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2015高考数学一轮题组训练:6-3等比数列及其前n项和


第3讲

等比数列及其前 n 项和
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)

一、填空题 1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 S4 =________. 解析 设数列{an}的公比为 q,则 4a2=4a1+a3,∴4a1q=4a1+a1q2,即 q2- 1-24 =

15. 1-2

4q+4=0,∴q=2.∴S4= 答案 15

7 2.(2014· 广州模拟)已知等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn.若 S3=2,则 S6 等于________. 解析 答案 a1?1-23? a1?1-26? 7 1 63 S3= =7a1=2,所以 a1=2.所以 S6= =63a1= 2 . 1-2 1-2 63 2

2 3.(2013· 温州三模)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3· a9=2a5 ,a2=1,则

a1=________. 解析 由 a3 · a9=a5· a7=2a2 5,

得 a7=2a5,又 a2=1,∴a2q5=2a2q3, a2 1 2 ∴q2=2,∴q= 2,∴a1= q = = 2 . 2 答案 2 2

4.在等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值为________. 解析
2 ?a1q =7, 根据已知条件? 2 ?a1+a1q+a1q =21.

1+q+q2 1 2 得 q2 =3.整理得 2q -q-1=0,解得 q=1 或-2.

1

答案

1 1 或-2

5.(2013· 广东卷)设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3 +|a4|=________. 解析 答案 因为 an=a1qn-1=(-2)n-1,所以 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15. 15

6.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=60,则 a7+a8=________. 解析 ∵a1+a2=a1(1+q)=30,a3+a4=a1q2(1+q)=60,∴q2=2,∴a7+a8

=a1q6(1+q)=[a1(1+q)]· (q2)3=30×8=240. 答案 240

7.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列, 则 q 的值为________. 解析 由已知条件,得 2Sn=Sn+1+Sn+2,

an+2 即 2Sn=2Sn+2an+1+an+2,即 =-2. an+1 答案 -2

8.(2014· 浙江十校联考)若方程 x2-5x+m=0 与 x2-10x+n=0 的四个根适当排 列后,恰好组成一个首项为 1 的等比数列,则 m∶n 值为________. 解析 x3,x4. ?x1+x2=5, ?x3+x4=10, ? 则? 由题意知 x1=1,x2=4,x3=2,x4=8,∴m x2=m, ?x3· x4=n, ?x1· 1 =4,n=16,∴m∶n=4. 答案 1 4 设方程 x2-5x+m=0 的两根为 x1,x2,方程 x2-10x+n=0 的两根为

二、解答题 9.(2013· 四川卷)在等比数列{an}中,a2-a1=2,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项, 求数列{an}的首项、公比及前 n 项和. 解 设该数列的公比为 q.

由已知,可得 a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,

2

所以 a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得 q=3 或 1. 由于 a1(q-1)=2,因此 q=1 不合题意,应舍去. 故公比 q=3,首项 a1=1. 3n-1 所以,数列的前 n 项和 Sn= 2 . 10.(2013· 济南期末)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2=4,a3+a4 =17. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+2,证明数列{bn}是等比数列并求其前 n 项和 Tn. (1)解 设等差数列{an}的公差为 d.由题意知

?a3+a4=a1+2d+a1+3d=17, ? ?a2=a1+d=4, 解得 a1=1,d=3,∴an=3n-2(n∈N*). (2)证明 由题意知,bn=2an+2=23n(n∈N*),

bn-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2), bn 23 n ∴ = =23=8(n∈N*,n≥2),又 b1=8, bn-1 23n-3 ∴{bn}是以 b1=8,公比为 8 的等比数列, 8?1-8n? 8 n Tn= =7(8 -1). 1-8 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、填空题 1.(2014· 南通模拟)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*),且 a2+a4 +a6=9,则 解析 (a5+a7+a9)的值是________.

由 log3an+1=log3an+1(n∈N*),得 log3an+1-log3an=1 且 an>0,即

an+1 an+1 log3 a =1,解得 a =3,所以数列{an}是公比为 3 的等比数列.因为 a5+ n n a7+a9=(a2+a4+a6)q3,所以 a5+a7+a9=9×33=35.所以 = 答案 35=-log335=-5. -5
3

(a5+a7+a9)

2.(2014· 山东省实验中学诊断)在各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中 项为 2 2,则 2a7+a11 的最小值是________. 解析 由题意知 a4· a14=(2 2)2=a2 9,即 a9=2 2.设公比为 q(q>0),所以 2a7

2a9 4 2 +a11= q2 +a9q2= q2 +2 2q2≥ 2 为 8. 答案 8 4 2 4 2 4 2 2 2 ×2 2q =8,当且仅当 2 =2 2q ,即 q= 2时取等号,其最小值 q q

3.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,且对任意的 x,y∈R,都有 f(x)· f(y)= 1 f(x+y),若 a1=2,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是 ______. 解析 1 ?1? 由已知可得 a1=f(1)=2,a2=f(2)=[f(1)]2=?2?2,a3=f(3)=f(2)· f(1)= ? ?

?1? ?1? [f(1)]3=?2?3,…,an=f(n)=[f(1)]n=?2?n, ? ? ? ? 1 ?1? ?1? ?1? ∴Sn=2+?2?2+?2?3+…+?2?n ? ? ? ? ? ? 1? ?1? ? ?1-?2?n? 2? ? ?? ?1?n ? ? = 1 =1-?2? , 1-2 1 ∵n∈N*,∴2≤Sn<1. 答案 ?1 ? ?2,1? ? ?

二、解答题 3 4.(2013· 天津卷)已知首项为2的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),且-2S2, S3,4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 (2)证明 Sn+S ≤ 6 (n∈N*).
n

(1)解

设等比数列{an}的公比为 q,因为-2S2,S3,4S4 成等差数列,
4

所以 S3+2S2=4S4-S3, 即 S4-S3=S2-S4,可得 2a4=-a3, a4 1 于是 q=a =-2.
3

3 又 a1=2,所以等比数列{an}的通项公式为 3 ? 1? 3 an=2×?-2?n-1=(-1)n-1· 2n. ? ? (2) 证 明 ? 1? Sn = 1 - ?-2? ? ?
n

1 ? 1? , Sn + S = 1 - ?-2? ? ? n

n



1 = ? 1?n 1-?-2? ? ?

1 ? 2+ n n ? 2 ?2 +1?,n为奇数, ? 1 ? ?2+2n?2n-1?,n为偶数. 1 当 n 为奇数时,Sn+S 随 n 的增大而减小,
n

1 1 13 所以 Sn+S ≤S1+S = 6 .
n 1

1 1 1 25 当 n 为偶数时,Sn+S 随 n 的增大而减小,所以 Sn+S ≤S2+S =12.故对于 n
n n 2

1 13 ∈N*,有 Sn+S ≤ 6 .
n

5


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