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例谈数列教学中的数学思想方法


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数学教学通讯 (中等教育) 数学教学通讯 (教师版)

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例谈数列教学中的数学思想方法
江苏泰兴市第一高级中学 225400 杨 凯

谊 中
教 等 师 教 版 育


<

br />摘 要院数列是特殊的函数袁也是高中数学的重点和难点袁教学的首要目标是向学生传授其基本的规律和两种

最重要还是要站在思想方法的角度去渗透教学的精髓袁因此本文将通过案例实际进行层层分析袁对数 列问题用数学思想方法进行结合教学袁才能使学生对其理解透彻袁真正明白为什么要学习数列钥 关键词院数学思想曰数列曰数学教学

题的过程中袁数学思想方法起到了很大的作用援 对于今天的新课程数列教学而言袁笔者认为数列知识

最基础的数列模型袁而其难点在于如何求解数列通项尧数列求和以及数列的综合问题袁在解决这些问

来袁教师面对高中 数学教学 的 两 大难 题 是 院 其 一 教学 内容 相 应增 加了 (诸 如 引 入大学教材中很多 浅显知识: 概率 、 统 计、 微积分等等超 出 传统 教 材范畴的 知 识) 袁导致数学教学 总是课时 紧 袁 学生 基 本功不够扎实袁教学 多年往往 有 这 样 的 多 袁 想想 这 是 什么 造 成的 呢 曰 其二 是 高 感受 袁 学 生一 届 比 一 届 基本 功 下 降 的

从课程改革来说袁 新课改实施以

不 能 再以 题 海 战 术 来 寻找 问题解 决 的 利用思想方法教学便应运而生援 通过思 突破 口 袁由 此 数 列 教学的高 级目 标要 要要

的 前 n 项 和 Sn=m袁 前 m 项 和 Sm=n 渊m 屹n冤袁 求前m+n项的和Sm+n援 分 析 院 渊1冤Sm
+n

=a1

想方法教学袁我们 不 仅 大大 提高 了 教学

的效率和有效 性袁 更 站在 系 统 的高 度理 解了数列是一种特殊函数的本质援 本文 正是在这样的背景 下 袁 结合 数 列 的 教学 实践例谈思想方法教学的有效性援

m+n原1 渊m+n原1冤渊m+n冤 d=渊m+n冤 a1+ d 袁 2 2 只需求出a1+ 构造出 a1+ m+n原1 d即可袁 由Sn袁Sm可以 2



渊m +n冤 +



m+n原1 d袁 并 求出 曰渊2冤 利用函 2

考数学的 大方向并没 有实 质 性的 改 变袁 教师必须要顾及 学 生的高考成 绩 袁这 要 求教师对重点知 识 版 块袁 诸 如数 列等 版

思想

襛 数 列 中的整 体 思 想和函 数

数思想袁理解等差数列前n项和Sn满足的 关系 从 函 数的角 度而 言 袁 是必 过 渊0袁0冤 点的二次函数袁借此突破高效省事援 解析院方法一院设喳葬n札的公差为d袁则 由Sn=m袁Sm=n渊m屹n冤袁得
扇 设 设 设 n 设 设 设 缮 设 设 设 设 m 设 设 墒

块的教学加强整 合 性 教学 尧 高 观 点下 的 教学袁如何去实现 呢 钥 如何 来提高重 要 知识章节的课堂教学的效率呢钥 不能陷 众所周知袁 数列是一种特殊的函

问题就一定会涉 及 函 数 思 想曰 又 整 体思

数 列 是 一种 特 殊 的 函 数袁 解 决 数列

想 是 高中 数学各 个 章 节 中 贯 穿 始 终的 数学思想袁其主要体现在 能 否 用 整 体的 眼光去看待一个数学 问题 袁尤 其 是 数学

入题海教学的苦恼援

S =na1+

n渊n原1冤 d=m袁 淤 2 m渊m原1冤 d=n袁于 2 渊m+n原1冤渊m原n冤 窑 2 m+n原1 d= 2

数 袁 也 一 直 是 高中 数学 的 重 点和 难 点 援 从知识层面来说 袁 数列 有 很多 的 基本 知 基本 的 数列模 型要 要要等 差 和 等比 尧 掌握 识 袁 包含 寻找 数 字 之 间 的 规律 尧 了 解 最

