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2016届高三数学专题拉分训练卷:圆锥曲线


2016 届高三数学专题拉分训练卷:圆锥曲线
一、选择题:共 13 题 每题 5 分 共 65 分
1.已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的
2

距离之和的最小值为 A.错误!未找到引用 B.3 源。 【答案】A
2 【解析】记抛物线 y =2x 的焦

点为 F(错误!未找到引用源。,0),准线是 l,由抛物线的定义知点

C.错误!未找到引用 D.错误!未找到引用 源。 源。

P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离,因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准 线的距离之和的最小值,可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最 小值,结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,选 A.
2.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线

的焦点的距离为 3,则|OM|= A.2 错误! 未找到引用B.2 错误! 未找到引用 C.4 源。 源。 【答案】B
2 【解析】由题意设抛物线方程为 y =2px(p>0),则点 M 到焦点的距离为 xM+错误!未找到引用 2 源。=2+错误!未找到引用源。=3,∴p=2,∴y =4x,∴错误!未找到引用源。=4×2=8,∴|OM|=

D.2 错误! 未找到引用 源。

错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。.
3.椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,

左、右焦点分别是 F1、F2.若|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A.错误!未找到引用 B.错误!未找到引用 C.错误!未找到引用 D.错误!未找到引用 源。 【答案】B
2 |F1B|,即 4c2=(a-c)(a+c)=a2-c2,整理得 5c2=a2,∴e=错误! 【解析】 依题意得|F1F2| =|AF1|· 未找到

源。

源。

源。-2

引用源。=错误!未找到引用源。.
4.椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相

交于点 A、B,当△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积是

A.错误!未找到引用 B.2 源。 【答案】D

C.错误!未找到引用 D.3 源。

【解析】分析可得,直线 x=m 过右焦点(1,0)时,△FAB 的周长最大,由椭圆的定义知,其周长为 4a=8,此时,|AB|=2×错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=3,∴错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。×2×3=3.
5.已知圆 P 与圆 A:x +(y+5) =49 和圆 B:x +(y-5) =1 都外切,则圆 P 的圆心 P 的轨迹方程是
2 2 2 2

A.错误!未找到引用 B.错误!未找到引用 C.错误!未找到引用 D.错误!未找到引用 源。-错误!未找到引源。-错误!未找到引源。-错误!未找到引源。-错误!未找到引 用源。=1(y>0) 【答案】A 【解析】由题易知 A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=7-1=6,则点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的 上支.设其对应的双曲线方程为错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0),
2 2 2 则 2a=6,c=5,b =c -a =16,所以点 P 的轨迹方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。

用源。=1(y<0)

用源。=1

用源。=1

=1(y>0).
6. 已知点 A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线 y =2px 上,△ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合(如
2

图),则线段 BC 的中点 M 的坐标为

A.(10,-2) 【答案】B

B.(11,-4)

C.(12,-4)

D.(9,-2)

2 2 2,解得 p=16,所以抛物线方程为 y2=32x,焦点 【解析】由点 A(2,8)在抛物线 y =2px 上,有 8 =2p·

F 的坐标为(8,0).由于 F(8,0)是△ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以错误!未找到引用源。=2 错

误!未找到引用源。,设点 M 的坐标为(x0,y0),则有(6,-8)=2(x0-8,y0),解得 x0=11,y0=-4,所以点 M 的坐标为(11,-4).
7.设错误!未找到引用源。是双曲线错误!未找到引用源。的两个焦点, P 是 C 上一点,若错

误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。的最小内角为 30°,则 C 的离心率为 A.错误!未找到引用 B.错误!未找到引用 C.错误!未找到引用 D.错误!未找到引用 源。 【答案】C 【解析】本题考查双曲线的几何意义,余弦定理.由题意得错误!未找到引用源。(令错误! 未找到引用源。),而错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用 源。 ,错误!未找到引用源。 ;因为 c 错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。为 错误!未找到引用源。的最小边,错误!未找到引用源。;由余弦定理得:错误!未找到引 用源。 ,即错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。 ;即错误!未找到引用源。 . 选 C.
8. , 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在棱 AB 上,且 AM=错误! 未找到引用源。

源。

源。

源。

点 P 是平面 ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 A1D1 的距离与 P 到点 M 的距离的平方差为 1, 则动点 P 的轨迹是

