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2015高中数学 1.4.3单位圆与诱导公式(2) 课件(北师大版必修4)


高中数学· 必修4· 北师大版

4.3 单位圆与诱导公式(二)

[学习目标] 1.掌握诱导公式1.13~1.14的推导,并能应用解决简单的求

值、化简与证明问题.
2 .对诱导公式 1.8 ~ 1.14 ,能作综合归纳,体会出七组公式 的共性与个性,培养由特殊到一般的数学推理意识和能 力. 3 .继续体

会知识的“发生”、“发现”过程,培养研究问

题、发现问题、解决问题的能力.

[知识链接] 1.2kπ+α(k∈Z),-α,2π-α,π-α,π+α的三角函数值,

等于α的
时 符号看象限 ”!

同名函数值 ,前面加上一个把α看成锐角

原函数值的符号 . 简记为“

函数名不变,

a 2.在直角三角形中,根据正弦、余弦的定义有 sin α=c ,
?π ? b ?π ? a b cos α= ,sin?2-α?= ,cos?2-α?= . c ? ? c ? ? c

根据上述结论,你有什么猜想? 答
?π ? sin?2-α?=cos ? ? ?π ? α;cos?2-α?=sin ? ?

α.

π 3.若 α 为任意角,那么 -α 的终边与角 α 的终边有怎样的对 2 称关系? 答 π 角 α 的终边与2-α 的终边关于直线 y=x 对称.

[预习导引] 1.诱导公式 1.13~1.14 (1)公式
?π ? 1.13:sin?2+α?= ? ?

cos α



?π ? cos?2+α?= ? ?

-sin α

.以-α 替代公式 1.13 中的 α,

可得公式 1.14. (2)公式
?π ? 1.14:sin?2-α?= cos ? ?

α

?π ? ;cos?2-α?= sin ? ?

α

.

2.诱导公式 1.13~1.14 的记忆 π π 余(正)弦 三角函 - α , + α 的正 ( 余 ) 弦函数值, 等于 α 的 2 2 数值, 前面加上一个把 α 看成 锐角时原函数值的符号 , 记 忆口诀为“ 函数名改变,符号看象限 ”.

要点一 利用诱导公式求值 例1 已知
? π? 3 π 3π ? ? cos α+6 = , ≤α≤ ,求 2 ? ? 5 2 ? 2π? sin?α+ 3 ?的值. ? ?

π? π 2π ? 解 ∵α+ =?α+6?+ , 3 ? ? 2
?? ? ? π? π? 2π? π? 3 ? ? ∴sin?α+ 3 ?=sin??α+6?+2?=cos?α+6?=5. ? ? ? ? ? ?? ?

规律方法

利用诱导公式 1.13 和诱导公式 1.14 求值时, 要注意

π 沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系, 注意6+α 与 π π π 3-α,4-α 与4+α 等互余角关系的识别和应用.

跟踪演练 1 解

已知

?π ? sin?6+α?= ? ?

? π? 3 ,求 cos?α-3?的值. 3 ? ?

?π ?π ?? ? ?π ? π? ? ∵cos?α-3?=cos?3-α?=cos?2-?6+α?? ? ?? ? ? ? ? ? ?

?π ? =sin?6+α?= ? ?

3 3.

要点二 例2

利用诱导公式证明恒等式

设 m 是整数且 k=4m+2,若 f(sin x)=sin kx,

求证:f(cos x)=sin kx. 证明 f(cos
?π ? ? ?π ?? ?kπ ? x)=f[sin?2-x?]=sin ?k?2-x??=sin? 2 -kx? ? ? ? ? ?? ? ?

=sin(2mπ+π-kx)=sin(π-kx)=sin kx.

规律方法 诱导公式具有变号、变名的作用,当条件和结论 之间有悬殊,需要变名才能使用上条件或才能实现目标时,

勿忘诱导公式1.13、1.14的作用.

跟踪演练 2 证明

若 f(sin x)=2-cos 2x,求证:f(cos x)=2+cos 2x.
? ?π ?? ?sin? -x?? ? ?2 ??

f(cos x)=f

=2-cos

?π ? ? ? 2?2-x?=2-cos??π-2x??=2+cos ? ?

2x.

再见


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