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2016年浙江工贸职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年浙江工贸职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.直线 3 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为( C ) A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500

2、已知集合 A={2,a-1,a2},B={9,-4,1-a}.如果 A∩B={9},则 a 的值为 ( C )

A. 3

B.—3

C.10

D.—10

3.已知奇函数 f ( x ) 的定义域为[—2,a],若 f ( ?2) ? 3 ,则 f ( a ) 的值为( B ) A.3 B.—3 C.

1 3

D. ?

1 3
( B )

x 4.函数 y ? 1 ? ( ) ( x ? 0) 的反函数是

1 2

A. y ? log2 ( x ? 1) C. y ? log2 ( x ? 1)

(1 ? x ? 2) ( x ? 2)

B. y ? log 2 D. y ? log 2

1 x ?1 1 x ?1

(1 ? x ? 2) ( x ? 2)

5.已知向量 a ? (?1,2) , b ? (2, x) , c ? ( x,?3) ,若 a // b ,则 | c | 等于( D ) A. 10 B.10 C. 5 D.5

6.二项式 (1 ? x ) 7 的展开式中,系数最大的项是( C ) A.第三项 B.第四项 C.第五项 D.第四项或第五项

7.已知平面 ? , ? 都垂直于平面 ? ,且 ? ? ? ? a , ? ? ? ? b. 给出下列四个命题:

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①若 a

? b, 则? ? ? ;②若 a // b, 则? // ? ;③若 ? ? ? , 则a ? b ;④若
( A ) B.3 C.2 D.1

? // ? , 则a // b .
其中真命题的个数为 A.4

1 0. 5

2 1

8. 在如图所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列, 每一列成等比数列,则 a+b+c 的值为 ( D ) A.4B.3 C.2 9. 已知椭圆 心率为( A D.1

a b c

x2 y 2 a2 2 2 ? ? 1( a ? b ? 0) x ? y ? 与双曲线 有相同的焦点,则椭圆的离 a 2 b2 4
)

A.

2 2

B.

1 2

C.

6 3

D.

6 6

10

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已知 x

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?x ? y ? 6 ? 0 ? y 满足 ? x ? y ? 0 若z ? ax ? y 的最大值为 3a ? 9 ,最小值为 3a ? 3, ?x ? 3 ?
B

则 a 的范围为( C ) A
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a ?1

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a ? ?1

C

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?1 ? a ? 1

D

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a ? 1或a ? ?1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 11.二项式 ( x ?

2 6 ) 的展开式中常数项的值为____60____. x

12.椭圆 ?

? x ? 2 cos? 7 3 的左焦点到右准线的距离为 3 ? y ? sin?

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13.如图,线段 AB 在平面 ? 内,线段 AC ? ? ,线段 BD ? AB ,线段 DD? ? ? ,

AB ? 3, AC ? BD ? 4, CD ? 5 则 BD 与平面 ? 所成的角的大小为 30 ? ;
14.某单位有六个科室,现从人才市场招聘来 4 名新毕业的大学生,现要将这四名大 学生安排到其中的两个科室且每科室 2 名,则不同的安排方案种数为 90 (用数字作 答). 三、解答题:本大题共 6 小题,每小题 14 分,共 84 分。解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤。 15.已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1)求 f (? ) 的值; (2)求函数 f ( x) 的最大值及相应的 x 的集 合; (3)画出函数 f ( x ) 在 [ ? 像; 解:(1) f (? ) ?
?

y

?
6

) cos x ,

1

, ? ] 内的图 12 12

? 11

? 12

O

x

1 ; 2

(2) f ( x) ? sin( x ?

?
6

) cos x ?

3 1 sin x cos x ? cos 2 x 2 2

?

? 1 3 1 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? …………………………………4 分 6 4 4 4 4 2

当 2x ?

?
?
6

?

?
2

? 2k? (k ? Z ) 时, f ( x) 的最大值为

3 ,此时 x 的集合为 4

{x x ?

6

? k? (k ? Z )} …8 分

(3)列表:

2x ?

? 6

0

? 2

?

3? 2

2?

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x
f ( x)
?

? 12
1 4

? 6
3 4

5? 12
1 4

2? 3
? 1 4

11? 12
1 4

描点:连线:(略)……………………………………………………14 分

1 1 16 设 Sn 是首项为 4, 公差 d?0 的等差数列{ an}的前 n 项和,若 S3 和 S4 的等比中项 3 4 1 为 S5.求: 5
(1){ an}的通项公式 an; (2)使 Sn> 0 的最大 n 值. 解:由条件得:
2 S3S4 S5 ? , 12 25

…………4 分

1 ∵Sn = a1n + n(n – 1)d, 2
∴ (12 ? 5d )d ? 0 , ∵d ? 0 ,得 d ? ? ∴an =

12 , 5

? 12n ? 32 . 5

………………9 分

(2)由 an =

? 12n ? 32 ?0, 5

8 得 n ? , ∴n = 2 时, Sn 取最大值, 3
∴使 Sn> 0 的最大 n 的值为 4. ……………… 14 分

17.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 底面边长为 2,AA1=4,点 E 在 AA1 上,AC 与 BD 交于点 O; (1)若 EA=2,求证:A1C//平面 EBD; (2)若 EA=3,求二面角 A—DE—B 的正切值;

