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资料ID:621167河南省濮阳市2013届高三第一次摸底考试数学(理)试题 扫描版


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2013 年高中三年级摸底考试

理科数学试题答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1) C (2) A (3) C (4) A (5) A (6) A (7) C (8) B (9) C (10) D (11) B (12) B

二、 填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。 (13) 2 ? 3 (14)8 (15)4 (16) ?

3 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)解析: (Ⅰ)由正弦定理,得

cos C 3 sin A ? sin C ????????????2 分 ? cos B sin B

即 sin B cos C ? cos B sin C ? 3 sin A cos B ∴ sin( B ? C ) ? 3 sin A cos B ∴ cos B ? ∴ sin A ? 3 sin A cos B ??????????4 分

1 2 2 ????????????????????6 分 ? sin B ? 3 3

(Ⅱ)由余弦定理, cos B ?

a2 ? c2 ? b2 , 2ac

?????????????????8 分

? B ? 4 2 , a ? c, cos B ?
∴ S ?ABC ?

1 , ? c 2 ? 24 ?????????????????10 分 3
?????????????12 分

1 1 ac sin B ? c 2 sin B ? 8 2 2 2

(18) (本小题满分 12 分) 解: (I)这辆汽车是 A 型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 30 ? ? 0.6 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 30 ? 20
这辆汽车是 A 型车的概率为 0.6 (II)设“事件 Ai 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天” , “事件 B j 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天” ,其中 i , j ? 1, 2,3,...,7 则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 ??????3 分

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P( A1B3 ? A2 B2 ? A3 B1 ) ? P ( A1B3 ) ? P ( A2 B2 ) ? P ( A3 B1 ) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? P( A3 ) P( B1 )

??????5 分

5 20 10 20 30 14 ? ? ? ? ? 100 100 100 100 100 100 9 ? 125 ?
该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

9 125

??????7 分 (Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为

X P

1 0.05

2 0.10

3 0.30

4 0.35

5 0.15

6 0.03

7 0.02

设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为

Y
P

1 0.14

2
0.20

3
0.20

4 0.16

5 0.15

6 0.10

7 0.05 -------9 分

E ( X ) ? 1 ? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3 ? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02 =3.62

E (Y ) ? 1 ? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3 ? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05
=3.48
分 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天,B 类车型一个星期出租天数的平 均值为 3.48 天. 从出租天数的数据来看, 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的方差, A 综 理 . (19) (本小题满分 12 分) (Ⅰ) CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, 所以 F 是 BN 的中点. 因为 E 是 AB 的中点,
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?????11













A



















??????12 分 z N M F D C A x E B y

所以 AN // EF .??????????2 分 又 EF ? 平面 MEC ,

AN ? 平面 MEC ,
所以 AN // 平面 MEC . ???????????????????????5 分 (Ⅱ)由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点,可得 DE ? AB . 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则 D (0, 0, 0) , E ( 3, 0, 0) , C (0, 2, 0) ,

M ( 3, ?1,

3 7 ). 7

???? ? ??? ? 3 7 ) .????????????????7 分 CE ? ( 3, ?2.0) , EM ? (0, ?1, 7
设平面 MEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

??? ? ?CE ? n ? 0, ? 则 ? ???? ? ? EM ? n ? 0. ?

? 3 x ? 2 y ? 0, ? 所以 ? 3 7 z ? 0. ?y ? 7 ?
令x ? 2. 所以 n ? (2, 3,

21 ) .???????????????????????10 分 3

又平面 ADE 的法向量 m ? (0, 0,1) , 所以 cos ? m , n ??

m?n 1 ? . m n 2

所以二面角 M ? EC ? D 的大小是 60°. ???????????????12 分 (20) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 C1 的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,C2 的方程为 2 ? y 2 ? 1 ,其中 a ? 1, 0 ? b ? 1 . a2 b a2 ?1 ? 1 ? b 2 ,所以 ab ? 1 ,……………………….…2 分 a2

? C1 ,C2 的离心率相同,所以

? C2 的方程为 a 2 x 2 ? y 2 ? 1 .
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当 m=

3 a 3 1 3 时,A ( ? , ) ,C ( , ) . .………………………………………….4 分 2 2 2 2a 2
5 1 a 5 1 ,所以, ? ? ,解得 a =2 或 a = (舍), 4 2a 2 4 2

又? AC ?

? C1 ,C2 的方程分别为
(Ⅱ)A(- a 1 ? m ,m), B(2

x2 ? y 2 ? 1 , 4 x 2 ? y 2 ? 1 .………………………………….6 分 4

1 1 ? m 2 ,m) . a

? OB∥AN,? kOB ? k AN , ?

m ? 1 1 ? m2 a

?

m ?1 ?a 1 ? m2

,? m ?

