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1.3.1正弦函数的图像与性质


从单位圆看正弦函数的性质

1、正弦线

设任意角 ? 的终边与单 位圆交于点P,过点p做 x轴的垂线,垂足M,称 线段MP为角 ? 的正弦 线

P(a, b ) r O
? h

M A

?

正弦函数y=sinx(x? R)的图象

>5? 6
?

2? 3

? 2

? 3 ? 6
11? 6

y
1
● ● ● ● ●

y=sinx ( x [0, 2? ] )


?

?
7? 6 4? 3 5? 3

7? 4? 3? 5? 11? 6 6 3 2 3

2?


2?

0 ?
6

? 3

? 2

2? 3

5? 6

?

● ● ● ● ● ●

x

3? 2

-1

以上我们作出了y=sinx,x∈[0,2π]的图 象,因为sin(2kπ+x)=sinx (k∈Z),所以正弦函 数y=sinx在x∈[-2π,0],x∈[2π,4π], x∈[4π,6π]时的图象与x∈[0,2π]时的形状 完全一样,只是位置不同。 现在把上述图象沿着x轴平移±2π, ±4π,……就得到y=sinx,x∈R的图象。 叫做正弦曲线.

正弦函数y=sinx,x∈R,的图象叫做正弦曲线.

思考与交流:图中,起着关键作用的点
是那些?找到它们有什么作用呢? ? ? ? 3? ? ?0,0 ? ? ,1 ? ? ,0 ? ? , ? 1 ? ? ? ? 2 ?
? 2 ?

? 2? ,0 ?

五点:最高点、最低点、与 x 轴的交点

找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了!
如下表 x y=sin x 0 0 y

?
2
1

?
0

3? 2

2?
0

-1

. 2. π π . . . . 0 x -1 .
1
? 2
3? 2

五点法

例题分析
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]的简图。 (1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
解 (1)列表: x y=sin x y=-sin x 描点得y=-sin x的图 象

0 0
0 y 1

?
2
1
-1 y=sin x x∈[0,2π]

?
0
0

3? 2

2?
0
0

-1
1

2. π π . . . . 0 x
? 2

3? 2

-1 y=-sin x x∈[0,2π]

(2) 列表:
x y=sin x y=1+sin x 0 0 1

?
2
1 2

?
0 1

3? 2

2?
0 1

-1 0

描点得y=1+sin x的图象 y 1

y=1+sin x x∈[0,2π]

2. π π . . . . 0 x
? 2

3? 2

-1

y=sin x x∈[0,2π]

正弦函数y=sinx 的性质
y
1 -4? -3? -2? -? ? ? o 2 -1
?
2

?

3? 2

2?

3?

4?

5?

6? x

1.定义域:x ? R 2.值域: y ? [-1,1]
当且仅当 x ? 2k? ?
当且仅当 x ? 2k? ?

?
2

, k ? Z时, sin x ? 1

?
2

, k ? Z时, sin x ? ?1

y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6? x

周期的概念
一般地,对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T ,
使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ( x+T )= f (x) ,那么函数 f (x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个 函数的周期.

对于一个周期函数,如果在它的所有周期中存在一个
最小的正数,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.

y 1

正弦函数的周期性
?
2

?? ? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

3?

4?

x

图象特点: 间隔一定长度图象重复出现 公式依据: sin(x ? 2? ) ? sin x 周期性是三角函数的一大特点 周期(最小正周期) T ? 2?

正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? )

周期(最小正周期)

T?

2?

?

讲授新课
求下列三角函数的周期:

T?

2?

?

正弦函数的奇偶性
由公式 sin(-x)=-sin x

正弦函数是奇函数.
图象关于原点成中心对称 .
y
1

x
-3?
? 5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

π 2

?

3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

正弦函数的单调性
观察正弦函数图象

x sinx
在闭区间 在闭区间

?

π 2



0 0



π 2
1



?
0



3π 2
-1

-1

ππ? ? π ?? π , ? ? ? 2 k π, ? 2 k π ? ? ? 2 ? 2 22? ?, k ? Z ? ? 33 π π? ? π ? π, ? ? 2 k π, ? 2 k π ,k ? Z ? ?2 ? ? 2? ? ?2 2 ? y
1

上, 是增函数; 上,是减函数.

-3?

?

5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

π 2

x
?
3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

正弦函数的对称性
y
1 -4? -3? -2? -? ? ? o 2 -1
?
2

?

3? 2

2?

3?

4?

5?

