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数学课程标准解读(2011版)


模块一:义务教育数学课程标准的设计、实施与修订
专题一:义务教育数学课程实施成效与问题
21 世纪之初设计并实施的基础教育课程改革是一次影响深远的教育变革。 2001 年公 从 布并实施的《基础教育课程改革纲要》和《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以 下简称《课程标准实验稿)》),到 2011 年公布<义务教育数学课程标准(修订稿)》(以 下简称

《课程标准》),10 年的探索和实验,使得人们在课程理念、目标、内容、方法和 评价等方面进行改革, 对数学教育与数学课程问题有了许多新的认识, 促使人们不断思考和 探索数学教育问题,推进数学课程与教学改革的不断深化。 一、课程标准实验稿的实验成效 2001 年新课程实施以来,经过几年的实施,数学教育研究者和第一线中小学教师对数 学课程改革问题进行了深入地研究和探讨。从几次调研的结果看,教师的理念、课堂教学的 方式方法、学生的数学学习的兴趣、数学教学评价等都有比较明显的变化,特别是中小学教 师经过 10 年来对数学课程与教学改革的研究和对数学课程教学改革实践经验的积累,使多 数教师认为“《标准实验稿》的基本理念较新,较实用化。” “课程标准和教材知识点突出; 课后作业适中,减轻了学生的负担;数学新教材有了很大的突破;学生主动学习的方法非常 好。”“学生的创新思维能力和兴趣得到改善。”这些都充分反映出数学课程改革取得了突 出的实验成效,具体表现在以下几个方面。 1.教师对数学课程改革有较高的认同感 课程标准实验组在 2003 年和 2005 年, 分别对数学课程的实施情况和有关数学课程改革 问题进行问卷调查,调查结果显示中小学教师对数学课程改革有较高的认同感。其中 2003 年调查发现,小学教师和初中教师对《课程标准实验稿》的理念与设计非常认同和比较认同 的合起来超过 95%, 其中,小学教师认同率为 98%,初中教师认同率为 94%。 不认同不超过 5%, 2005 年调查发现,72. 40%/的教师对《标准实验稿》表示认同,不认同的仅占 2. 7%。其中 小学教师的认同程度仍然高于中学教师。总的看,中小学教师虽然从整体上认同度比较高, 但与 2003 年相比,还是有所下降。 2.教师的教育教学理念发生较大变化 《课程标准实验稿》实施的过程,也是中小学数学教师接受教育理念和改变教育行为的 过程。课程改革提倡面向全体学生,为了每一位学生的发展的理念在实施过程中受到重视, 并体现在具体的教学活动中。这就使教师更加关注学生的全面发展,注重学生的个性差异; 教师更加关注学生的学习过程, 注重发挥学生的主体性和主动性; 教师也提高了自身的课程 与教学研究意识。 教师在课堂教学的设计与实施中, 能从整体上考虑学生数学素养的提高, 体现三维目标 的理解和运用。课堂教学中,教师在引导学生理解和掌握知识技能的同时,也更注重学生的 学习过程,关注学生的情感与态度,使数学的学习过程更加丰富多彩,提高了学生学习数学 的兴趣和信心。同时,教师在数学中也关注不同发展水平的学生,关注学生在学习过程的整 体表现,使教学过程成为学生发展的过程。 3.师生教与学在方式方法上发生较大变化 在课程实施的过程中,越来越多的教师注重教与学方式方法的改变,探索多样化的、有 利于学生发展的教学方式。教师更加注重教学过程的设计,能通过情境的选择与设计,探索 过程的组织, 为学生留有更多的参与和思考的空间。 在教学过程中也注重引导学生主动参与 和自主探索,注重师生互动与合作交流,以及关注信息技术与学科整合。 在组织教学活动时,越来越多的教师试图改变单一的教学方式,结合具体的教学内容,

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探索和运用启发式、探索式等教学方式,让学生在问题情境中探索,在解决问题的过程中合 作与交流。使得学生的学习过程更加生动活泼,更好地发挥学生的主动性和创造性。如小学 数学“平行四边形面积”教学的一个片段就是很好的例证。 (一)实验探究 让学生拿出统一规格的平行四边形纸片和小剪刀、刻度尺等学具。 师:你能用准备的工具和已经学过的知识想办法求出手中的平行四边形的面积吗? 要求学生自己动手操作,尝试计算平行四边形面积,填写实验报告单。教师巡视,个别 指导。 实验报告单 实验项目:推导“平行四边形面积”面积公式。 