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北京市西城区(南区)2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题


北京西城区(南区)2012-2013 学年度第一学期高二年级期末考试 数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的。 [ ]1. 若 p ? q 为假命题,则 A. 命题 ? p 与 ? q 的真值不同 B. 命题 ? p 与 ? q 至少有一个假命题 C. 命题 ? p 与 ? q

都是假命题 D. 命题 ? p 与 ? q 都是真命题 [ ]2. 过点(-1,3)且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为 A. x ? 2 y ? 7 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 [ [
2 2 2

B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 B. 内切 C. 外离 D. 内含

]3. 圆 x ? y ? 1和圆 x ? y 2 ? 6 y ? 5 ? 0 的位置关系是 A. 外切
2 2

]4. 椭圆 x ? 4 y ? 1 的离心率为 A.

3 2

B.

3 4

C.

2 2

D.

2 3

[

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是 4 9 2 4 3 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x 3 9 2
]5. 双曲线 ]6. 准线为 x=2 的抛物线的标准方程是 A. y 2 ? ?4x B. y 2 ? ?8x C. y 2 ? 4 x ]7. 关于直线 l,m 及平面 ? , ? ,下列命题中正确的是 A. 若 l // ? , ? ? ? ? m ,则 l // m B. 若 l // ? , m // ? ,则 l // m C. 若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? D. 若 l // ? , m ? l ,则 m ? ? [ ]8. 一正四棱锥各棱长均为 a,则其表面积为 A.

D. y ? ?

9 x 4

[ [

D. y 2 ? 8x

3a 2
2

B. (1 ? 3)a 2 D. (1 ? 2 )a 2

C. 2 2a [

]9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A.

[

1 ? 4? 1 ? 2? 1 ? 4? C. D. 4? ? 2? ]10. 如图,在正四面体 P ? ABC 中,D,E,F 分别是棱 AB,BC,CA 的中点,
B.

1 ? 2? 2?

下面四个结论中不成立 的是 ...

1

A. BC // 平面 PDF B. DF ? 平面 PAE C. 平面 PDF ? 平面 ABC D. 平面 PAE ? 平面 ABC

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点, 3 ? ABC 且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则 的周长是 A. 2 3 B. 6 C. 4 3 D. 12 [ ]12. 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是 11 37 A. 2 B. 3 C. D. 5 16
[ ]11. 已知 ?ABC 的顶点 B,C 在椭圆 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分。 13. 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2 ,且侧棱 AA 1 ? 底面 ABC, 其正 (主) 视图是边长为 2 的正方形, 则此三棱柱侧 (左) 视图的面积为__________。

14. 若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a) ? y ? 2 有公共点,则实数 a 的取值范围是
2 2

__________。

[来源:学。科。网]

15. 设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线方程为 y ? ? ___________。

1 x ,则离心率 e 为 2

16. 如图,正 ?ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G,已知 ?A' DE 是 ?ADE 绕 边 DE 旋转形成的一个图形,且 A'? 平面 ABC,现给出下列命题:

2

①恒有直线 BC // 平面 A' DE ; ②恒有直线 DE ? 平面 A' FG ; ③恒有平面 A' FG ? 平面 A' DE 。 其中正确命题的序号为___________________ _。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 6 分)求经过点 A(3,?1) ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方 程。 18. (本小题满分 6 分)求以椭圆 的椭圆的标准方程。 19. (本小题满分 10 分)已知圆 C: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 内有一点 P(2,2),过点 P 作直 线 l 交圆 C 于 A、B 两点。 (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 的长为 4 2 时,写出直线 l 的方程。 20. (本小题满分 8 分) 如图, PCBM 是直角梯形,?PCB ? 90? ,PM // BC ,PM ? 1 ,

x2 y2 2 10 ? ? 1 的焦点为焦点,且经过点 P(1, ) 12 8 3

BC ? 2 ,又 AC ? 1 , ?ACB ? 120 ? , PC ? 面 ABC,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 ? ,求二面角 M ? AC ? B 的平面角的余弦值。

21. (本小题满分 10 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PD ? 底面 ABCD,M、N 分别为 PA、BC 的中点,且 PD ? 2 ,CD=1

3

(1)求证: MN // 平面 PCD; (2)求证:平面 PAC ? 平面 PBD; (3)求三棱锥 P-ABC 的体积。 22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4。 a2 b2 (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y ? x ? 2 相切,求椭圆焦点坐
[来源:Z*xx*k.Com]

标; (2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 l 与椭圆相交于 M,N 两点,记直 线 PM,PN 的斜率分别为 k PM , k PN ,当 k PM ? k PN ? ?

1 时,求椭圆的方程。 4

4

北京西城区(南区)2012-2013 学年度第一学期高二年级期末考试 数学试卷(理科)试题答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分 1. D 2. A 3. A 4. A 5. C 6. B 7. C 8. B 9. A 10. C 11. C 12. A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分 13. 2 3 14. [-3,1] 15.