6? x

? 对称轴: x ? ? k? (k ? Z ) 2 对称中心:( k?, 0) (k ? Z )

例.函数

? π? ? y=sin?2x+ ? ? 的对称轴方程为________ , 3 ? ?
kπ π x= 2 +12,k∈Z
?kπ π ? ? - ,0?k∈Z 6 ? ?2

对称中心坐标为________. [答案]
[解]

π ∵ 函数 y= sinx, x∈ R 的对称轴方程为 x= kπ+ , k∈ Z, 2

对称中心坐标为 (kπ, 0), k∈ Z, π π kπ π ∴令 2x+ = kπ+ ,得 x= + , k∈ Z, 3 2 2 12 π kπ π 令 2x+ = kπ,得 x= - , k∈ Z, 3 2 6 π kπ π 故函数 y= sin(2x+ )的对称轴方程为 x= + , k∈ Z, 3 2 12
?kπ ? π ? 对称中心坐标为? - , 0? ?, k∈ Z. 2 6 ? ?

定义域 值域 周期性 奇偶性
单调性

实数集R
[-1,1]


奇函数
? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ( k ? Z)上是增函数; ? 2 2? ? ? 3? ? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ?(k ? Z )上是减函数; 2 2? ?

最值

当x ? 2k? ?

?

2

时,ymax ? 1

例2:设sinx=t-3,x∈R, 求t的取值范围。 解:因为-1≤sinx≤1,
所以-1≤t-3≤1, 由此解得2≤t≤4.

观览车问题:
设观览车转轮的半径长为R, 转动的角速度为
0

y

p
y
0

?
?t ? ?

?t ?
O

p

0

P 为初始位置 ,此时 ?XOP ? ?
转动t秒后,射线OP的转角为

x

点P的纵坐标y与t的函数关系为

y ? Rsin(?t ? ?)

我们称:

A 为 振幅, ω为 角速度,

T?

2?

为周期 ?

周期T的倒数

1 ? f ? ? T 2?

为 频率,

ωx+ ?为相位,

x=0 时的相位?为初相。

正弦型函数y =Asin(ωx + ?)

1、A的作用:研究 y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系 1 先观察y=2sinx、y= sinx与y=sinx的图象间的关系
y 2 1 0 -1 -2
x
sinx 2sinx
1 2 sinx

2

π

2π x

0 0 0 0

π/2 1 2 1/2

π 0 0 0

3π/2 -1 -2 -1/2

2π 0 0 0

1、A的作用:研究 y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系
1 先观察y=2sinx、y= sinx与y=sinx的图象间的关系 2 y

2
1 0 -1 -2 π 2π x

A的作用:使正弦函数相应的函数值发生变化。 y=Asinx(A>0, A?1)的图象是由y=sinx的图象沿y轴 方向伸长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时)A倍而成.

跟踪练习

纵坐标伸长到原来的4倍

1、函数y=sinx
纵坐标缩短到原来的1/4

y=4sinx

2、求函数y=8sinx的最大值、最小值

解 y=8sinx的最大值是8,最小值是-8

2、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系
1 先观察y=sin2x、y=sin x与y=sinx的图象间的关系 2 y

1

0 -1

π







x

作y=sinx的图象
x
sinx

1、列表
?
2

2、描点
3? 2

3、连线
2?
0

0
0

?
0

1

-1

2、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系 先观察y=sin2x、y=sin
y 1
1 x与y=sinx的图象间的关系 2

0 -1

π







x

作y=sin2x的图象
2x x sin2x
0 0 0

1、列表
?
2

2、描点
3? 2 3? 4

3、连线
2? ? 0

?
?
2

?
4

1

0

-1

2、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系
先观察y=sin2x、y=sin x与y=sinx的图象间的关系
y 1
1 2

0 -1

π







x

作y=sin

1 x 的图象 2
1 2

1、列表
?
2

2、描点
3? 2

3、连线
2?

x
1 x 2

0

?

x
sin

0
0

?
1

2?
0

3?
-1

4?
0

2、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系
先观察y=sin2x、y=sin x与y=sinx的图象间的关系
y 1
1 2

0 -1

π







x

ω的作用:使正弦函数的周期发生变化。
y=sinω x(ω >0, ω ?1)的图象是由y=sinx 的图象沿x轴缩短(当ω >1时)或伸长(当 0<ω <1时)ω -1倍而成.

跟踪练习

1、y=sinx

横坐标缩短到原来的1/4倍

y=sin4x

横坐标伸长到原来的4倍

2、将函数y=sin2x的横坐标伸长为原来的4 倍得到(C)

A Y=sinx y=sin8x

B y=sin4x

C=sin( x/2 )

D

3、 ?的作用:研究 y=sin(x+ ?)与y=sinx 图象的关系
? ? 与 y=sinx 的图象间的关系 先观察y = sin(x+ )、y = sin(x - )
2 2

y 1

-π/2

0 -1

π



5π/2

x

x x+π/2 Sin(x+π/2)

-π/2
0

0
π/2

π/2
π

π
3π/2

3π/2


x X- π/2 Sin(x-π/2)

π/2
0

π
π/2
1

3π/2 2π
π
0

5π/2

0

3π/2
-1

0

1

0

-1

0

0

3、 ?的作用:研究 y=sin(x+ ?)与y=sinx 图象的关系
与 y=sinx 的图象间的关系 先观察y = sin(x+ )、y = sin(x - ) 2 2 y 1

?