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(3)在 AA1 上是否存在点 E,使异面直线 EB 与 AC 所成的角为 300?若存在,试确 定 E 点的位置,否则说明理由。 解:(1)证明 A1C//EO 即可; (2)

13 3

(3)不存在,可用向量法;

18.经统计,某大医院一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下: 排队人 数 概 率 (1) 每天不超过 20 人排队结算的概率是多少? (2) 一周 7 天中,若有 3 天以上(含 3 天)出现超过 15 人排队结算的概率大于 0.75, 医院就需要增加结算窗口,请问该医院是否需要增加结算窗口? 解:(1)每天不超过 20 人排队结算的概率为:P=0.1+0.5+0.25+0.25=0.75,即不超过 20 人排队结算的概率为 0.75.------------4 分 (2)每天超过 15 人排队结算的概率为:0.25+0.2+0.25= 0— 5 0.1 6— 10 0.15 11— 15 0.25 16— 20 0.25 21— 25 0.2 25 人以 上 0.05

1 ,-------------8 分 2 1 7 ); 2 1 1 )( )7; 2 2 1 2 1 5 )( ); 2 2

一周 7 天中,没有出现超过 15 人排队结算的概率为 C 0 7 (

一周 7 天中,有一天出现超过 15 人排队结算的概率为 C 1 7 (
2 一周 7 天中,有二天出现超过 15 人排队结算的概率为 C 7 (

所以有 3 天或 3 天以上出现超过 15 人排队结算的概率为:

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1-[C 0 7(

1 7 1 1 1 6 2 1 2 1 5 99 ) +C 7 ( )( ) +C 7 ( ) ( ) ]= >0.75,---------13 分 128 2 2 2 2 2

所以,该医院需要增加结算窗口.--------------14 分 19.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d在x ? 0 处取得极值,曲线 y ? f ( x) 过原点 O (0,0)和点 P(-1,2),若曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线 l 与直线 y ? 2 x 的夹角为 45°,且

l 的倾斜角为钝角.
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间[2m-1,m+1]上是增函数,求 m 的取值范围. 解:(I)∵曲线 y ? f ( x ) 过原点,所以 d=0;

? f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, 且x ? 0是f ( x)的极值点 , ? f ?(0) ? 0,? c ? 0.
∵过点 P(-1,2)的切线 l 的斜率为 f ?(?1) ? 3a ? 2b,

2 ? f ?( ?1) 1 |? 1,? f ?( ?1) ? ?3, f ?( ?1) ? 1 ? 2 f ?( ?1) 3 1 ? l的 倾 斜 角 为 钝 角 ,? f ?( ?1) ? 舍 去. 3 ? f ( ?1) ? 2, ?? a ? b ? 2, ?a ? 1, 由? 得? ?? ? f ?( ?1) ? ?3, ?3a ? 2b ? ?3 ?b ? 3. 由夹角公式得 |

? f ( x ) ? x 3 ? 3 x 2 (a,b,c,d 每求对一个得 2 分,共 8 分)
(II)? f ?( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 x( x ? 2),

令f ?( x) ? 0, 即3 x( x ? 2) ? 0,? x ? 0或x ? ?2.
? f ( x )的 增 区 间 为 ( ? ?. ? 2]和[0,? ?);? ? ? ? ? ? ?10分 ? f ( x )在[2m ? 1, m ? 1]上 是 增 函 数 , ? [2m ? 1, m ? 1] ? ( ? ?,?2]或[2m ? 1, m ? 1] ? [0,? ?);? ? ? ? ?12分 ? m ? 1 ? ?2 ? 2m ? 1 ? 0 ?? 或? ? 2m ? 1 ? m ? 1 ? 2m ? 1 ? m ? 1
? m ? ?3或 1 ? m ? 2. ——————————14 分 2

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20.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知点 M (1, ?3) , N (5,1) ,若点 C 满足

??? ? ???? ? ???? OC ? tOM ? (1 ? t )ON (t ? R) ,点 C 的轨迹与抛物线 y 2 ? 4x 交于 A、B 两点;
(1)求点 C 的轨迹方程; (2)求证: OA ? OB ; (3)在 x 轴正半轴上是否存在一定点 P(m,0) ,使得过点 P 的任意一条抛物线的弦的 长度是原点到该弦中点距离的 2 倍,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设 C ( x, y) ,由 OC ? tOM ? (1 ? t )ON 知,点 C 的轨迹为 y ? x ? 4 …2 分

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

????

(2)由 ?

?y ? x ? 4 消 y 得: x2 ? 12 x ? 16 ? 0 2 y ? 4 x ?

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 x2 ? 16 , x1 ? x2 ? 12 ………………………………5 分 所以 y1 y2 ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ?16 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,于是 OA ? OB ………………7 分 (3)假设存在过点 P 的弦 EF 符合题意,则此弦的斜率不为零,设此弦所在直线的方 程为 x ? ky ? m

??? ?

??? ?

由?

? x ? ky ? m 消 x 得: y 2 ? 4ky ? 4m ? 0 ,设 E ( x3 , y3 ) , F ( x4 , y4 ) , 2 ? y ? 4x

则 y3 ? y4 ? 4k , y3 y4 ? ?4m ……………………10 分 因为过点 P 作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的 2 倍,所以 OE ? OF 即

??? ?

??? ?

x3 x4 ? y3 y4 ? 0

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所以

y32 y4 2 ? y3 y4 ? 0 得 m ? 4 ,所以存在 m ? 4 ……………………………………14 分 16


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