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北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考 理科数学


北师特学校 2012—2013 年度第一学期第四次月考 理科数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1、已知集合 M ? { y | y ? x 2 } , N ? { y | x 2 ? y 2 ? 2} ,则 M ? N =( A、 {(1, 1), (?1, 1)} 【答案】D
2 【解析】 M ? { y | y ? x } ? { y y ? 0}, N ? { y | x ? y ? 2} ? { y ? 2 ? y ?
2 2



B、 {1}

C、 [0, 1]

D、 [0,

2]

2} ,所以

M ? N ? { y 0 ? y ? 2},选 D.
2、已知复数

1? z ? i ,则 z 的虚部为( 1? z
B、 ? 1 C、 i

) D、 ? i

A、1 【答案】A











1? z ?i 1? z



1 ? Z ? (1 ? Z )i





Z? ? a

b , i则

1? a

? b i(? 1

?a

?1 ? a ? b ?a ? 0 ? ? a b ?)b i (?i 1 ? 1 ?a ??i ,解得 ?b ? 1 ,所以虚部为 1,选 A. b ,所以 ? )

3、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为 1 ,等 腰三角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积是 A. ( D. )

4? 3

B. 2?

C.

8? 3

10? 3

【答案】A 【解析】由三视图可知,该几何体上部分是一个圆锥,下部分是个半球,球半径为 1,圆锥的
-1-

1 2 2 ( 5)2 ? 1 ? 4 ? 2 ,所以圆锥的体积为 ? ? ? 2 ? ? ,半球的体积为 ? ,所 3 3 3 2? 2? 4? ? ? 以几何体的总体积为 ,选 A. 3 3 3 4、方程 x2 ? xy ? x 的曲线是 ( )
高为 h ? A.一个点 【答案】C 【解析】由 x2 ? xy ? x 得 x( x ? y ? 1) ? 0 ,即 x ? 0或x ? y ? 1 ? 0 ,为两条直线,选 C. 5、已知正项数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a 2 ? 2 , 2an 2 ? an?12 ? an?12 (n ? 2) ,则 a6 等于 (A)16 【答案】D 【解析】由 2an 2 ? an?12 ? an?12 (n ? 2) 可知数列 (B)8 (C) 2 2 (D)4 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线

{an 2 } 是等差数列,且以 a12 ? 1 为首项,公差

d ? a22 ? a12 ? 4 ?1 ? 3 , 所 以 数 列 的 通 项 公 式 为 an2 ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2 , 所 以 a62 ? 3? 6 ? 2=16 ,即 a6 ? 4 。选 D.
x2 y 2 6、已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 a b
M , N 两点, O 为坐标原点.若 OM ? ON ,则双曲线的离心率为
(A) 【答案】D 【解析】由题意知三角形 OMN 为等腰直角三角形,所以 MF ? OF ? c ,所以点 M (c, c) ,

?1 ? 3 2

(B)

1? 3 2

(C)

?1 ? 5 2

(D)

1? 5 2

代入双曲线方程

c2 c2 c2 y 2 b2 b2 ? 2 ? 1 ,当 x ? c 时, 2 ? 2 ? 1 ,得 y ? ,所以由 y ? ?c, a2 b a b a a
2

2 2 2 2 的 b ? ac ,即 c ? a ? ac, c ? ac ? a ? 0 ,所以 e ? e ? 1 ? 0 ,解得离心率 e ?
2

1? 5 , 2

-2-

选 D. 7、 ABC 外接圆的半径为 1 , △ 圆心为 O , 2O ? B ?C 且 A A A 等于 (A) 【答案】C 【 解 析 】 由 2OA ? AB ? AC ? 0 得 OA ? AB ? OA ? AC ? OB ? OC ? 0 , 所 以

?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?

?? ?? ?? ??? ??? ? ? 则 A ?B ? 0 , | OA |?| AB | , C C

3 2

(B) 3

(C) 3

(D) 2 3

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

??? ??? ? ?

?

