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高二级第二学期第一次月考理科数学试卷


高二级第二学期第一次月考理科数学试卷 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. m ? R ,复数 (2m2 ? 3m ? 2) ? (m2 ? 3m ? 2)i 表示纯虚数的充要条件是( )

1 或m ? 2 B. m ? 2 2 1 C. m ? ? D. m ? 2 或 m ? 1 2 2.若 z1 ? 2 ? i , z2 ? 3 ? ai(a ? R) , z1 ? z2 的和所对应的点在实轴上,则 a 为(
A. m ? ? A.3 B.2 C.1 D. ?1 )



3.下列①②③可组成一个“三段论”,则“小前提”是( ①只有船准时起航,才能准时到达目的港; ②这艘船是准时到达目的港的; ③这艘船是准时起航的.
A.① B.② C.②和③

D.③

4.已知函数 f ( x) ? x3 ? px2 ? qx 的图象与 x 轴切于 (1, 点,则 f ( x) 的极大值和极 0) 小值分别为( 4 A. ,0 27 4 C. ? ,0 27
) B. 0 ,

4 27 4 D. 0 , ? 27

5. 曲线 y ? x 3 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为
( ) B.

8 A. 3

7 3

C.

5 3


D.

4 3

6. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,? 的第 50 项是(
A. 8 B. 9 C. 10

D. 11

7. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 1在 (??,??) 上是单调递增函数,则实数 a 的 取值范围是( ) A. (??,? 3] ? [ 3,??) C. (??,? 3) ? ( 3,??)

B. [? 3, 3] D. (? 3, 3)

8.如图 1,抛物线 y ? ? x2 ? 2 x ? 1与直线 y ? 1 相交形成一个闭合图形(图中的阴 影部分),则该闭合图形的面积是 4 A. 1 B. 3
( )

C. 3

D. 2

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. 若 f ( x) ? log3 ( x ?1)( x ? 1) ,则 f ?(2) ?


10.质点运动的速度 v ? (18t ? 3t 2 ) m/ s ,则质点由开始运动到停止运动所走过的 路程是 . 11. 用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去, 则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系 式可以是 . 12.复数 z ? 3 ? i 与它的共轭复数 z 对应的两个向量的夹角为


13. 在 △ ABC 中,若 ?C ? 90? ,则 cos2 A ? cos2 B ? 1 .把结论类比到四面体,在 四面体 P ? ABC 中,若三个侧面 PAB , PBC , PCA 两两互相垂直,且分别 与底面所成的角为 ?,?,? ,则


14. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x , 有 f ( x) ≥ 0 ,则
f (1) 最小值为 f ?(0)
.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 15.(14 分)已知 z ? 1 ? i,a,b 为实数. (1)若 ? ? z 2 ? 3z ? 4 ,求 ? ; (2)若
z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求 a , b 的值. z2 ? z ? 1

16.(14 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求此切线方程
1 1 1 17.(12 分)已知正数 a, b, c 成等差数列,且公差 d ? 0 ,用反证法证明: , , a b c 不可能是等差数列。

18.(14 分)已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1, (1) 写出 a1, a2, a3,并推测 an 的表达式; (2) 用数学归纳法证明所得的结论。 19.(12 分)用总长 14.8m 的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做容器的底 面的一边长比另一边长多 0.5m 那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的 最大容积.

e? x (ax 2 ? a ? 1) . 20.(14 分)设 x ? R ,函数 f ( x) ? 2
2] (1)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 在 [?1, 上的最值;

(2)求证:当 a ≥ 0 时, f ( x) 在 R 上为减函数.


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