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上海交通大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明


上海交通大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的)
1

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

/>
1

1. “用反证法证明命题“如果 x<y,那么 x
1

5

< y 5 ”时,假设的内容应该是(
1

)

1

1

A. x 5 = y 5
1

B. x
1

5 1

<y5
1
1

1

1

1

C. x 5 = y 5 且 x 5 < y 5 【答案】D

D. x 5 = y 5 或 x 5 > y 5 ) D.归纳推理
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2. “所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理属于( A.演绎推理 【答案】A B.类比推理 C.合情推理

3.用反证法证明命题: “如果 a ? b ? 0 ,那么 a ? b ”时 ,假设的内容应是(
2 2

)

A. a ? b
2

2

B. a ? b
2 2

2

C. a ? b
2

2

D. a ? b 且 a ? b
2 2

2

【答案】C 4. 用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度” 时, 下列假设正确的是( A. 假设三内角都不大于 60 度 C. 【答案】C 5.用反证法证明命题: a , b , c , d ? R , a ? b ? 1 , c ? d ? 1 ,且 a c ? b d ? 1 ,则 a , b , c , d 中至 “ 少有一个负数”时的假设为( A. a , b , c , d 中至少有一个正数 C. a , b , c , d 中至多有一个负数 【答案】D 1 1 1 6.设 x,y,z 都是正实数,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a,b,c 三个数( y z x A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 【答案】C
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)

B. D.

假设三内角至多有一个大于 60 度 假设三内角至多有两个大于 60 度

假设三内角都大于 60 度

) B. a , b , c , d 全为正数 D. a , b , c , d 全都大于等于 0

)

7.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 【答案】B A. a, b, c 都是奇数 B. a, b, c 都是偶数 B.假设三内角都大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度

)

8. 用反证法证明某命题时,对某结论: “自然数 a, b, c 中恰有一个偶数” ,正确的假设为(

)

C. a, b, c 中至少有两个偶数 D. a, b, c 中至少有两个偶数或都是奇数 【答案】D 9.对“a,b,c 是不全相等的正数” ,给出两个判断:① ( a ? b ) ? ( b ? c ) ? ( c ? a ) ? 0 ;②
2 2 2

a ? b , b ? c , c ? a 不能同时成立,下列说法正确的是(

)

A.①对②错 C.①对②对 【答案】A 10.用反证法证明命题“若 a ? b
2 2

B.①错②对 D.①错②错

? 0 ,则 a , b 全为 0”其反设正确的是(

)

A. a , b 至少有一个不为 0 C. a , b 全不为 0 【答案】A 11.设 m ?
a ? a ? 5,n ? a ? 2 ?

B. a , b 至少有一个为 0 D. a , b 中只有一个为 0

a ? 3 ,则有(

)

A. m ? n C. m ? n 【答案】C

B. m ? n D. m , n 的大小不定

12.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f ( n ) 个区域,则 f ( n ) 的表达式为(
n ? n ? 2
2

)

A. n ? 1 【答案】C

B. 2 n

C.

D. n ? n ? 1
2

2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.如图,若射线 OM,ON 上分别存在点 M 1 , M 2 与点 N 1 , N 2 ,则三角形面积之比
S ?OM S ?OM
1N1

?

OM OM

1 2

?

ON1 ON
2

.若不在同一平面内的射线 OP,OQ 上分别存在点 P1 , P2 ,点 Q 1 , Q 2 和点 。

2

N

2

R1 , R 2

,则类似的结论

【答案】

VO?PQ
1

1 R1

?

OP 1 OP 2

?

OQ OQ

1 2

?

OR OR

1 2

VO?P

2Q 2

R2

14.若数列 { a n } 的各项按如下规律排列:
2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n ?1 n ?1 n ?1 , , , , , , , , , ,? , ,? , ? , 则 a 2012 ? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n



【答案】

64 59

15.若三角形内切圆的半径为 r ,三边长为 a, b, c ,则三角形的面积等于 S

?

1 2

r (a ? b ? c)



根据类比推理的方法,若一个四面 体的内切球的半径为 R ,四个面的面积分别是 . S 1, S 2, S 3, S 4 ,则四面体的体积 V ? 【答案】
1 3 R ( S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 )

16.在平面几何中,已知“正三角形内一点到三边的距离和是一个定值” ,类比到空间中,写出你 认为合适的结论_______________________________ __ 【答案】正四面体内的一点到四个面的距离之和是一个定值 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.祖暅原理也就是“等积原理” ,它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提 出来的. 祖暅原理的内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面 的平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句 “两个胖子一般高,平行地面刀刀切,刀刀切出等面积,两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式,关键是要构造一个参照体. 试用祖暅原理推导球的体积公式.

【答案】 我们先推导半球的体积. 为了计算半径为 R 的半球的体积, 我们先观察 V 圆 锥 、 半 球 、 圆 柱 V V 这三个量(等底等高)之间的不等关系,

可以发现 V 圆 锥 < V 半 球 < V 圆 柱 ,即
V半 球 ? 2 3

1 3

? R ? V半 球 ? ? R
3

3

,根据这一不等关系,我们可以猜测 .

