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湖北省华师一附中、荆州中学、黄冈中学等八校2016届高三3月联考数学(理)试题 Word版


湖北省

华师一附中 襄阳四中

黄冈中学 襄阳五中

黄石二中 孝感高中

荆州中学 鄂南高中

八校

2016 届高三第二次联考 数学试题(理科)
命题学校:黄冈中学 命题人:冯小玮 袁小幼 审题人:范裕龙
考试用时 120 分钟 考试

时间:2016 年 3 月 29 日 下午 15:00—17:00 试卷满分 150 分

注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考 证号码填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? {x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0}, B ? {x y ? ln(2 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. (1,3) B. (1,3] C. [?1, 2) ) D. (?1, 2) )
1 7

4 3 ? 2.若复数 z ? (cos ? ? ) ? (sin ? ? )i 是纯虚数( i 为虚数单位) ,则 tan(? ? ) 的值为( 4 5 5

A. ?7 则 S5 ? (

B. ?

1 7

C. 7

D. ? 7 或 ?

3.在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 2, 且 a2 , a4 ? 2, a5 成等差数列,记 Sn 是数列{an}的前 n 项和, ) B.62 C.27 D.81 A.32

4.已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?

2 g ( x) ? cos ? x 的图像,则函数 f ( x) 的图像(

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向左平移

?
3

个单位后得到函数

) B.关于直线 x ? D.关于点 (
5? 对称 12

A.关于直线 x ?

?
12

对称

? C.关于点 ( ,0) 对称 12
1 10 2 3

5? ,0) 对称 12

5.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的概率为( A. B. C.
1 3

)

D.

1 4

6. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) , 且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ) ,
则 f (31) = ( A. 0 ) B. 1 C. ?1
‐?1?‐?

D. 2

7.若如下框图所给的程序运行结果为 S=41,则图中的判断框①中应填入的是( A. i ? 6? B. i ≤ 6? C. i ? 5? D. i ? 5?

)

8.有 6 名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:4 号或 5 号选手得第一名;观众乙猜测:3 号选手不可能得第 一名; 观众丙猜测: 1,2,6 号选手中的一位获得第一名; 观众丁猜测: 4,5,6 号选手都不可能获得第一名. 比 赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果,此人是( A.甲 9 .设 F1 , F2 为椭圆 ( A.
5 14 x2 9 ? y2 5

)

B.乙

C.丙

D.丁
PF2 PF1

? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则

的值为

) B.
5 13

C.

4 9

D.

5 9

?4 x ? y ? 8 ≥ 0 ? 10.已知变量 x, y 满足 ? x ? y ? 5 ≤ 0 , 若目标函数 z ? ax ? y (a ? 0) 取到最大值 6 ,则 a 的值为( ? y ? 1≥ 0 ? A. 2 B.
5 4 5 C. 或 2 4

)

D. ?2

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某 多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为( A. 8? C. 12? B. D.
25 2 41 4

)

?

?

12.已知直线 x ? 9 y ? 8 ? 0 与曲线 C : y ? x 3 ? px 2 ? 3x 相交于 A, B ,且曲线 C 在 A, B 处的切线平行,则实数

p 的值为(
A. 4

) B.4 或 ?3 C. ?3 或 ?1 D. ?3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.已知 m ? 3? sin xdx ,则二项式 ( a ? 2b ? 3c )m 的展开式中 ab2 c m ? 3 的系数为
0

?

. .

??? ??? ??? 1 ??? 14. 在 Rt△ABC 中, ∠A=90°, AB=AC=2, 点 D 为 AC 中点, 点 E 满足 BE ? BC , 则 AE ? BD =
3

15.已知双曲线 心率为

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的渐近线被圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 截得的弦长为 2,则该双曲线 的离 a 2 b2


1 ? n ? 3且 2n

16.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N ? , Sn ? ( ?1)n an ?
(t ? an ?1 )(t ? an ) ? 0 恒成立,则实数 t 的取值范围是
‐?2?‐?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足
2b sin(C ?

?
6

)?a ?c.

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若点 M 为 BC 中点,且 AM ? AC ,求 sin ?BAC .

