当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年湖北高考理科数学试卷(带详解)


2013 年湖北省理科数学高考试题
第Ⅰ卷
一.选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的). 1.在复平面内,复数 z ?

2i (为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 1? i
i





A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【测量目标】复数代数形式的四则运算,复平面,复数的概念. 【考查方式】先化简复数 z ,再写出其共轭复数,然后根据其实部和虚部判断其所在复平面. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】 z ?

2i ? i(1 ? i) ? 1 ? i ,则 z ? 1 ? i ,其对应点 Z(1,-1)位于第四象限. 1? i
R

x ? ? ?1? 2.已知全集为 R ,集合 A ? ? x ? ? ? ? ? ?2?

? ? 1? , B ? ? x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? ,则 A ? ?R B ? ? ?
B. D.





A. C.

?x | x ? 0?

?x | 2 剟x

4? 4?

?x | 0 ?

x ? 2或x ? 4?

?x | 0 ? x 剠2或x

【测量目标】不等式的解法,集合的基本运算. 【考查方式】先化简集合 A, B 再借助数轴进行集合的交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】C

?1? 【试题解析】∵ x ? 6x ? 8 ? 0 ? x ? 2, x ? 4 , ? ? 剠 1? x ?2?
2

x

0 ,∴ A ? ?R B ? ?x 0 ? x ? 2或x ? 4? .

3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定 范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. ? ?p ? ? ? ?q ? B. p ? ? ?q ? C. ( )

? ?p ? ? ? ?q ?

D. p ? q

【测量目标】常用逻辑语句. 【考查方式】根据逻辑联结词“或”且“非”的含义判断. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】因为 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则 ? p 是“没有降落在指定范围”,

? q 是“乙没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ? p ? ? q .
4.将函数 y ? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图象向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的图象关于 y 轴 对称,则 m 的最小值是 A. ( )

π 12

B.
π 6

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

【测量目标】三角函数及其图象与性质.

【考查方式】先将函数解析式化简再写出平移后的解析式,然后根据函数为偶函数得到 m 的表达式,求得 m 的最小值. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】因为 y ? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 可化为 y ? 2 cos( x ? )( x ? R ) ,将它向左平移 得 y ? 2cos ?( x ? ) ?

π 6

π 个单位 6

? ?

π 6

π? ? 2cos x ,其图象关于 y 轴对称. 6? ?


5.已知 0 ? ? ?

π x2 y2 y2 x2 ,则双曲线 C1 : 与 ? ? 1 C : ? ? 1 的( 2 4 cos2 ? sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ?
C.焦距相等 D. 离心率相等

A.实轴长相等 B.虚轴长相等 【测量目标】圆锥曲线及其标准方程.

【考查方式】先根据 ? 的范围,确定双曲线方程的类型,判断焦点所在的坐标轴,然后分析双曲线 C1 和 C2 的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】对于双曲线 C1 ,有 c ? cos ? ? sin ? ? 1 , e ?
2 2 2

c 1 ? . (步骤 1) a cos ? c tan ? 1 ? ? .(步骤 2) a sin ? cos ?

对于双曲线 C2 ,有 c2 ? sin 2 ? (1 ? tan 2 ? ) ? sin 2 ? ? sec2 ? ? tan2 ? , e ? 即这两双曲线的离心率相等. (步骤 3)

6.已知点 A ? ?1,1? , B ?1, 2 ? , C ? ?2, ?1? , D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为

??? ?

??? ?





A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

【测量目标】平面向量的概念及其运算. 【考查方式】首先求出 AB, CD 的坐标,然后根据投影的定义进行求解. 【难易程度】中等 【参考答案】A

??? ? ??? ?

【试题解析】 AB =(2,1) , CD =(5,5) ,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射影为

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? AB? CD (2,1)?(5,5) 2 ? 5 ? 1? 5 3 2 AB cos ? ? ??? ? ? . ? ? 2 5 2 CD 52 ? 52
7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v ? t ? ? 7 ? 3t ?

25 ( t 的单位: s , 1? t
( )

v 的单位: m / s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位: m )是 11 A. 1 ? 25ln 5 B. 8 ? 25ln C. 4 ? 25ln 5 D. 4 ? 50ln 2 3
【测量目标】定积分与微积分基本定理.

【考查方式】利用定积分求解实际问题中的未知数. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】令 v ? t ? ? 7 ? 3t ?