??? ? ??? ??? ? ? ? OB ? ?OC ? CO , O 时 BC 的中点, 即 所以 BC 为外接圆的直径, BC ? 2 。 ?BAC ? 90 , 则
??? ??? ? ? OA ? AB ,所以 ?ABO 为正三角形,所以 ?ABO ? 60? , ?ACB ? 30? ,且 AC ? 3 , 因为

CB 所以 CA? ? CA ?CB cos30 ? 2 ? 3 ?
?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

3 ? 3 ,选 C. 2
( x ? 2) ( x ? 2)
) ,则 f (x) 的图像与直线 y ? 1 的交点为

? 1 ? 8、定义在 R 上的函数 f ( x ) ? ? x ? 2 ?1 ?

( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) 、 ( x3 , y3 ) 且 x1 ? x2 ? x3 ,则下列说法错误的是(
2 2 2 A、 x1 ? x2 ? x3 ? 14

B、 1 ? x2 ? x 3 ? 0

C、 x1 ? x3 ? 4

D、 x1 ? x3 ? 2x2

【答案】D 【解析】由

1 ?1 x?2
,得

x ? 2 ?1
,解得

x ?1


x?3
, 当

x?2


y ? 1 。又 x1 ? x2 ? x3 ,

所以

x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 3 ,所以 x1 ? x3 ? 4 ? 2 x2 ,所以 D 错误,选 D.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

-3-

9 、 已 知 点 P(2, t ) 在 不 等 式 组 ?

? x ? y ? 4 ? 0, 表 示 的 平 面 区 域 内 , 则 点 P(2, t ) 到 直 线 ?x ? y ? 3 ? 0

3x ? 4 y ? 10 ? 0 距离的最大值为____________.
【答案】4 【解析】 因为点 P(2, t ) 可行域内, 所以做出可行域, 由图象可知当当点 P 位于直线 x ? y ? 3 ? 0 时,即 P(2,1) ,此时点 P 到直线的距离最大为 d ?

3 ? 2 ? 4 ?1 ? 10 32 ? 42

?

20 ? 4。 5

10、在△ ABC 中,若 ?B ? 【答案】 7?

π , b ? 2a ,则 ?C ? 4



12
a b 1 a 2a ? ? ,即 , 解 得 s i nA ? , 因 为 sin A sin B 2 s i nA s i n? 4

【解析】根据正弦定理可得

b ? 2 a ? a,所以 A ? B ,所以 A ?

?
6

,所以 C ? ? ? A ? B ?

7? 。 12

11、如图, BC 是半径为 2 的圆 O 的直径,点 P 在 BC 的延长线上, PA 是圆 O 的切线,点

A 在 直 径 BC 上 的 射 影 是 OC 的 中 点 , 则 ?ABP =
PB ? PC ?
A





B

O

C

P

【答案】 ? ,12

6

-4-

【解析】点 A 在直径 BC 上的射影 E 是 OC 的中点,可得 ?AOP ? 60 ,所以 ?ABP ? 30 ,在
? ?

Rt ?AOP 中, AP ? 2 3 ,所以由切割线定理可得 PB?PC ? AP2 ? (2 3)2 ? 12 。

?x ? 0 ? (k为常数)若 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k=_____ , 12、已知 x, y满足 ? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?
【答案】 ?6

?x ? 0 ? y ? x 的图象。因为 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,所以此时 x ? 3 y ? 8 ,说明此时 【解析】做出 ?

直线经过区域内截距做大的点,

,即直线 2 x ? y ? k ? 0 也经过点

?y ? x ?x ? 2 ? ? B 。由 ? x ? 3 y ? 8 ,解得 ? y ? 2 ,即 B (2, 2) ,代入直线 2 x ? y ? k ? 0 得, k ? ?6 。
13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数 字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为

a1 , a2 ,则 a1 , a2 的大小关系是_____________(填 a1 ? a2 , a2 ? a1 , a1 ? a2 )

. 【答案】 a2 ? a1 【解析】去掉一个最高分和一个最低分后,甲乙都有 5 组数据,此时甲乙的平均数为

1? 4 ? 5? 3 6 ? 7 ? 4?3 ? 80 ? 84 , a2 ? ? 80 ? 85 ,所以 a2 ? a1 。 5 5 1 2 14、 对任意 x ? R , 函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? [ f ( x)] ? , an ? [ f (n)]2 ? f (n) , 设 2 31 数列 {an } 的前 15 项的和为 ? ,则 f (15) ? . 16 【答案】 3 4 a1 ?

-5-

f ( x ? 1) ?
【解析】因为

f ( x) ? [ f ( x)] 2 ?