18.(本小题满分 12 分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校 200 名高三学生

的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如下表: (平均每天锻炼的时间单位:分钟) 平均每天锻炼 的时间(分钟) 总人数
[0,10) 20 [10, 20) 36 [20,30) 44 [30, 40) 50 [40,50) 40 [50, 60) 10

将学生日均课外课外体育运动时间在 [40,60) 上的学生评价为“课外体育达标”. (Ⅰ)请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并通过计算判断是否能在犯 错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关? 课外体育 不达标 男 女 合计 (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校高三学生中,抽取 3 名学生,记被抽取的 3 名 学生中的“课外体育达标”学生人数为 X ,若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的数学期望和方差. 参考公式: K = 参考数据:
2

课外体育达标
20

合计
110

? a ? b? ?c ? d ? ?a ? c ? ?b ? d ?
P ? K 2 ≥ k0 ?

n ? ad ? bc ?

2

,其中 n ? a ? b ? c ? d .

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

19.(本小题满分 12 分)已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, AD ∥ BC , ?BCD ? 90? , PA ? 底面ABCD , ?ABM 是边长为 2 的等边三角形, PA ? DM ? 2 3 .

(Ⅰ)求证:平面 PAM ? 平面PDM ; (Ⅱ)若点 E 为 PC 中点, 求二面角 P ? MD ? E 的余弦值.

E

‐?3?‐?

20. (本题满分 12 分)已知抛物线 x 2 ? 2 py 上点 P 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 .

(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 为抛物线上的两个动点,其中 y1 ? y2 且 y1 ? y2 ? 4 ,线段 AB 的垂直平分 线 l 与 y 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.
x ln x ? a ( a ? 0) . x ?1 (Ⅰ)当 x ? (0,1) 时,求 f ( x ) 的单调性;

(本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 21.

(Ⅱ)若 h( x ) ? ( x 2 ? x ) ? f ( x ) ,且方程 h( x) ? m 有两个不相等的实数根 x1 , x2 .求证:
x1 ? x2 ? 1 .
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时请用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1 :几何证明选讲 如图,在锐角三角形 ABC 中, AB ? AC ,以 AB 为直径的圆 O 与边 BC , AC 另外的交点分别为 D, E ,且 DF ? AC 于 F .

(Ⅰ)求证: DF 是 ⊙O 的切线;
7 (Ⅱ)若 CD ? 3 , EA= ,求 AB 的长. 5 23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4 :坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P 的直角坐标为 (1, 2) ,点
? ? M 的极坐标为 (3, ) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心, 3 为半径.
2 6

(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB .

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ( x ) ?

x ? 2 ? x ? 4 ? m 的定义域为 R .

(Ⅰ)求实数 m 的范围; (Ⅱ)若 m 的最大值为 n ,当正数 a, b 满足
4 1 ? ? n 时,求 4a ? 7b 的最小值. a ? 5b 3a ? 2b

‐?4?‐?

湖北省八校 2016 届高三第二次联考
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题

1.C 7.C
二、填空题

2.A 8.D

3.B 9.B

4.C 10.B
6 2

5.D 11.D

6.C 12.B
3 11 ? 16. ? ?? , ? ? 4 4?

13. ?6480
三、解答题

14. ?2

15.

17.解答: (Ⅰ) 2 sin B(sin C ?

3 1 ? cos C ? ) ? sin A ? sin C , 2 2

即 3 sin B sin C ? sin B cos C ? sin A ? sin C ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin C ,

? 3 sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ,
? 3 sin B ? cos B ? 1 ,所以 2 sin( B ? ? ) ? 1 ,得 B ? ? . 6 3 ………6 分

(Ⅱ)解法一:取 CM 中点 D ,连 AD ,则 AD ? CM ,则 CD ? x ,则 BD ? 3x , 由(Ⅰ)知 B ?

?
3

,? AD ? 3 3 x,? AC ? 2 7 x ,
………12 分 a , 2

由正弦定理知,

4x 2 7x 21 ? . ,得 sin ?BAC ? ? sin ?BAC sin 60 7

解法二:由(Ⅰ)知 B ?

?
3

,又 M 为 BC 中点,? BM ? MC ?

在 ?ABM 与?ABC 中,由余弦定理分别得:
a a a2 ac AM 2 ? ( ) 2 ? c 2 ? 2 ? ? c ? cos B ? ? c 2 ? , AC 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ? a 2 ? c 2 ? ac, 2 2 4 2

又 AM ? AC ,?