8 25 ? 0 ,解得 t =4 或 t= ? (不合题意,舍去) , (步骤 1) 3 1? t
4

即汽车经过 4 秒中后停止,在此期间汽车继续行驶的距离为

4 4 25 v ( t ) dt ? ?0 ? 0(7 ? 3t ? 1 ? t )dt ?

3 ? ? 7t ? t 2 ? 25ln(1 ? t ) ? ? 4 ? 25ln 5 (步骤 2) ? 2 ? ?0

8. 一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成, 其体积分别记为 V1 , V2 , V3 ,

V4 ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有(
A. V1 ? V2 ? V4 ? V3 B. V1 ? V3 ? V2 ? V4 C. V2 ? V1 ? V3 ? V4



D. V2 ? V3 ? V1 ? V4

第 8 题图 【测量目标】空间几何体与三视图. 【考查方式】先根据三视图判断四个几何体的形状,再结合所给数据计算各个几何体的体积,最后做出比 较. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】显然 V2 ? V3 ,所以 B 不正确.(步骤 1) 又 V1 ?

π 2 2 7 (2 ? 1 ? 2 ?1) ? π , 3 3

1 28 ,从而 V2 ? V1 ? V3 ? V4 .(步骤 2) V2 ? π ?12 ? 2 ? 2π , V3 ? 23 ? 8 , V4 ? (42 ? 22 ? 4 ? 2) ? 3 3
9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取 出一个小正方体,记它的涂油漆面数为 X ,则 X 的均值为 E ? X ? ? A.

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

第 9 题图

【测量目标】统计,古典概率. 【考查方式】先求出随机变量 X 的分布列,然后利用均值的计算公式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】125 个同样大小的小正方体的面数共有 125× 6=750,涂了油漆的面数有 25× 6=150. 每一个小正方体的一个面涂漆的频率为

150 1 1 6 ? ,则它的涂漆面数为 X 的均值 E ( X ) ? ? 6 ? . 750 5 5 5
( )

10.已知 a 为常数,函数 f ( x ) ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则

A.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2

1 f ( x ) ? 0, f ( x ) ? ? 1 2 C. 2

1 f ( x ) ? 0, f ( x ) ? ? 1 2 D. 2

【测量目标】函数的导数及其应用. 【考查方式】已知函数极值点的个数,运用函数导数的性质求函数在某点的函数值的大小 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】 f ?( x) ? ln x ? 1 ? 2ax ,由 f ( x) ? x(ln x ? ax) 由两个极值点,得 f ?( x) ? 0 有两个不等的实数 解,即 ln x ? 2ax ? 1 有两个实数解, (步骤 1)从而直线 y ? 2ax ? 1 与曲线 y ? ln x 有两个交点. (步骤 2) 过点(0,-1)作 y ? ln x 的切线,设切点为(x0,y0) ,则切线的斜率 k ? (步骤 3) 切点在切线上,则 y0 ?

1 1 ,切线方程为 y ? x ?1 . x0 x0

x0 ? 1 ? 0 ,又切点在曲线 y ? ln x 上,则 ln x0 ? 0 ? x0 ? 1,即切点 x0

为(1,0) ,切线方程为 y ? x ? 1 .(步骤 4) 再由直线 y ? 2ax ? 1 与曲线 y ? ln x 有两个交点.,知直线

1 y ? 2ax ?1 位于两直线 y ? 0 和 y ? x ? 1 之间, (步骤 5)其斜率 2a 满足:0<2a<1,解得 0<a< . .则 2
这函数的两个极点 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? 1 ? x2 , 所以 f ( x1 ) ? f (1) ? f ( x2 ) , (步骤 6) f (1) ? ? a ? ( ? 即 f ( x1 ) ? ?a ? f ( x2 ) ,所以 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 , 0) , 2

1 .(步骤 7) 2

第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上). (一)必考题(11~14 题) 11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频率分布直方图所 示. (I)直方图中 x 的值 为 ; (II )在这些用户中,用电量落在区间 ?100, 250 ? 内的户数为 .

第 11 题图 【测量目标】频率分布直方图及其应用. 【考查方式】根据频率分布直方图直接计算求解未知数. 【难易程度】容易 【参考答案】0.0044 70 【试题解析】 (Ⅰ) x ?

1 ?1 ? 50(0.0060 ? 0.0036 ? 2 ? 0.0024 ? 0.0012)? ? 0.0044 ; 50

(Ⅱ)用电量落在区间 ?100, 250 ? 内的户数为 (0.0036 ? 0.0060 ? 0.0044) ? 50 ?100 ? 70 . 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i ? .