实验工具:平行四边形纸片,小剪刀,有刻度直尺。 实验步骤:1._________________________________________________________ 2._________________________________________________________ 3._________________________________________________________ 4._________________________________________________________ 实验结果:1._________________________________________________________ 2._________________________________________________________ 3._________________________________________________________ 4._________________________________________________________ 实验人: ___________________________________________________________ 实验日期:___________________________________________________________ (二)反馈交流,提出质疑 师:没有利用剪刀就求出面积的同学是怎么想的? 生:我是用直尺量了平行四边形的底和高,相乘得来的。 生:我是用直尺量了平行四边形的底和旁边的一条边的长度,相乘得来的。 师:为什么形状大小一样的平行四边形会出现不同的答案呢? 生:我们是用剪刀从角的顶点沿着平行四边形的高剪开,然后拼成一个长方形,量出长 和宽并求出它的面积。 生:我们沿着平行四边形的任意一条高剪开,得到两个梯形,再拼成一个长方形。 师:为什么一定要把平行四边形变成一个长方形呢?有没有不是变成长方形的呢? 生:不变成长方形,求不出面积。 生:我是把平行四边形剪成了两个三角形,又拼成了一个平行四边形,还是不知道怎么 求面积。 师:下面我们就检验大家的结论是不是正确的。 (三)检验结果,探求规律 检验 1:教师电脑演示图形变换。 师:通过刚才的演示你能得到什么? 生:把长方形变成了平行四边形,形状变了,面积也变了,越往下拉,面积越小。 生:求平行四边形面积,不能用底与邻边相乘。 检验 2:教师继续电脑演示图形变换。 师:从刚才的演示中,你们又发现了什么? 学生分小组讨论,每组推荐一名代表向全班汇报。 生:把平行四边形变成了长方形。 生:形状变了,面积没有变。

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生:拼成的长方形的长和宽分别与平行四边形的底和高相等。 学生总结出,平行四边形的面积等于底乘高。 上面的教学片段反映了学生进行数学探究的过程,教师为学生创设需要动手操作、合 作学习的情境。学生利用有关的材料,采取小组合作的方式进行探究活动。在这个过程中, 有师生交流、 学生之间的交流。 再由小组的学生代表向全班汇报本组探索的过程和对问题的 理解。体现了课程改革提倡的自主探索、合作交流的教学方式的变革,在这个过程中学生不 仅理解了数学知识,也提高了数学思考、问题解决和数学探究的能力。 4.评价方式发生较大变化 以往的以甄别和选拔为主要目的的评价方式正在逐步改变。 许多中小学教师尝试运用口 头测试、课堂观察、成长记录等方式,评价学生的学习过程,了解学生在数学学习过程中表 现出的创造性、思维能力和情感态度。同时,对传统的纸笔测验进行改造,测验题目的选择 注重现实性和问题情境,也增加了具有一定开放性的题目,使得评价更加灵活多样,与课程 改革的多元目标相适应。如下面是一份小学数学三年级试卷中的部分试题。 (1)下面是永乐电影院下午上演电影的时间表,第四场电影开始的时间最有可能是 ( )。 场次:第一场 下午 2 点; 第二场 下午 3 点半;第三场 下午 5 点; 第四场( )? 开演时间 A. 17: 30 B. 18: 00 C. 18: 30 D. 20: 00 (2)12 生肖依次是:鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。小明今年 11 岁,属龙,小明的哥哥 14 岁,他应该属( )。 A.