公式的重要运用 袁 有 些学 生 在 解 决 数学

S =ma1+

问题时 往往 野 不 识 庐 山 真 面目 袁 只 缘 身

于原淤得渊m原n冤a1+

在此山中 冶袁 正是 因 为 其没 有 用 整 体思

数列通项的求解方 法和求和 方 法 等等袁

想看待数学公式的 使 用 袁 导致 其 解 决 问 n渊n原1冤 na1+ d=A n2+Bn 可 用 二 次 函 数 的 2

这是学生必须掌握 的初级 学 习 目 标 曰从

题寸步难行袁比如等差数列求和公式Sn=

d=n 原m袁 因 为 m 屹n袁 所 以 a1 + 原1袁 所以Sm+n=渊m+n冤a1+ 渊m+n冤 a1+

高考应试层面来看 袁数 列 的考 查 也往往

不再以单一的知 识 进 行袁 其 注 重 了各 知

识之间的衔接 和整 合 的切 入 袁 此时我们

观点来看待援 来看一个经典案例院

等 差 数 列 喳葬n札 案例 1 (教 材 习 题)



m+n原1 d =原渊m+n冤援 2



渊m+n原1冤渊m+n冤 d= 2

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案例 2 A援 3690 C援 1845 数 列 喳葬n札 满 足 an+1+渊原1冤nan= B援 1830 冤

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m +Bm=n袁盂 嗓A A n +Bn=m袁榆
2 2

方法二院 设Sn=A n2+Bn 渊n沂N*冤袁则

2n原1袁则Sn的前60项和为渊

2n +1 渊n 逸2冤袁 可 得 an+1 =3an +2n 渊n 逸2冤袁 利 用构造解决本递推即可援

分 析 院 由 2Sn=an+1原2n+1+1 及 2Sn-1=an原

盂原榆得A窑 渊m 原n 冤+B 窑 渊m原n冤=n原m援
2 2

因为m屹n袁所以A 渊m+n冤+B=原1袁 以Sm+n=原渊m+n冤援

分 析 院初 看 本 题 往往给 学生 很 茫 然

D援 3660

所以A 渊m+n冤2+B渊m+n冤=原渊m+n冤袁所

的 感觉 院 这类 型 的数 列递 推并 不 常 见 援 站在思想方法 的角 度而 言 袁教师 可 以 引 导学生分析此类递推数列模型袁渊原1冤n是 数学基本知识 中常见 的 摇摆模型 袁 因此 以n为奇数和偶数进行分类援 解析院由an+1+渊原1冤nan=2n原1袁有院 若n为偶数袁则an+1+an=2n原1袁an+2原an+1= 2n+1袁两式相加得an+2+an=4n袁 若n为奇数袁则an+1原an=2n原1袁an+2+an+1= 2n+1袁两式相减得an+2+an=2袁 即 相 邻 两 奇 数 项 之 和 为 2袁 相 邻 两 偶数项an+2与an之和为4n袁 于 是 S60=渊 a1+a3冤 + 渊 a5+a7冤 + 噎 + 渊a57 + a59冤+渊a2+a4冤+噎+渊a58+a60冤 =2+2+ 噎 +2+4 伊2+4 伊4+ 噎 +4 伊58= 15伊2+4伊 2+58 伊15=1830援 2

an+1+2n+1=3渊an+2n冤袁所 以数 列 喳an+2n札渊n 逸 2冤是一个以a2+4为首项袁3为公比的等比 9伊3n-2袁即an=3n原2n渊n逸2冤袁当n=1时袁a1=1袁 也 满 足 该 式 袁 所 以数 列 喳葬n札 的 通 项 公 式 是an=3n原2n渊n沂N*冤援 说 明 院 构 造数 列 求通 项 是数 列 知识 数列援 由 2a1=a2原3 可 得袁a2=5袁 所 以 an+2n=

解析院 运用整体思想袁an+1=3an+2n圯

说 明 院渊1冤对 本数 列 问题而 言 袁两种 解答均用到了数学的 整 体思 想 袁 其中 法 一把a1+ m+n原1 d看 成 一 个 整 体 袁 整体思 2

想在解决问题的 过 程中 凸显 重要 作 用 袁 但学生解决往往陷 入 无 目 的性 的 乱 解 曰 法 二 紧紧 抓 住 等 差 数 列 求 和 公 式是 一 种特殊的二次函 数 这 一函数 思 想 袁进 而 在 运 算 中 把 A 渊m+n冤 +B 看 成 一 个 整 体 袁 大大 简化 了 数 列 的 运 算 量 援 渊2冤 针 对 数 列整体思想的运用 袁 笔 者建 议 首 先要 培 养学生在公式运 算 中的 整体意 识 袁包 括 很 多 数学 公 式 运 算 中 要 常常 提 起 整 体 思 想 袁诸 如 三角 函 数 公 式 cos 渊琢依茁冤 的 使 用 尧 抽 象函 数的 展 开化简 尧 向 量 a原2b 模 长 的 运 算 等等 都 是 整 体思 想 最好 的 体 现 援 渊3冤 对 数 列 问题 中 函 数 思 想 的 运 用还可以渗透到等 比 数 列 的求 和 公 式 袁 即 Sn=A +B窑 q n且 A +B=0袁 还 有 诸 如 an+1= pan+f 渊n冤 中的 构 造 必 需 根据 函 数 f 渊n冤 的 模型来确定等等援