?

-π/2

0 -1

π/2

π



5π/2

x

? 的作用:使正弦函数的图象发生平移。 y=sin(x+?)(??0)的图象是由y=sinx的图象

向左或向右平移 ?个单位而成.

跟踪练习

图像向左平移π/6个单位

1、Y=sinx

图像向右平移π/6个单位

Y=sin( x+π/6)

2、将函数y=sinx图象向左平移1个单位,再向右 平移3个单位,可以得到函数(B)的图象。 (A)y=sin(x+2) (B)y=sin(x-2) (C)y=sin(x+4) (D)y=sin(x-4)

y

A ω

2 1

y=2sinx
π 2π

y= 1 sinx
2

y=sinx

0
-1 -2

x

y
1

y=sin2x
π

y=sin 1 x
2


y=sinx
3π 4π

0

-1

x

?

y
1 -1

? y = sin(x+ 2 )
π

? y = sin(x - 2 )


y=sinx

0

x

(1) 列表:
x
0 0

作函数y=3sin(2x+ ? )的简图
3

y ? 3 0 -3 2? 0 3

? y=3sin(2x+ 3

)

7? ? ? ? 5? (? ,0) , ( ,3) , ( ,0) ,( ,?3) ,( ,0) 12 6 12 3 6
(3)连线:

(2) 描点:

?

?
6

o

?
12

?
3

7? 12

5? 6

x

-3

(4)根据周期性将作出的简图左右 扩展。

y
3

2
1

? ? y=3sin(2x+ ) ) y=3sin(2x+ 3 3 ? y=sin(2x+ ) 3
y=sinx ?
? 3
5? 6

o
?

5? 3

2?

?
3

?

?
6

x

y=sin2x
-2 -3

-1

? y=sin(x+ ) 3

y=3sin2x

?

函数 y=sinx

(1)向左平移 3
1 2

y=sin(x+


?
3

) 的图象

(2)横坐标缩短到原来的

? y=sin(2x+ ) 的图象
3

纵坐标不变
(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

? y=3sin(2x+ 3 )的图象

1 (1)横坐标缩短到原来的 2 倍 函数 y=sinx y=sin(2x ) 的图象

纵坐标不变
(2)向左平移 6
?

? y=sin(2x+ 3 ) 的图象 ? y=3sin(2x+ 3 )的图象

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

规律总结
函数 y=Sinx
(1)向左(? >0)或向右(? < 0) 平移| ? |个单位 (2)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到 原来的 倍,纵坐标不变 ? (3)横坐标不变,纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的A倍
1

y=Sin(x+ ? ) 的图象

y=Sin(? x+ ? ) 的图象

y=ASin(?x+ ? )的图象

函数 y=Sinx

(1)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到
原来的
1

y=Sin? x 的图象

?

倍,纵坐标不变

(2)向左(? >0)或向右(? <0) 平移|

? |个单位 ?

y=Sin(? x+ ? ) 的图象

(3)横坐标不变,纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的A倍

y=ASin(?x+ ? )的图象

? π? π 要得到 y=sin?2x- ?的图象,只要将 y=sin(2x+ )的图象 4? 4 ?

π A.向左平移 个单位 2 π C.向左平移 个单位 4

( D) π B.向右平移 个单位 2 π D.向右平移 个单位 4

? ? π π π ? ? 解析 y=sin(2x- )=sin?2?x- ?+ ? 4 4 4? ? ? ? π ? ? 若设 f(x)=sin?2x+ ?, 4? ? ? ? ? ? π π π ? ? ? ? 则 f?x- ?=sin?2x- ?,∴向右平移 个单位. 4? 4? 4 ? ?

π 把函数 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移 个单位长 3 1 度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标 2 不变),得到的图象所表示的函数是 ( C) ? π? A.y=sin?2x- ?,x∈R 3? ? ?x π? B.y=sin? + ?,x∈R ?2 6 ? ? π? C.y=sin?2x+ ?,x∈R 3? ? ? 2π? D.y=sin?2x+ ?,x∈R 3? ?

π 解析 把函数 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单 3 ? π? ? ? 位长度后得到函数 y=sin?x+ ?的图象,再把所得图象上 ? 3? 1 所有的点的横坐标缩短到原来的 倍,得到函数 y = 2 ? ? π ? ? sin?2x+ ?的图象. 3? ?

小结 三角函数图象变换容易出错,尤其是既涉及平移变换又 涉及伸缩变换.平移时,若 x 的系数不是 1,需把 x 的系数先 提出,提出后括号中的 x 加或减的那个数才是平移的量,即 x 的净增量.方向的规律是“左加右减”.伸缩时,只改变 x 的

系数 ω,其余的量不变化,伸长时系数|ω|减小,缩短时|ω|增大.


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