A.圆 【答案】C

B.双曲线

C.抛物线

D.直线

【解析】设点 P 在 AD 上的射影为 Q,则点 P 到 A1D1 的距离为错误!未找到引用源。.以 AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 M 点坐标为(错误! 未找到 ,0),设 P(x,y),连接 PM,则|PM|2=(x-错误! )2+y2,依题意得 1+x2-[(x-错误! 引用源。 未找到引用源。
2 2 2 未找到引用源。) +y ]=1,化简可知 y =错误!未找到引用源。x-错误!未找到引用源。.故选

C.
9.已知点 F 是双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的左焦点,

点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABE 是锐角 三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 C.(1,1+错误!未找到D.(2,1+错误!未找到 A.(1,+∞) 【答案】B 【解析】由题意知 F(-c,0),A(-c,错误!未找到引用源。 ),B(-c,-错误!未找到引用源。),E(a,0). ∵△ABE 是锐角三角形,∴错误!未找到引用源。· 错误!未找到引用源。>0,即错误!未找到 · =(-c-a,错误! )· (-c-a,-错误! )>0, 引用源。 错误! 未找到引用源。 未找到引用源。 未找到引用源。
2 则(c+a) -错误!未找到引用源。>0.∵a,b,c>0,∴c+a>错误!未找到引用源。=错误!未找到引 2 2 2 用源。,∴c -ac-2a <0,即 e -e-2<0,解得 e∈(0,2),又 e>1,∴e∈(1,2),故选 B.

B.(1,2) 引用源。) 引用源。)

10.设错误!未找到引用源。为椭圆错误!未找到引用源。与双曲线错误!未找到引用源。

的公共的左右焦点,它们在第一象限内交于点错误!未找到引用源。,△M 错误!未找到引 用源。是以线段错误!未找到引用源。为底边的等腰三角形,且错误!未找到引用源。,若椭 圆错误!未找到引用源。的离心率错误!未找到引用源。 ,则双曲线错误!未找到引用源。 的离心率取值范围是 A.错误!未找到引用 B.[错误!未找到引用C.错误!未找到引用 D.错误!未找到引用 源。 【答案】D 【解析】本题考查椭圆与双曲线的标准方程与几何性质.由题意得△M 错误!未找到引用源。 是以线段错误!未找到引用源。为底边的等腰三角形,且错误!未找到引用源。 ,所以错误! 未找到引用源。 ;而椭圆错误!未找到引用源。的离心率错误!未找到引用源。 ,当错误! 未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。 ,所以双曲线错误! 未找到引用源。的离心率错误!未找到引用源。 ;当错误!未找到引用源。时,错误!未找 到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。 ,所以双曲线错误!未找到引用源。的离心率错误! 未找到引用源。 ;所以双曲线错误!未找到引用源。的离心率错误!未找到引用源。.选 D. 源。,+∞) 源。 源。

11.已知双曲线错误!未找到引用源。的离心率为错误!未找到引用源。 ,右焦点错误!未

找到引用源。到其渐进线的距离为错误!未找到引用源。 ,抛物线错误!未找到引用源。的 焦点与双曲线的右焦点错误!未找到引用源。重合.过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线 于 A、B 两点,正三角形 ABC 的顶点 C 在直线错误!未找到引用源。上,则△ABC 的边长是 A.8 【答案】C 【解析】本题考查双曲线与抛物线的几何性质.由题意得双曲线的右焦点也即抛物线的焦点 为 F(1,0),所以抛物线的方程为 y ? 4 x ;设 AB 的中点为 M,过 A、B、M 分别作 AA1、
2

B.10

C.12

D.14

BB1 、 MN 垂 直 于 直 线 x=-1 于 A1 、 B1 、 N , 设 ∠ AFx= ? , 由 抛 物 线 定 义 知 : |MN| ?

1 1 1 3 (| AA1 | ? | BB1 |) ? | AB | ,∵|MC| ? |MC|,∵∠ | AB | ,∴|MN| ? 2 2 3 2
?

CMN= 90 ? ? ? ,∴ cos ?CMN ? cos(90 ? ? ) ?

1 | MN | 1 ? ,即 sin ? ? , | MC | 3 3

又由抛物线定义知|AF| ?