第 12 题图 【测量目标】算法初步与循环结构的程序框图. 【考查方式】按照程序框图的执行流程分析循环过程,得到输出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】5

? a ? 10 ? 4 , 【试题解析】 已知初始值 a ? 10, i ? 1 , 则执行程序, 得 a ? 5, i ? 2 ; (步骤 1) 因为 a ? 5 ? 4 ,
则执行程序,得 a ? 16, i ? 3 ; a ? 16 ? 4 , (步骤 2)则第三次执行程序,得 a ? 8, i ? 4 ;∵ a ? 8 ? 4 , (步骤 3)则第四次执行程序,得 a ? 4, i ? 5 ;∵ a ? 4 ,执行输出 i , i ? 5 . (步骤 4) 13.设 x, y, z ? R ,且满足: x ? y ? z ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则 x ? y ? z ?
2 2 2

.

【测量目标】柯西不等式的应用. 【考查方式】利用柯西不等式求已知式子的最值,再结合题目条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】

3 14 7
2 2 2 2 2 2 2 2

【试题解析】 由柯西不等式可得 ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 3 ) …( x ? 2 y ? 3z) , 即 ( x ?2 y ? 3z ) 骤 1)因此 x ? 2 y ? 3z ? (步骤 2)所以 x ? 14 ,因为 x ? 2 y ? 3z ? 14 ,

1 ? 4

, (步

y z ? ,解得 2 3

x?

3 14 14 14 3 14 ,于是 x ? y ? z ? (步骤 3) ,y? ,z ? 7 14 7 14

14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10, …,第 n 个三角形数为

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n .记第 n 个 k 边形数为 N ? n, k ? ? k …3? ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的 2 2 2
表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 …… 可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ? 【测量目标】创新与拓展,归纳推理. 【考查方式】根据题目中的已知结论通过归纳推理求解. 【难易程度】容易 【参考答案】1000 1 1 【试题解析】三角形数 (步骤 1) N (n,3) ? n2 ? n , 2 2 正方形数
2 N ( n, 4 ? ) n

N ? n,3? ?

1 2 1 n ? n 2 2

N ? n, 4 ? ? n 2

N ? n,5? ?

3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n

.

= ( ? )n ? ( ? )n , (步骤 2)
2 2个 1 2

1 1 2? 2 ? ?

1 2

1 2

五边形数

1 1 1 2 1 1 1 3 1 (步骤 3) N (n,5) ? n2 ? n = ( ? ? )n ? ( ? ? )n , 2 2 2? 2? 2 2 2 2 ? ? ?
3个 1 2

六边形数

N (n,6) ? 2n2 ? n ? ( ?

1 1 1 1 2 1 1 1 1 (步骤 4) ? ? )n ? ( ? ? ? )n , 2 ? 2??? 2 ? 2 2 2? 2?? 2 ?? ? ?
4个 1 2 2 个? 1 2

………………推测 k 边形
N (n, k ) ? ( ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ... ? ? )n2 ? ( ? ? ? ?... ? )n ? (k ? 2)n2 ? (k ? 4)n .(步骤 5) 2 2 2 2 2 ??? 2 ? 2???? 2 2 2 ?? ? ??? ?2 ?
(k-2)个 1 2 (k-4)个? 1 2

所以 N (10, 24) ?

1 1 ? (24 ? 2) ?102 ? ? (24 ? 4) ?10 ? 1100 ? 100 ? 1000 .(步骤 6) 2 2

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图,圆 O 上一点 C 在直线 AB 上的射影为 D ,点 D 在半径 OC 上的射 影为 E .若 AB ? 3 AD ,则

CE 的值为 EO

.

第 15 题图 【测量目标】圆的相交弦定理,射影定理,几何证明选讲. 【考查方式】运用圆的相交弦定理以及直角三角形中的射影定理求解圆内线段的比值. 【难易程度】中等 【参考答案】8 【试题解析】根据题设,易知 OC ? AO ? 3DO ,Rt△ODE∽Rt△DCE∽Rt△OCD, (步骤 1)

?

OD CD OC 3 ? ? ? ,即 CO ? 3OD ? 9OE , (步骤 2)在 Rt△ODE 中, OE DE OD 1

DE 2 ? DO2 ? OE 2 ? 9OE 2 ? OE 2 ? 8OE 2 , (步骤 3)在 Rt△CDE 中,
CE 2 ? CD 2 ? DE 2 ? 9DE 2 ? DE 2 ? 8DE 2 ? 64OE 2 ,即

CE 2 CE ? 64,? ? 8 .(步骤 4) 2 EO EO

16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ?

