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第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质


第 4 讲 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及性质
一、选择题 π? ? 1.已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0)的最小正周期为 π ,则该函数的图像 3? ? ( ) π ?π ? A.关于点? ,0?对称 B.关于直线 x= 对称 4 ?3 ? π ?π ? C.关于点? ,0?对称 D.关于直线 x= 对称 3 ?4 ? π? ? ?π

? 解析 由已知,ω =2,所以 f(x)=sin?2x+ ?,因为 f? ?=0,所以函数 3? ? ?3? ?π ? 图像关于点? ,0?中心对称,故选 A. ?3 ? 答案 A 2.要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图像,只要将函数 y ? cos 2 x 的图像( A. 向左平移 1 个单位 C. 向左平移
1 2



B. 向右平移 1 个单位 D.向右平移

1 个单位 2 1 1 解析 因为 y ? cos(2 x ? 1) ? cos(2(x ? ) ,所以将 y ? cos 2x 向左平移 个单位, 2 2

个单位

故选 C. 答案 C π 3. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<2的部分图 π 象如图所示,则将 y=f(x)的图象向右平移6个单位 后,得到的图象对应的函数解析式为 ( A.y=sin 2x 2π? ? C.y=sin?2x+ 3 ? ? ? 解析 B.y=cos 2x π? ? D.y=sin?2x-6? ? ? ).

3 11π π 3π 2π 由所给图象知 A= 1,4T = 12 -6= 4 , T = π,所以 ω = T =2,由

π π? π π π π ? ? ? sin?2×6+φ?=1,|φ|<2得3+φ=2,解得 φ=6,所以 f(x)=sin?2x+6?,则 f(x) ? ? ? ?

π? π ? =sin?2x+6?的图象向右平移6个单位后得到的图象对应的函数解析式为 y= ? ? π? ? ? π? π? x-6?+ ?=sin? 2x-6?,故选 D. ? sin?2? ? 6? ? ? ? ? 答案 D 4.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函 数,则 φ 的最小值为 π A.6 π B.3 π C.4 π D.12 ( ).

解析 将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 φ 个单位,得到函数 y=sin 2(x+φ) π π =sin(2x+2φ)的图象,由题意得 2φ=2+kπ(k∈Z),故 φ 的最小值为4. 答案 C 5. 如图,为了研究钟表与三角函数的关系, 建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置 ? 3 1? P(x,y).若初始位置为 P0? , ?,当秒 ? 2 2? 针从 P0(注:此时 t=0)正常开始走时,那 么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为 ( π? ?π A.y=sin?30t+6? ? ? π? ? π C.y=sin?-30t+6? ? ? ). π? ? π B.y=sin?-60t-6? ? ? π? ? π D.y=sin?-30t-3? ? ?

π 解析 由题意可得,函数的初相位是6,排除 B,D.又函数周期是 60(秒)且秒 π π ?2π? 针按顺时针旋转,即 T=? ω ?=60,所以|ω|= ,即 ω=- ,故选 C. 30 30 ? ? 答案 C 6 . 电 流 强 度 I( 安 ) 随 时 间 t( 秒 ) 变 化 的 函 数 I = Asin(ω t + φ )(A>0 , ω >0,0<φ < 强度是( π 1 )的图像如图所示,则当 t= 秒时, 2 100 ) B.5 安 电流

A.-5 安

C.5 3安 解析 ∴T=

D.10 安

T 4 1 1 由函数图像知 A=10, = - = . 2 300 300 100
1 2π = ,∴ω =100π . 50 ω

∴I=10sin(100π t+φ ). ? 1 ? ,10?在图像上, 又∵点? ?300 ? 1 ? ? +φ ? ∴10=10sin ?100π × 300 ? ? ∴ π π π +φ = ,∴φ = , 3 2 6

π? ? ∴I=10sin ?100π t+ ?. 6? ? 当 t= 答案 1 π? 1 ? + ?=-5. 时,I=10sin ?100π × 100 6? 100 ? A

二、填空题 π π? ? 7.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ ≤ ?的图像上的两个相邻的 2 2? ? 最高点和最低点的距离为 2 2,则 ω =________. 解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 2,而 f(x)max-f(x)min=2,

由勾股定理可得 = 2 答案 π 2

T

2

2

-22=2,∴T=4,∴ω =



T



π . 2

π? ? 8.已知函数 f(x)=3sin?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完 ? ? π? ? 全相同,若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是________. ? ? 解析 ∵f(x)与 g(x)的图象的对称轴完全相同, ∴f(x)与 g(x)的最小正周期相等, π? π π π 5π ? ∵ω>0,∴ω=2,∴f(x)=3sin?2x-6?,∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤ 6 ,∴ ? ?

π? π? 1 3 ? ? ? 3 ? -2≤sin?2x-6?≤1,∴-2≤3sin?2x-6?≤3,即 f(x)的取值范围是?-2,3?. ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 答案 ?-2,3? ? ? ?π 5π? 9.已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若?8, 8 ?是 f(x)的一个单调递增区间, ? ? 则 φ 的值为________. π 3π π φ 3π φ 解析 令2+2kπ≤2x+φ≤ 2 +2kπ,k∈Z,k=0 时,有4-2 ≤x≤ 4 - 2 ,此 ?π 5π? 时 函 数 单 调 递 增 , 若 ?8, 8 ? 是 f(x) 的 一 个 单 调 递 增 区 间 , 则 必 有 ? ? π φ π ? ?4-2≤8, ?3π φ 5π ? ? 4 -2 ≥ 8 , π φ ≥ ? ? 4, 解得? π ? ?φ≤4, π 答案 4 10.在函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的一个周期内,当 x= π 时有最 9

π 故 φ=4.