2 2 4 ? 12 .选 C. ,|BF| ? ,∴|AB| ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin 2 ?

12.已知双曲线错误!未找到引用源。的两条渐近线均与 C:错误!未找到引用源。相切,则

该双曲线离心率等于 A.错误!未找到引用 B.错误!未找到引用 C.错误!未找到引用 D.错误!未找到引用 源。 【答案】A 【解析】本题考查双曲线的几何性质,直线与圆的位置关系.由题意得双曲线的条渐近线为 错误!未找到引用源。 ;圆 C:错误!未找到引用源。;所以圆心到直线的距离错误!未找到引 用源。 ,可得错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ;所以错误!未找到引用源。 . 选 A.
13.双曲线 C 的左右焦点分别为错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。恰为抛物

源。

源。

源。

线错误!未找到引用源。的焦点,设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A,若错误!未找到 引用源。是以错误!未找到引用源。为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为 A.错误!未找到引用 B.错误!未找到引用 C.错误!未找到引用 D.错误!未找到引用 源。 【答案】B 【解析】本题考查抛物线、双曲线的几何性质.由题意得抛物线错误!未找到引用源。的焦 点为(1,0),错误!未找到引用源。;即 c=1;因为错误!未找到引用源。是以错误!未找到引 用源。为底边的等腰三角形,所以错误!未找到引用源。, 解得错误!未找到引用源。 ;所 以可得 A(1,2), 错误!未找到引用源。;即错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。; 所以双曲线 C 的离心率错误!未找到引用源。. 选 B. 二、填空题:共 5 题 每题 5 分 共 25 分
14.已知直线 y=-2 上有一个动点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足 OP⊥

源。

源。

源。

OQ(O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C.若直线 l2 是曲线 C 的一条切线,则当点(0,2)到直线 l2 的 距离最短时,直线 l2 的方程为 .

【答案】错误!未找到引用源。x-y-1=0 或错误!未找到引用源。x+y+1=0 kOP=-1,当 x≠0 时,得错误! 【解析】 设点 P 的坐标为(x,y),则点 Q 的坐标为(x,-2),∵OQ⊥OP,∴kOQ·
2 未找到引用源。· 错误!未找到引用源。=-1,化简得 x =2y,当 x=0 时,P,O,Q 三点共线,不合题意, 2 2 故 x≠0,故曲线 C 的方程为 x =2y(x≠0).由 x =2y,得 y'=x,∵直线 l2 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐

>0,则直线 l2 的方程为 y-y1=x1(x-x1),化简得 x1x-y-y1=0. 标为(x1,y1),其中 y1=错误! 未找到引用源。 点(0,2)到直线 l2 的距离 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引

用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)≥错误!未找到引用源。×2 错误!未 找到引用源。=错误!未找到引用源。,当且仅当错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。,即 y1=1 时,等号成立,此时 x1=±错误!未找到引用源。,∴直线 l2 的方程为错误!未找到 引用源。x-y-1=0 或错误!未找到引用源。x+y+1=0.
15.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB
2

的面积为

.

【答案】错误!未找到引用源。
2 【解析】由题意,抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 l:x=-1,可得 A 点的横坐标为 2,不妨

),则直线 AB 的方程为 y=2 错误! (x-1),与 y2=4x 设 A(2,2 错误! 未找到引用源。 未找到引用源。
2 联 立 得 2x -5x+2=0, 可 得 B( 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ,- 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ), 所 以

S△AOB=S△AOF+S△BOF=错误!未找到引用源。×1×|yA-yB|=错误!未找到引用源。.
16.已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 2 错误!未找到引用源。的直线交抛物线于
2

A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.若 O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若错误! 未找到引用 源。=错误!未找到引用源。+λ 错误!未找到引用源。,则 λ 的值是 【答案】0 或 2 【解析】由题意知直线 AB 的方程是 y=2 错误!未找到引用源。(x-错误!未找到引用源。),
2 2 2 与抛物线方程 y =2px 联立,从而有 4x -5px+p =0,所以 x1+x2=错误!未找到引用源。.由抛物线 2 2 2 定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4, 从而抛物线方程是 y =8x. 由 p=4,4x -5px+p =0 可简化为

.

x2-5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=-2 错误!未找到引用源。,y2=4 错误!未找到引用源。,从而 A(1,-2 错误!未找到引用源。),B(4,4 错误!未找到引用源。).设错误!未找到引用源。=(x3,y3),则由 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+λ 错误!未找到引用源。可得(x3,y3)=(1,-2 错 误!未找到引用源。)+λ(4,4 错误!未找到引用源。)=(4λ+1,4 错误!未找到引用源。λ-2 错误!
2 未找到引用源。).又错误!未找到引用源。=8x3,即[2 错误!未找到引用源。(2λ-1)] =8(4λ+1), 2 即(2λ-1) =4λ+1,解得 λ=0 或 2.