? x ? a cos ? ( ? 为参数, ? y ? b sin ?

a ? b ? 0 )在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为
极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ? sin ?? ?

? ?

π? 2 m ? m为非零常数 ? 与 ? ? b .若直 ?? 4? 2
.

线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与 圆 O 相切,则椭圆 C 的离心 率为 【测量目标】坐标系与参数方程.

【考查方式】先将参数方程与极坐标方程化为普通方程,再根据直线与圆的位置关系得出圆的离心率. 【难易程度】中等 【参考答案】

6 3
x2 y 2 + ? 1 ,圆 O 的方程可化为 x2 ? y 2 ? b2 ,直线 l 的方程可化为 a 2 b2

【试题解析】椭圆 C 的方程可以化为

x ? y ? m ,( 步 骤 1 ) 因 为 直 线 l 经 过 椭 圆 的 焦 点 , 且 与 圆 O 相 切 , 则

c ? m, b ?

c m 6 2 m2 6 ? (步骤 2)所以椭圆的离心率 e ? ? .(步骤 3) m, a ? ? m2 ? m, a 3 2 2 2 6m 2

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ABC 中 , 角 A , B , C 对 应 的 边 分 别 是 a , b , c . 已 知

cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1.

(I)求角 A 的大小; (II)若 △ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 【测量目标】诱导公式,正、余弦定理. 【考查方式】利用诱导公式化简已知条件再利用正、余弦定理求解三角形中的未知参数. 【难易程度】中等 【试题解析】 (Ⅰ)由 cos 2 A ? 3cos( B ? C) ?1 ,得 2cos A ? 3cos A ? 2 ? 0 , (步骤 1)
2

即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,解得 cos A ? 因为 0 ? A ? π ,所以 A ?

1 或 cos A ? ?2 (舍去). (步骤 2) 2

π .(步骤 3) 3

(Ⅱ)由 S ?

1 1 3 3 bc sin A ? bc? ? bc ? 5 3 得 bc ? 20 . (步骤 4)又 b ? 5 ,知 c ? 4 . (步骤 5) 2 2 2 4

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21, 故 a ? 21 .(步骤 6)

b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin B sin C ? sin A? sin A ? 2 sin 2 A ? ? ? . (步骤 7) a a a 21 4 7
18. (本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10 , a1a2a3 ? 125 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m ,使得

1 1 1 ? ??? …1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. a1 a2 am

【测量目标】等比数列的通项、前 n 项和的公式以及等比数列的性质. 【考查方式】根据数列中项之间的关系推出数列的通项,再运用求和公式求解新数列. 【难易程度】中等 【试题解析】 (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q,则由已知可得
3 3 ? ? a1 q ? 125 ? 2 ? ? a1q ? a1q ? 10

5 ? ?a1 ? ?5 ?a1 ? 解得 ? 3 或? ? q ? ?1 ? ?q?3
3 故 an ? ? 3 (Ⅱ)若 an ? ? 5 3 5 3
n ?1

(步骤 1)

,或 an ? ?5? (?1)n?1 .

(步骤 2)

n ?1

,则

?1? 3 1 1 3 1 n ?1 ? ?( ) , (步骤 3)故 ? ? 是首项为 ,公比为 的等比数列, 5 3 an 5 3 ? an ?
?1 ? ? ? ? an ?

3? 1 ? ??1 ? ( )m ? 1 5? 1 ? 9 3 ? 9 ? 从而 ? ? ? ??1 ? ( )m ? ? ? 1 . (步骤 4) 1 10 ? 3 ? 10 n ?1 an 1? 3
m

若 an ? (?5)? (?1)n?1 ,则

?1? 1 1 1 (步骤 5) 故 ? ? 是首项为 ? , 公比为 ?1 的等比数列, ? ? (?1)n ?1 , 5 an 5 ? an ?


? 1 1 ?? , m ? 2k ? 1(k ? N ? ), 从而 ? ?? 5 n ?1 an ? ? 0, m ? 2k (k ? N ? ).
m

?a
n ?1

m

1
n

? 1.