π? 1 4π 1 ? 大值 ,当 x= 时有最小值- ,若 φ ∈?0, ?,则函数解析式 f(x)= 2? 2 9 2 ? ________. 解析 1 π 1 4π 首先易知 A= ,由于 x= 时 f(x)有最大值 ,当 x= 时 f(x)有最 2 9 2 9

π 1 2π 1 ?4π π ? ? ? 1 - ?×2= 小值- ,所以 T=? ,ω =3.又 sin?3× +φ ?= ,φ ∈ 9? 9 2 3 2 ? 9 ? ? 2 π? π? π 1 ? ? ?0, ?,解得 φ = ,故 f(x)= sin?3x+ ?. 2? 6? 6 2 ? ? 答案 π? 1 ? sin?3x+ ? 6? 2 ?

三、解答题

11.已知函数 f(x)= 3sin2x+2cos2x. (1)将 f(x)的图像向右平移 π 个单位长度, 再将周期扩大一倍, 得到函数 g(x) 12

的图像,求 g(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间. 解 (1)依题意 f(x)= 3sin2x+2· cos2x+1 2

= 3sin2x+cos2x+1 π? ? =2sin?2x+ ?+1, 6? ? 将 f(x)的图像向右平移 π? π? π ? ? 个单位长度,得到函数 f1(x)=2sin?2?x- ?+ ? 12? 6 ? 12 ? ?

+1=2sin2x+1 的图像, 该函数的周期为 π , 若将其周期变为 2π , 则得 g(x) =2sinx+1. (2)函数 f(x)的最小正周期为 T=π , 当 2kπ - π π π ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)时,函数单调递增, 2 6 2 π π ≤x≤kπ + (k∈Z), 3 6

解得 kπ -

π π? ? ∴函数的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 3 6? ? A 12.已知向量 m=(sin x,1),n=( 3Acos x,2 cos 2x)(A>0),函数 f(x)=m· n 的最 大值为 6. (1)求 A; (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 π 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩 12

5π? 1 ? 短为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在?0,24?上 ? ? 的值域. A 解 (1)f(x)=m· n= 3Asin xcos x+ 2 cos 2x π? ? 3 ? 1 ? =A? sin 2x+ cos 2x?=A sin?2x+6?. ? ? 2 ?2 ?

因为 A>0,由题意知 A=6. π? ? (2)由(1)知 f(x)=6sin?2x+6?. ? ? π 将函数 y=f(x)的图象向左平移12个单位后得到 π ? π? π? ? ? x+12?+ ?=6sin? 2x+3?的图象; ? y=6sin?2? ? 6? ? ? ? ? 1 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y = π? ? 6sin?4x+3?的图象. ? ? π? ? 因此 g(x)=6sin?4x+3?. ? ? 5π? π ?π 7π? ? 因为 x∈?0,24?,所以 4x+3∈?3, 6 ?, ? ? ? ? 5π? ? 故 g(x)在?0,24?上的值域为[-3,6]. ? ? x π ? x π? 13.已知函数 f(x)=2 3sin2+4cos?2+4?-sin(x+π). ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区 间[0,π]上的最大值和最小值. ? π? 解 (1)因为 f(x)= 3sin?x+2?+sin x ? ? ? 3 ? 1 = 3cos x+sin x=2? cos x+ sin x? 2 ?2 ? ? π? =2sin?x+3?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π. π (2)∵将 f(x)的图象向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图象, ? π? ? π? π ∴g(x)=f?x-6?=2sin[?x-6?+3] ? ? ? ? ? π? =2sin?x+6?. ? ?

π ?π 7π? ∵x∈[0,π],∴x+6∈?6, 6 ?, ? ? π π π ? π? ∴当 x+6=2,即 x=3时,sin?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ? ? π 7π 1 ? π? 当 x+6= 6 ,即 x=π 时,sin?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. ? ? π? 2 ? 14.设函数 f(x)= 2 cos?2x+4?+sin2x. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π? 1 ? π? ? (2)设函数 g(x)对任意 x∈R,有 g?x+2?=g(x),且当 x∈?0,2?时,g(x)= - 2 ? ? ? ? f(x).求 g(x)在区间[-π,0]上的解析式. 解 (1)f(x)= π? 2 ? cos?2x+4?+sin2x 2 ? ?

π π? 1-cos 2x 2? = 2 ?cos 2x cos4-sin 2x sin4?+ 2 ? ? 1 1 =2-2sin 2x, 故 f(x)的最小正周期为 π. π? 1 1 ? (2)当 x∈?0,2?时,g(x)=2-f(x)=2sin 2x,故 ? ? π? π ? ? π ? ①当 x∈?-2,0?时,x+2∈?0,2?. ? ? ? ? ? π? 由于对任意 x∈R,g?x+2?=g(x), ? ? ? π? 1 ? ? π?? 从而 g(x)=g?x+2?=2sin?2?x+2?? ? ? ? ? ?? 1 1 =2sin(π+2x)=-2sin 2x. π? π? ? ? ②当 x∈?-π,-2?时,x+π∈?0,2?. ? ? ? ? 1 1 从而 g(x)=g(x+π)=2sin[2(x+π)]=2sin 2x. 综合①、②得 g(x)在[-π,0]上的解析式为

π? 1 ? - π ,- ? ? sin 2 x , x ∈ , ?2 2? ? ? g(x)=? 1 ? π ? ?-2,0?. - sin 2 x , x ∈ ? ? 2 ? ?


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