17.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点作倾斜角为 30°的直线 l 与抛物线交于 P,Q 两点,分别过 P,Q

2

两点作 PP1,QQ1 垂直于抛物线的准线于 P1,Q1,若|PQ|=2,则四边形 PP1Q1Q 的面积是 【答案】1

.

【解析】由题知四边形 PP1Q1Q 为直角梯形,|PP1|+|QQ1|=|PQ|=2,|P1Q1|=|PQ|sin30°=1,∴S= 错误!未找到引用源。×|P1Q1|=1.
18.已知抛物线的焦点为椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 的左焦点,

顶点在椭圆中心,则抛物线的方程为
2 【答案】y =-4 错误!未找到引用源。x

.

2 【解析】由 c =9-4=5 得抛物线的焦点坐标为(-错误!未找到引用源。,0),又抛物线的顶点坐标 2 为(0,0),∴抛物线方程为 y =-4 错误!未找到引用源。x.

三、解答题:共 5 题 每题 12 分 共 60 分
19.已知错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。动点 P 满足错误!未找到引用源。,

记动点 P 的轨迹为 E (1)求 E 的方程; (2)曲线 E 的一条切线为 l 过错误!未找到引用源。作 l 的垂线,垂足分别为 M,N,求错误! 未找到引用源。的值;

(3)曲线 E 的一条切线为 l, l 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,求 AB 的最小值,并求此时 切线的斜率. 【答案】(1)可知错误!未找到引用源。又因为错误!未找到引用源。所以点 P 的轨迹是以

F1、F2 为焦点的椭圆.又错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。故椭圆方程为错误!
未找到引用源。 (2)①当切线 l 的斜率不存在时,切线为错误!未找到引用源。此时错误!未找到引用源。 ②当切线 l 的斜率存在时,设切线方程为错误!未找到引用源。 由错误!未找到引用源。化简得错误!未找到引用源。

则错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。

又错误!未找到引用源。

综上,得错误!未找到引用源。

(3)由(2)知错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。当且仅当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。时取等号. 故错误!未找到引用源。的最小值为 3,此时斜率为错误!未找到引用源。

【解析】本题主要考查椭圆的定义,椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系.第一问,结合 椭圆的定义即可求出轨迹方程;第二问对直线的斜率是否存在,分情况讨论;第三问运用两 点的距离公式,对含有 k 的式子,运用基本不等式性质来求最值.
20.设错误!未找到引用源。分别是椭圆错误!未找到引用源。的左、右焦点,

椭圆 C 上的点错误!未找到引用源。到错误!未找到引用源。两点的距离之和等于 4.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上的动点,错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。最大值.

【答案】(1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到错误!未找到引用源。两点的距离 之和是 4,得错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 ,又错误!未找到引用源。在 椭圆上,错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。 ,于是错误!未找到引用源。 所以椭圆 C 的方程是错误!未找到引用源。 (2)设错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。

又错误!未找到引用源。

∴当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。

【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的性质.求标准方程的时候,要注意焦点所在 的位置,第二问是通过椭圆上点,代入椭圆方程,转化为函数求值域问题.
21.已知椭圆 C 的离心率为

2 ,椭圆 C 的右焦点 F2 和抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点重合,椭 2

圆 C 与 y 轴的一个交点为 N ,且 M 是椭圆 C 的右顶点.

(1)求 tan ?NF2 M 的值;

(2)当过点 P (4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A, B 时, 在线段 AB 上取点 Q , 满足 错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。),求点 Q 的轨迹方程.

【 答 案 】 ( Ⅰ ) 由 题 意 解 得 a 2 ? 4, b 2 ? 2 , 所 求 椭 圆 方 程 为 M ?2,0 ? , F2

x2 y 2 ? ? 1 .N(0 , 2 ) , 4 2

?