?R

3

,并且由猜测可发现 V 半 球

? V圆 柱 ? V圆 锥

下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体, 这样的参照体我们可以用圆柱内挖 去一个圆锥构造出,如右图所示. 下面利用祖暅原理证明猜想.

证明: 用平行于平面α 的任意一个平面去截这两个几何体, 截面分别为圆面和圆环面. 如果截平 面与平面α 的距离为 l ,那么圆面半径 r ? 因此 S 圆 ? ? r 2 ? ? ( R 2 ? l 2 ) , S 环 ? ? R 2 ? ? l 2
R
2

?l

2 2

? ? (R

,圆环面 的大圆半径为 R,小圆半径为 r. 2 ?l ), ∴ S圆 ? S 环 .

根据祖暅原理, 这两个几何体的体积相等,即 V 半 球 所以 V 球
? 4 3
2

? ? R ?R ?
2

1 3

? R ?R ?
2

2 3

?R

3



?R

3

.
π 2

18.已知 a,b,c 均为实数,且 a = x ? 2 y + a,b,c 中至少有一个大于 0.

,b = y ? 2z +
2

π 3

,c = z ? 2 x +
2

π 6

,求证:

【答案】假设 a,b,c 都不大于 0 ,即 a≤0,b≤0,c≤0,得 a+b+c≤0, 而 a+b+c=(x-1) +(y-1) +(z-1) +π -3>0, 即 a+b+c>0,与 a+b+c≤0 矛盾,故假设 a,b,c 都不大于 0 是错误的, 所以 a,b,c 中至少有一个大于 0. 19.已知 : x , y , z ? ( 0 ,1 ). 求证 : (1 ? x ) y , (1 ? y ) z , (1 ? z ) x 不可能都大于 【答案】假设三个式子都大于 即(1-x)y >
1 4 1 4
2 2 2

1 4

.
[来源:www.shulihua.net]


1 4

, (1-y)z>

, (1-z)x>

1 4

,

三个式子相乘得: (1-x)y · (1-y)z·(1-z)x> ∵0<x<1 ∴x(1-x)≤(
1 4

1 4
3

① ) = ,
1 4
3

x ?1? x 2

2

1 4

同理:y(1-y)≤

,

z(1-z)≤

1 4

∴(1-x)y · (1-y)z·(1-z)x≤



显然①与②矛盾,所以假设是错误的,故原命题成立. 20.已知 ? 、 ? ? ( 0 ,
?
2 ) ,且 ? ? ? ?

?
2

, f (x) ? (

cos ? s in ?

) ? (
x

cos ? s in ?

) .

x

求证:对于 x ? 0 ,有 f ( x ) ? 2 . 【答案】? ? ? ? ?
? y ? sin x 在 ( 0 ,

?
2

,? ? ?

?
2

? ? ; ? ? 、 ? ? (0,

?
2

) ,?

?
2

? ? ? (0,

?
2

);

?
2

) 上为增函数, y ? cos x 在 ( 0 ,

?
2

) 上为减函数,

? sin ? ? sin(

?
2

? ? ) ? cos ? , cos ? ? cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ,

又 sin ? ? 0 , sin ? ? 0 ? 0 ?

cos ? sin ?

? 1, 0 ?

cos ? sin ?

? 1,

[来源:www.shulihua.net

? y ? a ( 0 ? a ? 1 ) 在 R 上为减函数,且 x ? 0 ? (
x

cos ? sin ?

)

x

? 1, (

cos ? sin ?

)

x

?1,

从而 f ( x ) ? (

cos ? sin ?

)

x

? (

cos ? sin ?

)

x

? 2

21. 有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的 a,b,c,?,z 的 26 个字母(不分大小写), 依次对应 1,2,3,?,26 这 26 个自然数,见如下表格:

给出如下变换公式:
?x ?1 ( x ? N ,1 ? x ? 26 , x 不能被 2 整除 ) ? ? 2 ? ? ? x ? 13 ( x ? N ,1 ? x ? 26 , x 能被 2 整除 ) ?2 ?

X

'

8 5+1 将明文转换成密文,如 8→ +13=17,即 h 变成 q;如 5→ =3,即 e 变成 c. 2 2 ①按上述规定,将明文 good 译成的密文是什么? ②按上述规定,若将某明文译成的密文是 shxc,那么原来的明文是什么? 【答案】①g→7→ 7+1 =4→d; 2 15+1 o→15→ =8→h; 2 d→o;

则明文 good 的密文为 dhho ②逆变换公式为

[来源:www.shulihua.net]

? 2 x ? 1 ( x ? N ,1 ? x ? 13 ) ? x ? ? ' ' ' ? 2 x ? 26 ( x ? N ,14 ? x ? 26 ) ?
' ' '

则有 s→19→2×19-26=12→l; x→24→2×24-26=22→v; 故密文 shxc 的明文为 love 22.已知函数 f ( x ) ? a
x

h→8→2×8-1=15→o;

c→3→2×3-1=5→e
x ? 2 x ?1

?

, ( a ? 1 ) ,用反证法证明:方程 f ( x ) ? 0 没有负实数 根.

【答案】假设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0, 则a
x0

=-

x0 ? 2 x0 ? 1 x0 ? 2 x0 ? 1

,且 0< a

x0

<1,

所以 0<-

<1,即

1 2

<x0<2.

与假设 x0<0 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根.


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