羊 B.牛 C.虎 D.马 (3)小红读一本 300 页的童话书,每天花两个小时的时间读书,前 3 天每天读的页数如 下:第一天读了 60 页,第二天读了 800 页,第三天读了 120 页,解答下列各问。 ①如果想在四天内读完这本书,小红在第四天要读( )页,她平均每天读( )页。 ②这四天中,小红第( )天的读书速度最快,第( )天的速度最慢。请用“<”号 连接小红这四天的读书速度。(如第一天<第二天??) (4)文具店运来象棋 120 盒,运来的跳棋比象棋多 75 盒,运来的动物棋是跳棋的 3 倍, 文具店运来动物棋多少盒? 5.教材与课程资源发生了较大变化 在教学活动中,创造性地使用教材,充分利用教材以外的各种课程资源,已经成为多数 中小学教师的共识。许多教师在教学设计中,分析课程目标,分析学生学习状况和需要,分 析教材的特征和现有的条件, 对教学内容的设计与呈现进行校本化处理, 使具体内容的教学 更加符合学生的需要,更好地实现了课程与教学目标。用教材教,而不是教教材已经成为广 大教师的共识。 二、基于一些问题的思考 义务教育数学课程改革是一次较全面的改革, 从理念与目标到内容与方法都发生了很大 的变化,这对于学校和教师是重要的挑战。虽然这十年取得了比较显著的成绩,但是,从实 验开始就存在着新的课程改革方案与学校教师适应之间的矛盾, 同时, 在实施过程中也暴露 出一些问题。 通过几次大规模的调研结果和杂志上发表的有关文章, 分析了数学课程改革的 现状,同时基于对一些问题的反思,也提出了一些很好地改进建议。 1.对课程标准实验稿中的某些核心概念的认识与理解 课程标准实验稿中提出的一些数学思想或理念,如数感、符号感、合情推理等,目的是 在于提高学生的数学素养, 使数学教学过程更加体现数学的本质, 有利于促进学生的全面发 展。但在实际教学中,许多教师不了解为什么提出这些概念,教师对这些问题在理解上存在 一定困难,特别是在操作层面上缺少实用的案例。在调研中,一些老师反映,什么是数感、

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符号感,应当有一个清晰的界定,并给出具体的案例,特别是结合具体的教学内容的可操作 的实例。 2.对课程标准实验稿中设计的新内容的教学遇到的问题 课程标准实验稿在内容结构上做了较大的调整,把数学内容分成四个领域:数与代数、 空间与图形、统计与概率、实践与综合应用。在内容的选择上,增加了一些新的内容,如简 单的概率内容,图形的位置与变化,实践活动与课题学习等。这些内容对于教师来说是全新 的, 他们缺少这方面的知识准备和教学经验。 加之缺少这方面具体实用的培训和交流, 因此, 在设计和实施中出现对这个内容的理解和把握方面的问题。同时,一些同样的内容在不同年 级出现,如何处理它们之间的差异,如何把握难度和要求也是需要研究实验的。如对可能性 的认识,在哪一个年级开始更好,怎样区别不同的要求。这些需要在修订中加以考虑。又如 调查中有 39. 50%的教师认为“实践与综合应用”领域实施有一定的困难。“课程标准实验 稿中有些实践部分缺乏操作性, 会影响正常的教学活动。 “教材中的实践与综合应用领域, ” 具体实施时有一定困难。” 3.对于过程性目标的理解与落实 课程标准实验稿中提出的过程性目标, 是本次课程改革的一个亮点。 但在具体的教学过 程中, 如何将过程性目标在教学过程中体现出来, 如何实现和评价过程性目标成为实施中的 一个难点。如《课程标准实验稿》提出“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程; 经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程;经历提出问题,收集、整理、 描述和分析数据,作出决策和预测的过程。”这些过程性目标如何在教学过程中与具体的学 习内容结合起来,如何以有效的方式呈现和表达,并组织有效的教学活动落实,是一个有困 惑和值得研究的问题。 4.对提倡的教学方式在运用与把握上欠缺 在课程改革实施过程中,教师在运用新的教学方法时,存在如何把握方法的适用条件, 如何适当地把不同方法更好地结合的问题。 有教师反映在运用探索式教学方法或合作式教学 方法时,似乎学生活动的越多越好,课堂上学生说得越多越好。而在如何处理学生的自主活 动与教师适时指导之间的关系,如何有效地把不同方法很好地结合,更好地实现多元目标, 还需要给出明确的建议和具体的指导。