(步骤 6)

综上,对任何正整数 m,总有

?a
n ?1

m

1
n

? 1.(步骤 7)

故不存在正整数 m,使得

1 1 1 ? ??? …1 成立. (步骤 8) a1 a2 am

19. (本小题满分 12 分)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,直线 PC ? 平面 ABC ,

E , F 分别是 PA , PC 的中点. (I)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明; ???? 1 ??? ? (II)设(I)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ,且点 Q 满足 DQ ? CP .记直线 PQ 与平面 ABC 所 2
成的角为 ? , 异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ? , 二面角 E ? l ? C 的大小为 ? , 求证:sin ? ? sin ? sin ? .

第 19 题图 【测量目标】空间向量与立体几何. 【考查方式】利用线面平行的判定定理与性质定理进行判断与证明,建立空间直角坐标系,利用坐标进行 求解与证明,也可通过构建三角函数求解. 【难易程度】较难 【试题解析】. (Ⅰ)直线 l ∥平面 PAC ,证明如下: 连接 EF ,因为 E , F 分别是 PA , PC 的中点,所以 EF ∥ AC . (步骤 1) 又 EF ? 平面 ABC ,且 AC ? 平面 ABC ,所以 EF ∥平面 ABC .(步骤 2) 而 EF ? 平面 BEF ,且平面 BEF ? 平面 ABC ? l ,所以 EF ∥ l . (步骤 3) 因为 l ? 平面 PAC , EF ? 平面 PAC ,所以直线 l ∥平面 PAC . (步骤 4) (Ⅱ) (综合法)如图 1,连接 BD ,由(Ⅰ)可知交线 l 即为直线 BD ,且 l ∥ AC .(步骤 5) 因为 AB 是 ? O 的直径,所以 AC ? BC ,于是 l ? BC .(步骤 6) 已知 PC ? 平面 ABC ,而 l ? 平面 ABC ,所以 PC ? l .(步骤 7) 而 PC ? BC ? C ,所以 l ? 平面 PBC .(步骤 8) 连接 BE , BF ,因为 BF ? 平面 PBC ,所以 l ? BF (步骤 9). 故 ?CBF 就是二面角 E ? l ? C 的平面角,即 ?CBF ? ? . (步骤 10)

???? 1 ??? ? 1 由 DQ ? CP ,作 DQ ∥ CP ,且 DQ ? CP . 2 2

连接 PQ , DF ,因为 F 是 CP 的中点, CP ? 2 PF ,所以 DQ ? PF , (步骤 11) 从而四边形 DQPF 是平行四边形, PQ ∥ FD .(步骤 12) 连接 CD ,因为 PC ? 平面 ABC ,所以 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影, (步骤 13) 故 ?CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角,即 ?CDF ? ? . 又 BD ? 平面 PBC ,有 BD ? BF ,知 ?BDF 为锐角, (步骤 14) 故 ?BDF 为异面直线 PQ 与 EF 所成的角,即 ?BDF ? ? , 于是在 Rt △ DCF , Rt △ FBD , Rt △ BCF 中,分别可得

sin ? ?

CF BF CF , sin ? ? , sin ? ? , (步骤 15) DF DF BF

从而 sin ? sin ? ?

CF BF CF ? ? ? sin ? ,即 sin ? ? sin ? sin ? .(步骤 16) BF DF DF

第 19 题(Ⅱ)图 1

? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 (Ⅱ) (向量法) 如图 2, 由D 作 DQ ∥ CP , 且D (步骤 5) 连接 PQ ,EF ,BE ,BF , Q ? C P , Q ? C P . 2 2

BD ,由(Ⅰ)可知交线 l 即为直线 BD . ??? ? ??? ? ??? ? 以点 C 为原点,向量 CA, CB, CP 所在直线分别为 x, y, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设
CA ? a, CB ? b, CP ? 2c ,则有

C (0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, b, 0), P(0, 0, 2c), Q(a, b, c) ,

1 E( a, 0, c), F (0, 0, c) . (步骤 6) 2
??? ? ??? ? ??? ? 1 于是 FE ? ( a, 0, 0) , QP ? (?a, ? b, c) , BF ? (0, ? b, c) , 2 ??? ? ??? ? | FE ? QP | a b2 ? c 2 ? ??? ? ? 所以 cos ? ? ??? ,从而 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? . (步骤 7) | FE |? | QP | a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? c 2 ??? ? | m? QP | c ??? ? ? 又取平面 ABC 的一个法向量为 m ? (0, 0, 1) ,可得 sin ? ? , (步骤 8) 2 | m |? | QP | a ? b2 ? c 2
设平面 BEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ? ?n?FE ? 0, 所以由 ? ??? ? ? ?n?BF ? 0,
于是 | cos ? | ?