5 2

16. ①②③ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 52 分。(如 有其他方法,仿此给分)

x2 y2 ? ? 1 ,把 A(3,-1) a2 a2 9 1 x2 y2 2 ? ? 1。 代入方程得 2 ? 2 ? 1 , a ? 8 ,? 双曲线的标准方程为 4分 a a 8 8 y2 x2 当焦点在 y 轴时,设双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ,把 A(3,-1)代入方程得 a a
17. 解法一:当焦点在 x 轴时,设双曲线的标准方程为
科|网 Z|X|X|K]

[来源:学|

1 9 ? 2 ? 1 , a 2 ? ?8 ,这种情况不 存在。 6分 2 a a 2 2 解法二:设双曲线的方程为 x ? y ? ? ( ? ? 0 ), A(3,?1) 代入方程得 ? ? 8 ,

x2 y2 ? ? 1。 8 8 2 2 2 18. 由已知, a ? 12 , b ? 8 ,? c ? 4 。 x2 y2 2 10 设所求方程为 2 ? 2 ? 1 ,因为过 P(1, ) m n 3 2 2 2 2 所以 9n ? 40m ? 9m n 。

? 双曲线的标准方程为

6分 2分

4分

[来源:学§

科§网 Z§X§X§K]

2 即 9(m2 ? 4) ? 40m2 ? 9m2 (m2 ? 4) ,解得 m ? 9 或 m ?
2

4 (舍) 9
6分
[来源:Z+xx+k.Com]

x2 y2 ? ? 1 为所求方程。 9 5
19. (1)圆心坐标为(1,0), k ? 4分

2?0 ? 2 , y ? 0 ? 2( x ? 1) ,整理得 2 x ? y ? 2 ? 0 。 2 ?1

(2)圆的半径为 3, 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) ,整理得

kx ? y ? (2 ? 2k ) ? 0 ,圆心到直线 l 的距离为 | k ? 0 ? 2 ? 2k | d ? 32 ? ( 2 2 ) 2 ? 1 ? , k 2 ?1
5

3 ,代入整理得 3x ? 4 y ? 2 ? 0 。 8分 4 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? 2 ,经检验符合题意。 10 分 ? 直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 。 20. 在平面 ABC 内,过 C 作 CD ? CB,建立空间直角坐标系 C ? xyz (如图)
解得 k ?

由题意有 A(

1 3 , ? ,0),设 P (0,0, z0 ),( z0 ? 0 ), 2 2 ? 3 3 ? ? 则 M(0,1, z0 ), AM = ? ? ? 2 , 2 , z 0 ? , CP ? (0,0, z0 ) , ? ?
由直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 ? ,得

AM ? CP ?| AM | ? | CP | ? cos60? , 1 2 2 z 0 ? 3 ? z 0 ,解得 z0 ? 1 即 z0 ? 2 ? 3 1 ? ? 设平面 MAC 的一个法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) , CA ? ? 1, 1) , ?CM ?(0, ? 2 , ? 2 ,0 ? , ? ?
? y1 ? z1 ? 0 ? 则? 3 ,取 x1 ? 1 ,得 n =(1, 3 ,- 3 )。 1 x ? y ? 0 ? 1 1 2 ? 2
平面 ABC 的法向量为 CP , 6分

cos ? CP, n ??

CP ? n | CP || n |

?

? 3 21 , ?? 7 7
21 。 8分 7

又? 二面角 M-AC-B 为锐角,? 二面角 M-AC-B 的平面角余弦值为 21. (1)证明:取 AD 中点 E,连接 ME,NE, 由已知 M,N 分别是 PA,BC 的中点, 所以, ME // PD , NE // CD 又 ME, NE ? 平面 MNE, ME ? NE ? E , 所以,平面 MNE // 平面 PCD,又因为 MN ? 平面 MNE, 所以,MN//平面 PCD。

4分

6

(2)证明:ABCD 为正方形, 所以 AC ? BD , 又 PD ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD,所以 PD ? AC , 因为 BD ? PD ? D , 所以 AC ? 平面 PBD,又因为 AC ? 平面 PAC, 所以平面 PAC ? 平面 PBD。 (3)解: PD ? 平面 ABCD,所 以 PD 为三棱锥 P ? ABC 的高, 三角 形 ABC 为等腰直角三角形, 所以三棱锥 P ? ABC 的体积 V ? 8分

1 2 。 S ?ABC ? PD ? 3 6

10 分

22. 解:(1)由 b ?

2 得 b? 2, 1?1 2 2 又 2a ? 4 , a ? 2 , a ? 4 , b ? 2 , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 ,? 两个焦点坐标为( 2 ,0),( ? 2 ,0)。
(2)由于过原点的直线 l 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称。 不妨设 M ( x0 , y0 ) ,N( ? x0 ,? y0 ), P ( x, y ) , M,N,P 在椭圆上,则它们满足椭圆方程,即有 两式相减得:
2 y 2 ? y0 b2 ? ? 2 x 2 ? x0 a2

4分

2 2 x0 y0 x2 y2 ? ? 1 ? ?1, , a2 b2 a2 b2

由题意它们的斜率存在,则 k PM ?

y ? y0 y ? y0 , k PN ? , x ? x0 x ? x0

k PM ? k PN

2 y ? y0 y ? y 0 y 2 ? y0 b2 ? ? ? ?? 2 , 2 x ? x0 x ? x0 x 2 ? x0 a

b2 1 则 ? 2 ? ? ,由 a ? 2 得 b ? 1 , 4 a x2 ? y 2 ? 1。 故所求椭圆的方程为 4

12 分

7


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