1 . …………………………………….8 分 a ?1
2

e2 ?

a2 ?1 1 ? e2 1 ,? a 2 ? ,? m ? . ………………………………………10 分 a2 e2 1 ? e2 1 ? e2 2 ? 1 ,? ? e ? 1 .........................................................12 分 2 e 2

? 0 ? m ? 1 ,? 0 ?

(21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? a ln( x ? b) ,∴ f ?( x) ?
k ? f ?(0) ?
a ,则 f ( x) 在点 A(0, a ln b) 处切线的斜率 x?b

a a ,切点 A(0, a ln b) ,则 f ( x) 在点 A(0, a ln b) 处切线方程为 y ? x ? a ln b , b b

又 g ( x) ? ae x ? 1 ,∴ g ?( x) ? ae x ,则 g ( x) 在点 B(0, a ? 1) 处切线的斜率 k ? g ?(0) ? a ,切点
B(0, a ? 1) ,则 g ( x) 在点 B(0, a ? 1) 处切线方程为 y ? ax ? a ? 1 ,
?a ? ? a, 由 ?b 解得 a ? 1 , b ? 1 . ········································3 分 ······································· ?a ln b ? a ? 1, ?

(Ⅱ )由

x?m x?m ? x 得 x ? x ,故 m ? x ? x ? e x 在 [0, ??) 上有解, g ( x) ? 1 e

令 h( x) ? x ? x ? e x ,只需 m ? h( x)max . ① 当 x ? 0 时, h( x) ? x ? x ? e x ? 0 ,所以 m ? 0 ;-----------------------------------5 分 ② 当 x ? 0 时,∵ h?( x) ? 1 ? (
ex 2 x ? x ? ex ) ? 1 ? ( 1 2 x ? x )e x ,

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∵ x ? 0 ,∴

1 2 x
1

? x ?2

1 1 ? 2 , e x ? 1 ,∴ ( ? x )e x ? 2 , 2 2 x

故 h?( x) ? 1 ? (

2 x

? x )e x ? 0 ,即函数 h( x) ? x ? x ? e x 在区间 [0, ??) 上单调递减,

所以 h( x) max ? h(0) ? 0 ,此时 m ? 0 . 综合①②得实数 m 的取值范围是 (??, 0) . ··································8 分 ································· (Ⅲ)令 u ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e x ? 1 ? ln( x ? 1)( x ? ?1) , u ?( x) ? e x ?

xe x ? e x ? 1 1 ? . x ?1 x ?1

令 v( x) ? xe x ? e x ? 1( x ? ?1) ,则 v?( x) ? e x ( x ? 2) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, ∴当 x ? 0 时, v( x) ? v(0) ? 0 成立,∴ u ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 故函数 u ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增,∴当 x ? 0 时, u ( x) ? u (0) ? 0 恒成立, 故对于任意 x2 ? x1 ? 0 ,有 g ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) . ···························10 分 ·························· 又∵ x2 ? x1 ? 1 ?
x2 ? 1 x1 ( x2 ? x1 ) x ?1 ? ? 0 ,∴ ln( x2 ? x1 ? 1) ? ln 2 ? ln( x2 ? 1) ? ln( x1 ? 1) . x1 ? 1 x1 ? 1 x1 ? 1

∴ f ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,从而 g ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) . ·················· 12 分 ·················· (22)解: (Ⅰ)连结 AC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OAC ? ?OCA , 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC ? CD ,又因为 AD ? CD ,所以 OC ∥ AD , 所以 ?OCA ? ?CAD , ?OAC ? ?CAD ,所以 AC 平分 ?BAD . ···········4 分 ·········· (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC ? CE , ·············································6 分 ············································ 连结 CE ,因为 ABCE 四点共圆, ?B ? ?CED ,所以 cos B ? cos ?CED , ···8 分 ·· 所以 2分

DE CB ? ,所以 BC ? 2 . ·········································10 分 ········································ CE AB
? x ? 2 cos ? , 且参数 ? ? ? 0, 2? ? , ? y ? 2sin ? ? 2.
2 2

(23)解:(Ⅰ) ?

所以点 P 的轨迹方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 .································3 分 ······························· (Ⅱ)因为 ? ?

? 2 sin(? ? ) 4

10

,所以 ? 2 sin(? ?

? ) ? 10 , 4

所以 ? sin ? ? ? cos ? ? 10 ,所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 10 ? 0 . ···· 6 分 ····
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由(Ⅰ) 点 P 的轨迹方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 ,圆心为 (0, 2) ,半径为 2.
2 2

d?

1? 0 ? 1? 2 ? 10 12 ? 12

······· ? 4 2 ,所以点 P 到直线 l 距离的最大值 4 2 ? 2 .······· 10 分

(24)解: (Ⅰ)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a ,∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a , 即 a ? 3 ? x ? 3 ,∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 . ··································5 分 ································· (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? 则 ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, ? ?n? 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴ ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? . ·····················10 分 ····················

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