?1 ? ax ? 0, 可得 ? 2 ? ??by ? cz ? 0.

取 n ? (0, c, b) .

| m ?n | b c ? ,从而 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? . 2 2 2 | m |? |n| b ?c b ? c2

(步骤 9)

故 sin ? sin ? ?

b2 ? c 2 a ?b ?c
2 2 2

?

c b ?c
2 2

?

c a ? b2 ? c 2
2

? sin ? ,即 sin ? ? sin ? sin ?

(步骤 10)

第 19 题(Ⅱ)图 2 20. (本小题满分 12 分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N 800,502 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 . ( I ) 求 p0 的 值 ;( 参 考 数 据 : 若 X ? N ? , ?

?

?

?

2

? , 有 P ? ? ?? ? X ?

, ? ?? ? ? 0 . 6 8 2 6

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544 , P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974 .)
(II)某客运公司用 A , B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车 每天往返一次, A , B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司 拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆.若每天要以不小于 p0 的概率 运 完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备 A 型车, B 型车各多少辆? 【测量目标】随机变量及其分布,简单的线性规划、正态分布. 【考查方式】先由正态分布的对称性求解,再利用线性规划的相关性质求解未知数. 【难易程度】中等 【试题解析】 ( Ⅰ ) 由 于 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N (800, 502 ) , 故 有 ? ? 800 , ? ? 50 ,
P(700 ? X ? 900) ? 0.9544 . (步骤 1)

由正态分布的对称性,可得 p0 ? P( X 剟900) ? P( X

800) ? P(800 ? X ? 900)

?

1 1 ? P(700 ? X ? 900) ? 0.9772 . (步骤 2) 2 2

(Ⅱ) 设 A 型、B 型车辆的数量分别为 x, y 辆, 则相应的营运成本为 1600 x ? 2400 y . 依题意, x, y 还需满足:
x ? y 剟21, y x ? 7, P( X 剠36 x ? 60 y) p0 . (步骤 3) p0 等价于 36 x ? 60 y …900 .

由(Ⅰ)知, p0 ? P( X ? 900) ,故 P( X 剠36 x ? 60 y)

? x ? y ? 21, ? y ? x ? 7, ? 于是问题等价于求满足约束条件 ? (步骤 4) ?36 x ? 60 y …900, ? ? x, y …0,x, y ? N,

且使目标函数 z ? 1600 x ? 2400 y 达到最小的 x, y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12), Q(7,14), R(15,6) .(步骤 5) 由图可知, 当直线 z ? 1600 x ? 2400 y 经过可行域的点 P 时, 直线 z ? 1600 x ? 2400 y 在 y 轴上截距

z 2400

最小,即 z 取得最小值. 故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆. (步骤 6)

第 20 题(Ⅱ)图 21. (本小题满分 13 分)如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴 长分别为 2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从大到小依 次为 A , B , C , D .记 ? ?

m , △BDM 和 △ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

第 21 题图 【测量目标】直线与圆锥曲线. 【考查方式】已知直线与椭圆的位置关系求解椭圆的一般方程,给出未知参数的变化范围再求解符合条件 的直线. 【难易程度】中等 【试题解析】依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程分别为
C1 :

x2 y 2 x2 y 2 m C , : ? ? 1 ? ? 1 . 其中 a ? m ? n ? 0 , ? ? ? 1. (步骤 1) 2 n a 2 m2 a 2 n2

(Ⅰ)解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x ? 0 ,则

S1 ?

S | BD | 1 1 1 1 . (步骤 2) | BD |? | OM | ? a | BD | , S2 ? | AB |? | ON | ? a | AB | ,所以 1 ? S | AB | 2 2 2 2 2

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x ? 0 ,可得 y A ? m , yB ? n , yD ? ?m , 于是 若
| BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 ? ? ? .(步骤 3) | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1

S1 ? ?1 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1.(步骤 4) ? ? ,则 ? ?1 S2

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1. (步骤 5) 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则
| BD | ? | OB | ? | OD | ? m ? n , | AB | ? | OA | ? | OB | ? m ? n ;

S1 ?
所以 若

1 1 1 1 | BD |? | OM |? a | BD | , S2 ? | AB |? | ON |? a | AB | .(步骤 2) 2 2 2 2
S1 | BD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . (步骤 3) S2 | AB | m ? n ? ? 1

S1 ? ?1 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1.(步骤 4) ? ? ,则 ? ?1 S2
(步骤 5)

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1.