3a 7 a2 ac a, ? c2 ? ? a 2 ? c 2 ? ac, ? c ? ,? b ? 2 2 4 2

由正弦定理知,
18 .解答: (Ⅰ)

7a a 2 ,得 sin ?BAC ? 21 . ? 7 sin ?BAC sin 60?

课外体育不达标 男 女 合计
60 90 150

课外体育达标
30 20 50

合计
90 110 200

K2=

200 ? ? 60 ? 20 ? 30 ? 90 ? 150 ? 50 ? 90 ? 110

2

?

200 ? 6.060 ? 6.635, 33

………5 分

所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能判断 “课外体育达标”与性别有关. ………6 分
‐?5?‐?

(Ⅱ)由表中数据可得,抽到“课外体育达标”学生的频率为 0.25,将频率视为概率,

?X

1 B(3, ), 4
1 4 ? 3 4 ,
D( X ) ? 3 ?

………8 分
1 4 ? 3 4

? E( X ) ? 3 ?

?

9 . 16

………12 分

19.解答: (Ⅰ)? ?ABM 是边长为 2 的等边三角形, 底面 ABCD 是直角梯形,
? CD ? 3, 又 DM ? 2 3,? CM ? 3, ? AD ? 3 ? 1 ? 4,

? AD 2 ? DM 2 ? AM 2 ,? DM ? AM .
又 PA ? 底面ABCD, ? DM ? PA, ? DM ? 平面PAM ,
? DM ? 平面PDM , ? 平面 PAM ? 平面PDM .

………6 分

(Ⅱ)以 D 为原点, DC 所在直线为 x 轴, DA 所在直线为 y 轴, 过 D 且与 PA 平行的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz , 则 C ( 3, 0, 0), M ( 3, 3, 0), P(0, 4, 2 3),
?? ? 设平面 PMD 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,
? ? 3x1 ? 3 y1 ? 0 则 ? , 4 y ? 2 3 z ? 0 ? ? 1 1

?? ? 取 x1 ? 3,? n1 ? (3, ? 3, 2).
? E 为 PC 中点,则 E (

………8 分

3 , 2, 3 ) , 2 ?? ? 设平面 MDE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,
? 3 x2 ? 3 y 2 ? 0 ?? ? 1 ? 则? 3 , 取 x2 ? 3,? n2 ? (3, ? 3, ). 2 x2 +2 y2 ? 3z2 ? 0 ? ? 2 ?? ?? ? n1 ? n2 13 13 由 cos ? ? ?? ?? ? ? .? 二面角 P ? MD ? E 的余弦值为 . 14 14 n1 n2

………10 分

………12 分

20.解答: (Ⅰ)设点 P( x0 ,

2 x0 x2 x ,求导 y ' ? , ) ,由 x 2 ? 2 py 得 y ? 2p 2p p

因为直线 PQ 的斜率为 1,所以 所以抛物线的方程为 x 2 ? 4 y .

x0 x2 ? 1 且 x0 ? 0 ? 1 ? 0 ,解得 p ? 2 , 2p p
………4 分
x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 , 2 2

(Ⅱ)设线段 AB 中点 M ? x0 , y0 ? ,则 x0 ?

‐?6?‐?

k AB

x2 2 x12 ? y ? y1 4 ? 1 ? x ? x ? ? x0 , ? 2 ? 4 1 2 4 2 x2 ? x1 x2 ? x1
2 ( x ? x0 ) , x0

∴直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

即 2 x ? x0 ( ?4 ? y ) ? 0 ,? l 过定点 (0, 4) .
x0 ? ? AB : y ? 2 ? ( x ? x0 ) 2 联立 ? ? x 2 ? 2 xx0 ? 2 x0 ?8?0 2 ? x2 ? 4 y ?
2 2 得 ? ? 4 x0 ? 4(2 x0 ? 8)>0 ? ?2 2<x0<2 2 ,

………6 分

AB ? 1 ?

x0 2 x2 2 2 x1 ? x2 ? (1 ? 0 ) 32 ? 4 x0 ? (4 ? x0 2) 8 ? x0 ? ? ? ?, 4 4

………8 分

2 设 C ?0,4 ? 到 AB 的距离 d ? CM ? x0 ?4,

? S?ABC ?

1 1 2 2 AB ? d ? (4 ? x0 2) 8 ? x0 ? ? 2 2

?