1 1 f ( x ? 1) ? ? 2 2 ,所以

f ( x) ? [ f ( x)]2 ? 0
, ,

f ( x ? 1) ?


1 2













1 [ f ( x ? 1) ? ]2 ? f ( x) ? [ f ( x)]2 2





[ f ( x ? 1)]2 ? f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x) ? [ f ( x)]2 4





[ f ( x ? 1)]2 ? f ( x ? 1) ? [ f ( x)]2 ? f ( x) ? ? 1 4

1 1 an ?1 ? an ? ? 4 ,即 4 ,即数列 {an } 的任意两项之 a15 ? ? 3 16

?
和 为

, 所 以

1 3 1 S1 ? 7 ? ?( ? a) ? ? 5 5 1 4 1 , 即 6

。 所 以

a15 ? [ f (15)]2 ? f (15) ? ?

3 3 1 f (15) ? f (15) ? 16 ,解得 4或 4 (舍去) 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15、 (本小题共 13 分) 已知 sin( A ?

π π π 7 2 , A?( , ) . )? 4 2 4 10

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 16、 (本小题共 13 分) 如图所示,正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂 直, AB ? 2 AD ? 2 ,点 E 为 AB 的中点。 (Ⅰ)求证: BD1 // 平面A1 DE (Ⅱ) 求证: D1 E ? A1 D ( Ⅲ ) 在 线 段 AB 上 是 否 存 在 点 M , 使 二 面 角
A E B D1

5 sin A sin x 的值域. 2

A1 D C

D1 ? MC ? D 的大小为
存在,请说明理由。 17、 (本小题共 13 分)

? ?若存在,求出 AM 的长;若不 6

数列{ an }中, a1 ? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0
-6-

(1)求数列的通项公式; (2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 Sn . 18、 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? 2ax ? 3 ( a ? 0 ). (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; ( Ⅱ ) 函 数 y ? f (x) 的 图 像 在 x ? 2 处 的 切 线 的 斜 率 为

3 , 若 函 数 2

g ( x) ?

1 3 x ? x 2 [ f ' ( x) ? m] ,在区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围。 3

19、 (本小题共 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,左焦点 F (? 3,0) ,且离心率 e ? 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N M , N 不是左、 ( 右顶点) , 且以 MN 为直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A. 求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.

20、 (本小题共 14 分)
* 在单调递增数列 {an } 中, a1 ? 2 ,不等式 (n ? 1)an ? na2 n 对任意 n ? N 都成立.

(Ⅰ)求 a2 的取值范围; (Ⅱ)判断数列 {an } 能否为等比数列?说明理由; (Ⅲ)设 bn ? (1 ? 1)(1 ? )? (1 ? 求证:对任意的 n ? N ,
*

1 2

1 1 ) , c n ? 6(1 ? n ) , n 2 2

bn ? cn ? 0. an ? 12

-7-

参考答案: 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1 D 2 A 3 A 4 C 5 D 6 D 7 C 8 D

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9 、 ___4_________ ; 10 、 ___ 7? ____ ; 11 、 _

12

? ,12 __ ; 12 、 ____ ?6 ___ ; 13 、
6

_________ a2 ? a1 _____;14、____ 3 ______;

4

三、解答题 15、 (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为

π π π 7 2 ? A ? ,且 sin( A ? ) ? , 4 2 4 10 π π 3π π 2 ? A? ? , cos( A ? ) ? ? . 2 4 4 4 10

所以

因为 cos A ? cos[( A ?

π π π π π π ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4 4 4

??
所以 cos A ?

2 2 7 2 2 3 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5
……………………6 分

3 . 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ?

4 . 5 5 所以 f ( x) ? cos 2 x ? sin A sin x 2
? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x

1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 2 2 1 3 因为 sin x ?[?1,1] ,所以,当 sin x ? 时, f ( x) 取最大值 ; 2 2
当 sin x ? ?1 时, f ( x) 取最小值 ?3 .

-8-

所以函数 f ( x) 的值域为 [ ?3, ] .