第 21 题(Ⅰ)图 1 (Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) ,点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ? 又 S1 ?
| ?ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k2

,所以 d1 ? d2 . (步骤 6)

S | BD | 1 1 ? ? ,即 | BD |? ? | AB | . | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? S2 | AB | 2 2

由对称性可知 | AB | ?| CD | ,所以 | BC | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | , (步骤 7)
| AD | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,于是
| AD | ? ? 1 ? . | BC | ? ? 1



将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得
xA ? am a k ?m
2 2 2

, xB ?

an a k 2 ? n2
2

.(步骤 8)

根据对称性可知 xC ? ? xB , xD ? ? xA ,于是

1 ? k 2 | xA ? xD | 2 xA m a2 k 2 ? n2 | AD | . ? ? ? 2 2 2 | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB n a k ? m
从而由①和②式可得
a 2 k 2 ? n2 ? ?1 ? . 2 2 2 a k ?m ? (? ? 1)





令t ?

? ?1 n 2 (? 2 t 2 ? 1) ,则由 m ? n ,可得 t ? 1 ,于是由③可解得 k 2 ? 2 .(步骤 9) ? (? ? 1) a (1 ? t 2 )
n 2 (? 2 t 2 ? 1) ?0, a 2 (1 ? t 2 )

因为 k ? 0 ,所以 k 2 ? 0 . 于是③式关于 k 有解,当且仅当 等价于 (t 2 ? 1)(t 2 ?

1

?

2

) ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得

1

?

(步骤 10) ? t ?1,



1

?

?

? ?1 ? 1 ,由 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? (? ? 1)

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . (步骤 11)

解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , (步骤 6) 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ? 又 S1 ?
| ?ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k2

,所以 d1 ? d2 . (步骤 7)

S | BD | 1 1 ? ? .(步骤 8) | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? S2 | AB | 2 2

因为

x ? ?1 1 ? k 2 | xB ? xD | xA ? xB | BD | . ? ? ? ? ,所以 A ? xB ? ? 1 | AB | 1 ? k 2 | xA ? xB | xA ? xB

由点 A( xA , kxA ) , B( xB , kxB ) 分别在 C1,C2 上,可得
xA2 k 2 xA2 xB 2 k 2 xB 2 x A 2 ? xB 2 k 2 ( x A 2 ? ? 2 x B 2 ) ? ? 1 ? ? 1 ? ?0, , ,两式相减可得 (步骤 9) a2 m2 a2 n2 a2 m2

依题意 xA ? xB ? 0 ,所以 xA2 ? xB 2 . 所以由上式解得 k 2 ? 因为 k 2 ? 0 ,所以由 从而 1 ?

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) . a 2 ( ? 2 xB 2 ? x A 2 )

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) x ? 0 ,可解得 1 ? A ? ? .(步骤 10) a 2 ( ? 2 xB 2 ? x A 2 ) xB

? ?1 ? ? ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ; (步骤 11) 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . (步骤 12)

第 21 题(Ⅱ)图 2 22. (本小题满分 14 分)设 n 是正整数, r 为正有理数. (I)求函数 f ( x ) ? ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1( x ? ?1) 的最小值;

n r ?1 ? ? n ? 1? (II)证明: r ?1

r ?1

?n

r

? n ? 1? ?

? n r ?1 ; r ?1
? 3?

r ?1

( III ) 设 x ? R , 记 ? ? x? ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ? ?2? ??2 , ? ? π? ? ? 4 , ? ? 2 ? ? ?1 . 令 ? ?

?S ? ? 的值. S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? 3 125 ,求 ?
(参考数据: 80 ? 344.7 , 81 ? 350.5 , 124 ? 618.3 , 126 ? 631.7 ) 【测量目标】导数,函数的性质,不等式. 【考查方式】利用导数研究函数的单调性和极值进一步构造不等式再证明结论是否成立. 【难易程度】较难 【试题解析】 (Ⅰ) 因为 f ?( x) ? (r ? 1)(1 ? x)r ? (r ? 1) ? (r ? 1)[(1 ? x)r ? 1] ,令 f ?( x) ?0 ,解得 x ? 0(步骤 1) . 当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( ?1, 0) 内是减函数; 当 x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ??) 内是增函数. (步骤 2) 故函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得最小值 f (0) ? 0 . (步骤 3) (Ⅱ)由(Ⅰ) ,当 x ? ( ?1, ??) 时,有 f ( x) … f (0) ? 0 ,即 (步骤 4) (1 ? x)r ?1 …1 ? (r ? 1) x ,且等号当且仅当 x ? 0 时成立, 故当 x ? ?1 且 x ? 0 时,有
(1 ? x)r ?1 ? 1 ? (r ? 1) x .
4 3 4 3 4 3 4 3



在①中,令 x ?