1 1 2 1 1 24 3 2 2 ( x0 ? 4) ? x0 ? 4 ? (16 ? 2 x0 )? ( ) ? 8, 2 2 2 2 3

………10 分 ……12 分

2 2 当且仅当 x0 ? 4 ? 16 ? 2 x0 ,即 x0 ? ?2 时取等号,? S?ABC 的最大值为 8.

(Ⅰ) f '( x ) ? 21.解答:

x ? 1 ? ln x 1 , 设 g ( x ) ? x ? 1 ? ln x, 则 g '( x ) ? 1 ? , 2 x ( x ? 1)

? 当 x ? (0,1) 时, g '( x ) ? 0 ? g ( x ) ? g (1) ? 0,? f '( x ) ? 0, ? f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增. ………4 分

(Ⅱ) h( x ) ? x 2 ln x ? ax 2 ? ax ( a ? 0), ? h '( x ) ? 2 x ln x ? x ? 2ax ? a,
? h ''( x ) ? 2 ln x ? 2a ? 3 ? h ''( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,

当 x ? 0 时, h ''( x ) ? 0, h ''(1) ? 3 ? 2a ? 0,

? 必存在 ? ? (0,1), 使得 h ''( x ) ? 0, 即 2 ln ? ? 2a ? 3 ? 0,
? h '( x ) 在 (0, ? ) 上单调递减,在 (? , ??) 上单调递增,

又 h '(? ) ? a ? 2? ? 0, h '(1) ? 1 ? a ? 0, 设 h '( x0 ) ? 0, 则 x0 ? (0,1),
? h( x ) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 上单调递增,

又 h(1) ? 0, 不妨设 x1 ? x2 , 则 0 ? x1 ? x0 , x0 ? x2 ? 1, 由(Ⅰ)知
2 f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? ? ? h( x1 ) ? f ( x0 )( x1 ? x1 ) , ? ? ? 2 f ( x2 ) ? f ( x0 ) ? ? ? h( x2 ) ? f ( x0 )( x2 ? x2 )

2 ? f ( x0 )( x2 ? x2 ) ? h( x2 ) ? h ( x1 ) ? f ( x0 )( x12 ? x1 ) ,

2 ? ( x2 ? x2 ) ? ( x12 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 1) ? 0,? x1 ? x2 ? 1.

………12 分

‐?7?‐?

22.解答: (Ⅰ)连结 AD, OD. 则 AD ? BC, 又 AB ? AC ,

∴ D 为 BC 的中点,而 O 为 AB 中点,∴ OD ∥ AC , 又 DF ? AC ,∴ OD ∥ DF ,而 OD 是半径,∴ DF 是 ⊙O 的切线. (Ⅱ)连 DE ,则 ?CED ? ?B ? ?C ,则 ?DCF ≌ ?DEF , ∴ CF ? FE ,设 CF ? FE ? x ,则 DF 2 ? 9 ? x 2 , 由切割线定理得: DF 2 ? FE ? FA , 9 5 ? 7? 即 9 ? x 2 ? x ? x + ? ,解得: x1 = ,x2 ? ? (舍) ,∴ AB ? AC ? 5. 5 2 ? 5?
? x ?1? ? ? 23.解答: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? ? ?

………5 分

………10 分

3 t, 2 (t为参数) , (答案不唯一,可酌情给分) 1 t, 2 ………5 分

圆的极坐标方程为 ? ? 6 sin ? .
? 3 x ?1? t, ? ? 2 代入 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 ,得 t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 7 ? 0 , (Ⅱ)把 ? ? y ? 2 ? 1 t, ? ? 2 ? t1 t2 ? ?7 ,设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,

则 PA ? t1 , PB ? t2 ,? PA ? PB ? 7.

………10 分

24. 解答: (Ⅰ)? 函数的定义域为 R, x ? 2 ? x ? 4 ? ( x ? 2) ? ( x ? 4) ? 6 ,? m ? 6 . ………5 分 1 4 1 (4a ? 7b)( ? ) 6 a ? 5b 3a ? 2b

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 n ? 6 ,由柯西不等式知, 4a ? 7b ?

1 4 1 3 1 5 时取等号, ? 4a ? 7b 的最小 ? [( a ? 5b) ? (3a ? 2b)] ( ? ) ? ,当且仅当 a ? , b ? 6 a ? 5b 3a ? 2b 2 26 26

值为

3 . 2

………10 分

‐?8?‐?


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