3 2

……………………13 分

16、 (Ⅰ) 四边形ADD A1为正方形, 是AD1的中点 , 点 E 为 AB 的中点,连接 OE 。 O 1

? EO为?ABD 的中位线 ? EO // BD1 ……2 分 1
又? BD1 ? 平面A1 DE, OE ? 平面A1 DE

? BD1 // 平面A1 DE
(II) 正方形 ADD1 A1 中, A1 D ? AD1

……4 分

由已知可得: AB ? 平面ADD1 A1 , A1 D ? 平面ADD A1 …….6 分 1

? AB ? A1D , AB ? AD1 ? A
? A1 D ? 平面A1DE,D1E ? 平面AD1E

…….7 分

? A1 D ? D1 E
…….8 分 (Ⅲ)由题意可得: D1 D ? 平面ABCD ,以点 D 为原点, DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 则
A x E B A1 D1 z

o D C

D(0,0,0),C(0,2,0), A1 (1,0,1), D1 (0,0,1) ,

y

………9 分 设 M (1, y0 ,0)(0 ? y0 ? 2)

? MC ? (?1,2 ? y0 ,0), D1C ? (0,2,?1)
设平面 D1 MC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) 则?

……10 分

?n1 ? MC ? 0 ? ?n1 ? D1C ? 0 ?

得 ?

?? x ? y(2 ? y0 ) ? 0 ?2 y ? z ? 0

……11 分

-9-

取 y ? 1, 则n1 ? (2 ? y0 ,1,2) 是平面 D1 MC 的一个法向量,而平面 MCD 的一个法向量为

n2 ? (0,0,1)
要使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 而 cos

……12 分

? 6

?
6

?| cos ? n1 , n2 ?|?

| n1 ? n2 | 2 3 ? ? | n1 | ? | n2 | 2 (2 ? y0 ) 2 ? 12 ? 2 2

解得: y0 ? 2 ?

3 (0 ? y0 ? 2) 3
??? 13 分

当 AM = 2 ?

? 3 时,二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 6 3

17、解:(1) an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ∴ an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ∴ {an?1 ? an } 为常数列,∴{an}是以 a1 为首项的等差数列, 设 an ? a1 ? (n ?1)d , a4 ? a1 ? 3d ,∴ d ? (2)∵ an ? 10 ? 2n ,令 an ? 0 ,得 n ? 5 . 当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 . ∴当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ? a1 ? a2 ? ?? a5 ? (a6 ? a7 ? ?? an )

2?8 ? ?2 ,∴ an ? 10 ? 2n . 3

? T5 ? (Tn ? T5 ) ? 2T5 ? Tn , Tn ? a1 ? a2 ? ?? an .
当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ? a1 ? a2 ? ? ? an ? Tn .

?9n ? n 2 , (n ? 5) ? ∴ Sn ? ? 2 ?n ? 9n ? 40, (n ? 5). ?
' 18 解: (I) f ( x ) ?

a (1 ? 2 x) ( x ? 0) x
1 2 f‘ ( x ) ? 0即x ? 1 2

……2 分

当 a ? 0时, ( x) ? 0 即 0 ? x ? f'

1 1 ),单调递减区间为( , ? ?) ………4 分 2 2 1 1 ‘ ' 当 a ? 0时, f ( x ) ? 0即x ? , f ( x) ? 0 即 0 ? x ? 2 2 1 1 f(x)的单调递增区间为( , ? ?) ,单调递减区间为(0, ) ……6 分 2 2

? f(x)的单调递增区间为(0,

- 10 -

' (II) f ( 2) ? ?

3a 3 ? 得 a ? ?1 ……8 分 2 2 1 1 g ( x) ? x 3 ? (? ? 2 ? m) x 2 ……9 分 f ( x) ? ? ln x ? 2 x +3 3 x
………10 分

? g ' ( x) ? x 2 ? (4 ? 2m) x ? 1

? g ( x)在区间(, 1 3)上不是单调函数,且 ' (0) ? ?1 ……11 分 g
? g ' (1) ? 0 ? ?? ' ……12 分 ? g (3) ? 0 ?

?4 ? 2m ? 0 10 ? m ? ?2 即: ? ?? 3 ?20 ? 6m ? 0

……13 分

?c ? 3 ? c 3 ? 19 解: (Ⅰ)由题意可知: ?e ? ? a 2 ? 2 2 ?a ? b ? c 2 ?
解得 a ? 2, b ? 1

……1 分

………2 分

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆的方程为: 4

……3 分

? x2 ? ? y2 ? 1 (II)证明:由方程组 ? 4 ? y ? kx ? m ?

得( ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 …4 分 1

? ? (8km) 2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 4) ? 0
2 2 整理得 4k ? m ? 1 ? 0

………..5 分

设 M ( x1 , x2 ), N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ? ?

8km 4m 2 ? 4 , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

…….6 分

由已知, AM ? AN 且椭圆的右顶点为 A(2,0)

………7 分 ……… 8分

? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2
即 (1 ? k ) x1 x2 ? (km ? 2)(x1 ? x2 ) ? m ? 4 ? 0
2 2

- 11 -

也即 (1 ? k )) ?
2

4m 2 ? 4 ? 8km ? (km ? 2) ? ? m2 ? 4 ? 0 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

…… 10 分

整理得: 5m 2 ? 16mk ? 12k 2 ? 0 解得 m ? ?2k或m ? ? 当

……11 分 ……12 分

6k 均满足 4k 2 ? m 2 ? 1 ? 0 5

m ? ?2k 时,直线的 l 方程为 y ? kx ? 2k ,过定点(2,0)与题意矛盾舍去……13 分

6 6k 6 时,直线的 l 方程为 y ? k ( x ? ) ,过定点 ( ,0 ) 5 5 5 6 故直线 l 过定点,且定点的坐标为 ( ,0 ) 5
当m ? ? 20、 (共 14 分) (Ⅰ)解:因为 {an } 是单调递增数列, 所以 a 2 ? a1 , a 2 ? 2 . 令 n ? 1 , 2a1 ? a2 , a 2 ? 4 , 所以 a2 ? ?2, 4? . (Ⅱ)证明:数列 {an } 不能为等比数列. 用反证法证明: 假设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列, a1 ? 2 ? 0 , an ? 2q n?1 . 因为 {an } 单调递增,所以 q ? 1 . 因为 n ? N , (n ? 1)an ? na2 n 都成立.
*

…….14 分

………………4 分

所以 n ? N , 1 ?
*

1 ? qn n
*


n

因为 q ? 1 ,所以 ?n 0 ? N ,使得当 n ? n0 时, q ? 2 . 因为 1 ?

1 ? 2 (n?N* ) . n

n * 所以 ?n 0 ? N ,当 n ? n0 时, q ? 1 ?

1 ,与①矛盾,故假设不成立.………9 分 n 15 9 135 21 ? c 2 ? , b3 ? ? c3 ? (Ⅲ)证明:观察: b1 ? c1 ? 3 , b2 ? ,…,猜想: 4 2 32 4

bn ? cn .

- 12 -

用数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时, b1 ? 3 ? c1 ? 3 成立; (2)假设当 n ? k 时, bk ? ck 成立; 当 n ? k ? 1 时,

bk ?1 ? bk (1 ?

1
k ?1

2 2 1 1 1 1 1 1 ? 6(1 ? k ?1 ? k ? 2 k ?1 ) ? 6(1 ? k ?1 ? 2 k ?1 ) ? 6(1 ? k ?1 ) 2 2 2 2 2 2

)

? c k (1 ?

1
k ?1

)

? 6(1 ?

1 ) 2k

(1 ?

1 2 k ?1

)

所以 bk ?1 ? ck ?1 . 根据(1) (2)可知,对任意 n ? N ,都有 bn ? cn ,即 bn ? cn ? 0 .
*

由已知得, a 2 n ? (1 ? 所以 a
2n

1 )a n . n

1 1 1 )a n ?1 ? ? ? (1 ? n ?1 ) ? (1 ? )(1 ? 1)a1 . n ?1 2 2 2 2 1 所以当 n ? 2 时, a n ? 2bn?1 ? 2cn ?1 ? 12 (1 ? n ?1 ) ? 12 . 2 2 ? (1 ?
因为 a 2 ? a 4 ? 12 . 所以对任意 n ? N , a
* *

2n

? 12.
*

对任意 n ? N ,存在 m ? N ,使得 n ? 2 ,
m

因为数列{ an }单调递增, 所以 a n ? a
2m

? 12 , an ? 12 ? 0 .

因为 bn ? cn ? 0 , 所以

bn ? cn ? 0. an ? 12

………………14 分

- 13 -


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