2 ,0 , tan ?NF2 M = - 1
(错误!未找到引用源。)可得

?

(Ⅱ)由错误!未找到引用源。

AP ? QB ? PB ? AQ ? 0

设点 Q、A、B 的坐标分别为 ( x, y ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) .

??? ? ???? AP AQ ? ? ??? ? ,则 ? ? 0 且 ? ? 1 . 由题可设 ? ? ??? PB QB
又 A,P,B,Q 四点共线,从而 AP ? ?? PB, AQ ? ? QB .

??? ?

??? ? ????

??? ?

于是 4 ?

x1 ? ? x2 y ? ? y2 ,1 ? 1 1? ? 1? ?

x?

x1 ? ? x2 y ? ? y2 ,y? 1 1? ? 1? ?

从而

2 x12 ? ? 2 x2 ? 4 x , ?? (1) 1? ?2

2 y12 ? ? 2 y2 ? y , ?? (2) 1? ?2

又点 A、B 在椭圆 C 上,即

2 2 x12 ? 2 y12 ? 4,?? (3) x2 ? 2 y2 ? 4,?? (4)

(1)+(2)×2 并结合(3),(4)得错误!未找到引用源。,

即点 Q 的轨迹是直线在椭圆内的部分,方程为2x?y??0.

【解析】本题考查椭圆的定义,直线与椭圆的位置关系及线段的定比分点。
22.已知两点错误!未找到引用源。 ,动点错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。

轴上的射影为错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。 . (1)求动点错误!未找到引用源。的轨迹错误!未找到引用源。的方程并讨论轨迹错误!未 找到引用源。的形状;

(2)过点错误!未找到引用源。且斜率为 1 的直线交曲线错误!未找到引用源。于错误!未 找到引用源。两点,若错误!未找到引用源。中点横坐标为错误!未找到引用源。.求实数 错误!未找到引用源。.

【答案】(1)根据题意,两点错误!未找到引用源。 ,动点错误!未找到引用源。在错误!未 找到引用源。轴上的射影为错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。,其中错误!未 找到引用源。

故错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

当错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。表示圆

当错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。表示椭圆

当错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。表示两条平行直线

当错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 表示双曲线

(2)方法一:设错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

则由错误!未找到引用源。

得错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

方法二:设错误!未找到引用源。 未找到引用源。

则直线方程为错误!未找到引用源。 中点为错误!

错误!未找到引用源。

(1)错误!未找到引用源。 (2)

则(1)-(2)得:错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

【解析】本题主要考查圆锥曲线轨迹的求解以及直线与圆锥曲线的位置关系.
23.设椭圆 E: 错误!未找到引用源。过错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。两点,

O 为坐标原点,

(1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒

有两个交点 A,B,且错误!未找到引用源。?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由。

【答案】(1)由题意知:椭圆 E: 错误!未找到引用源。过错误!未找到引用源。 ,错误!未 找到引用源。两点,代入椭圆方程得: 错误!未找到引用源。,解得错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。 椭圆 E 的方程为错误!未找到引用源。 (2)假设存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且错误! 未找到引用源。,

设该圆的切线方程为错误!未找到引用源。,代入椭圆方程得错误!未找到引用源。 消去 y 得错误!未找到引用源。,

即错误!未找到引用源。,

则△=错误!未找到引用源。,

即错误!未找到引用源。



∵错误!未找到引用源。,

∴错误!未找到引用源。,

即错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。

又由①知错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。,因为直线错误!未找到引用源。为圆 心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为错误!未找到引用源。

所求的圆为错误!未找到引用源。

此时圆的切线错误!未找到引用源。都满足错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。,

又当切线的斜率不存在时切线为错误!未找到引用源。

可求得与椭圆错误!未找到引用源。的两个交点为错误!未找到引用源。或错误!未找到 引用源。也满足错误!未找到引用源。 综上, 存在圆心在原点的圆错误!未找到引用源。,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有 两个交点 A,B,且错误!未找到引用源。. 【解析】本题主要考查了椭圆方程和圆的方程.(1)用待定系数法求解;(2)直线与圆锥曲线的 问题通常都会将直线代入圆锥曲线进行求解。


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