1 1 r ?1 (这时 x ? ?1 且 x ? 0 ) ,得 (1 ? )r ?1 ? 1 ? .(步骤 5) n n n

上式两边同乘 n r ?1 ,得 (n ? 1)r ?1 ? n r ?1 ? n r (r ? 1) ,即

nr ?

(n ? 1)r ?1 ? nr ?1 . r ?1



(步骤 6)

1 当 n ? 1 时,在①中令 x ? ? (这时 x ? ?1 且 x ? 0 ) ,类似可得 n

nr ?

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 . r ?1



(步骤 7)

且当 n ? 1 时,③也成立. 综合②,③得

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 ? nr ? . r ?1 r ?1

④(步骤 8)

1 (Ⅲ)在④中,令 r ? , n 分别取值 81,82,83, …,125,得 3
4 4 4 3 4 3 ( 813 ? 80 3)< 3 81 ? (82 3 ? 813 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 ( 82 3 ? 813)< 3 82 ? (83 3 ? 82 3 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 ( 83 3 ? 82 3) ? 3 83 ? (84 3 ? 83 3 ) , 4 4

………
4 4 4 4 3 3 ( 125 3 ? 124 3) ? 3 125 ? (126 3 ? 125 3 ) .(步骤 9) 4 4

将以上各式相加,并整理得
4 4 4 4 3 3 ( 125 3 ? 80 3) ? S ? (126 3 ? 813 ) . 4 4

3 3 代入数据计算,可得 ( 125 3 ? 80 3) ? 210.2 , ( 126 3 ? 813) ? 210.9 . 4 4
由? ?S ? ? 的定义,得 ? ?S ? ? ? 211 . (步骤 10)

4

4

4

4


相关文章:
2013年高考理科数学湖北卷word解析版
2013年高考理科数学湖北卷word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (湖北卷) 一、选择题:本大题共 10 小题...
2013年湖北省 高考理科数学试题(真题与答案解析)
2013年湖北省 高考理科数学试题(真题与答案解析)_高考_高中教育_教育专区。2013年湖北省 高考理科数学试题(真题与答案解析)2013 年湖北省高考数学试卷(理科)一、选...
2013年湖北高考理科数学试卷(带详解)
2013年湖北高考理科数学试卷(带详解)_数学_高中教育_教育专区。2013 年湖北省理科数学高考试题第Ⅰ卷一.选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分....
2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)
2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013湖北高考数学试卷2013 年湖北高考数学试卷(理科)WORD 版绝密 ★ 启用前 2013 年...
2013年湖北高考数学试题和答案 理科 Word解析版
2013年湖北高考数学试题和答案 理科 Word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013年湖北高考数学试题和答案理科Word解析版 2013 年湖北省理科数学高考试题 WORD 解析版...
2013年湖北高考理科数学试卷答案解析
2013年湖北高考理科数学试卷答案解析_高考_高中教育_教育专区。2013年湖北高考理科数学试卷答案解析 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册,免费下载! 2013 年普通...
2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析_数学_高中教育_教育专区。2013 年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分...
2013年湖北卷理科数学试卷解得(全解析)
2013年湖北理科数学试卷解得(全解析)_高考_高中教育_教育专区。最新2013年全国高考湖北卷数学理科试题及答案(所有试题均有详细解答,录入规范的word文件2013...
2013湖北高考数学(理)试题及解析 免费
2013湖北高考数学(理)试题及解析 免费_高考_高中教育_教育专区。2013 年湖北省数学高考试题(理)一.选择题 1.在复平面内,复数 z ? A. 第一象限 2i ( i ...
更多相关标签:
2012湖北高考数学理科 | 2015湖北高考数学理科 | 2014湖北高考理科数学 | 2016湖北高考数学理科 | 2013湖北高考数学理科 | 2016湖北高考理科状元 | 湖北高考理科总分 | 2011湖北高考数学理科 |