|0<x<3=,那么“m ? A”是“m ? B”的 A x ?1
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

8.(安徽卷 4) a ? 0 是方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负数根的( B A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

9.(湖北卷 3)若集合 P ? ? 1,2,3,4?, Q ? x 0 ? x ? 5, x ? R ,则:A

?

?

A. x ? R 是 x ? Q 的充分条件,不是 x ? Q 的必要条件 B. x ? R 不是 x ? Q 的充分条件,是 x ? Q 的必要条件 C x ? R 是 x ? Q 的充分条件,又是 x ? Q 的必要条件. D. x ? R 既不是 x ? Q 的充分条件,又不是 x ? Q 的必要条件 10.(江西卷 1) “ x ? y ”是“ x ? y ”的 B A.充分不必要条件 件 11、 (2010 年天津) (3)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 【答案】B 12、 (2009 重庆卷文)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A. “若一个数是负数,则它的平方不是正数” B. “若一个数的平方是正数,则它 是负数” C. “若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D. “若一个数的平方不是正数,则 它不是负数” 【答案】B 解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换,因此逆命题为“若一个数 的平方是正数,则它是负数” 。 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条


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