中的重要技巧 和思 想 袁 尤其 在 高 考和 竞 赛数学中有重要的比例援 针对数列构造 思想的运用袁笔 者 以 探 究性 学习的方式 让学生做了一次尝试袁以an+1=pan+f渊n冤的 基本递推数列 为模型 袁 进行 了 探 究 性 学 习袁笔者和学生一 致 发 现 构造思 想 在 此 类 数 列 模型 中的 运 用几 乎 可 以 称 之 为 通法通解袁具有典型的一般性院 渊1冤 形 如 an+1 =pan +f 渊n冤袁f 渊n冤 为 一次 函数时袁 如 an +1 =pan +bn+c 袁 构 造 an +1 + 姿n +u = p 咱an+姿 渊n 原1冤 +u暂袁 利用 待 定 系 数 求出 姿 与u即可曰 渊2冤f渊n冤为二次函数时袁 构 造 院 an +1 + 姿 渊 n +1 冤 2 +u 渊 n +1 冤 +v = p 渊an+姿n2+un+v 冤袁利用待定系数求出姿尧u 与v 即可曰 q 时袁按等比建构袁渊i冤p=q 时袁
n

说 明 院 本 题 的 分 类较 为明显 袁 但 是 学生 对 需 要 分 类 的数 列 接 触 不 多 导 致 其分类思想的缺失援 以分类讨论思想为 数列的模型有 很多 袁 诸 如典型 的数 列 基 础 问 题 院 若 等 差 数 列 an =3n 原 21 袁 求 Tn = 类讨论援 撞 an 袁以an逸0和an<0作为切入点进 行分

渊3冤f 渊n冤 为 指 数 函 数 时 袁 当 an+1=pan+ 构 造 院an+1+姿 渊n+1冤p n+1 =p 渊an +姿np n冤袁 1 1 袁故 an原 np n 是等比数列曰 p p 1 n 1 袁 an+ q 是等 p 原q p 原q

论 思 想 是 高中 数学 最 重 要的思 想 方 法

从 思 想方 法 的 重 要性来 说 袁 分类 讨

襛 数列中的分类讨论思想

之一袁从高一 学习 数列 基本 问题 开始 到

划归

襛 数 列 中的构 造 思 想和 转 化

得院姿=原

高三数列综合性问题的 求解 等等 袁无 不

数 列 中 有 很多 的 构 造 数 列求 解 通 项问题袁其本质 是将 一 些特 殊 的 数 列模 型通过构造 袁即转 化 划 归为 基本 的 等 差

渊 英 冤 当 p 屹 q 时 袁 构 造 院 an +1 + 姿q n +1 = p 渊an+姿q n冤袁得院姿= 比数列援



蕴涵着分类讨论思想援 学生对分类讨论 思想的认知袁 基本 停 留在浅显的 地 步 袁 诸如比较明显尧常态的尧 习 惯的讨 论 袁而 对 陌 生问题的讨 论 切 入点 存 在 分 析不 足和认知不够袁笔者 认为院对 分类讨论

数列和等比数列进行解决援 这里 袁 笔者

要强调构造是 一种技 巧 袁也 能上升 为 一







种思想方法袁转 化 划 归 是一 种 高 层 次 的

思 想的教学立足两 点 院其 一 是 对 高考 常 见 数 列 问题的 板 块 进 行 典型 分 类 讨 论 的学习和 探究袁增长学 生 在 常 态 问题上 生思考 尧 辨 析 袁 为 什么 要 在 这 样 的 临 界 论的切入点的准确度援

数学思想方法袁将 不 能解 决的 数 列 问题 转化为能解决的基本数列模型援 来看一 案例3 设数列 喳葬n札 的前n项和为
n+1 *

了 数 列 教学 中 应 该 注 重 的一 些 数学 思 想方法援 笔者最后想说袁 高中数学的很 多 章 节 都 体现 着 思 想 方 法 教学 的 重 要 性 袁 我们 不 仅 要解 决 基本 知 识 袁 也 要 站 在 思 想 方 法 的 系 统 高 度 帮 助 学 生高 效 的学习数学尧掌握数学尧理解数学援 用澳 洲 华 裔 数学 家 陶 哲轩 的 话 说 院野 数学 思 学的精髓所在袁值得研究和深化援冶

综 上 袁 本 文从 典型问题的角度 阐 述

个高考题院

的熟悉程度曰其二 是 分类 讨 论 教学请 学 点处进行分类讨 论 袁 以提高 学 生 分类 讨

5袁a3成等差数列援 通项公式援

Sn袁 满 足 2Sn =an+1 原2 +1袁n 沂N 袁 且 a1袁a2 + 渊1冤求a1的值渊略冤曰渊2冤求数列喳葬n札的

想方法是一种结晶 袁 是 指导 我们 学 习 数

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