如,小组合作学习存在一定的形式化的问题;探究学 习的设计与实施有过于重视形式,忽视内容本质的倾向;教学情境的设计过分追求生活化, 导致出现一些人为、牵强的内容等。 另外,如何有效地利用多媒体进行教学,特别是信息技术与数学教学的整合,还存在许 多没有解决好的问题。 5.在评价改革上遇到的困难 在评价改革上也存在如何把握过程性评价与结果性评价,如何把握情感态度评价等问 题。在征求教师对课程改革意见时,反映最多的还是评价问题。原有的评价体系与方法与课 程改革的评价体系与方法存在很大差异,对新课程内容与方法的实施产生很大程度的影响。 在调研中教师认为, “标准中提出的学生动手操作,探索规律的过程在考试的卷面中很难体 现。”“过程性评价不好操作。”“评价方式多样化与实际不相符,评价方式只有终结性评 价,其他形式只流于形式。”“提倡培养孩子多方面的能力与考试的单一性的矛盾。”等。 此外, 对一些数学课程教学的问题也存在一些争论。 如关于数学课程价值与目标的讨论; 关于数学课程内容的讨论;关于数学教学方式的讨论等。有些问题在不同层次、通过不同的 途径进行了广泛的讨论。 讨论中表现出来的不同观点和对问题的不同看法, 对于深入理解数 学课程与教学改革, 特别是涉及数学课程改革方向的问题引起人们的关注和思考, 也促进了 数学课程的改革。

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专题二 :全日制义务教育数学课程标准(修改稿) 》修订说明
2003 年在数学课程标准实验稿的实施情况调查和研讨的基础上,课程标准组整理和分 析了相关的修改建议,以及数学课程实施以来各方面反映的意见,对《课程标准实验稿)进 行了笫一次修改。并将修改稿在一定范围内征求意见。2005 年教育部成立《义务教育数学 课程标准》修订组,对标准进行修订工作。于 2010 年完成修订稿,2012 年初正式公布。本 专题重点介绍 2005 年以后进行的数学课程标准实验稿的研制过程与遵循的原则。 一、课程标准修订的组织与过程 2005 年 5 月,教育部组织成立《数学课程标准》修订组,修订组成员由不同的背景人 员组成。修订工作根据义务教育法的有关规定,按照基础教育课程改革的总体方向,在总结 10 年来新课程实施的经验与发现的问题的基础上,开始进行修定。修订期间公布的?国家教 育改革与发展中长期规划纲要(2010~2020)》对修订工作起了重要的指导作用。 修订组采取有效的工作机制,制定了可行的修订原则。本着实事求是、严谨科学、顾全 大局、求同存异的态度,通过充分认真的研究与讨论,完成了?课程标准》的修订工作。 数学课程标准修订组由 14 人组成,成员来自大学、科研机构、教师培训机构、教学研 究室以及中小学。其中有 6 位数学方面的学者、5 位数学教育学专家、1 位教研人员、2 位 中小学教师。 由东北师范大学史宁中教授任组长。 修订组中吸收了部分原课程标准研制组成 员。修订组成员的不同背景体现了多元的构成,保证了在研讨和修订过程中,从不同角度思 考问题, 听取来自不同方面的意见和建议。 体现了数学课程标准的修订过程是一个集体审议 的过程,是一个不同意见碰撞、交流、吸收与融合的过程。 按照修订工作的机制与程序,修订组从基础的调研开始,通过征求各方意见,现实问题 分析,进行专题研讨,核心概念确定,具体内容审议等方式,对标准进行认真细致的修订。 l.组织广泛深入的调查研究 2005 年 6 月,修订工作启动之初,标准修订组对全国 12 个省(直辖市、自治区)的教 师进行了问卷调查,并到 6 个省的 12 个实验区进行实地考察,在中小学听课,组织座谈会 等,与中小学教师进行交流,了解对数学课程标准实验的情况和修改建议。 问卷调查显示,多数老师对《课程标准实验稿》表示认同,认为数学课程改革的大方向 正确,赞同课程标准实验稿提出的基本理念与目标。同时,认为《课程标准实验稿》中的部 分内容难度较大,特别是新增加的“方位与路线” “可能性” “中数,中位数”等对于第一、 第二学段的学生有一定难度。 调研中教师提出了许多修改建议。主要包括以下方面。 关于基本理念,有的老师认为,“人人学有价值的数学”表述不够清晰,教师难以做到 标准提出的“不同的人在数学上得到不同的发展”,关于评价的理念中“更要”不准确,改 为“也要”更好;信息技术中“重视”改为“适当”。 《课程标准实验稿》的目标和要求应更明确一些。出现的新词教师不好把握,如情感与 态度, 数感、 符号感等, 应当有明确的说明;一些目标要求过于笼统,存在着一定脱节问题, 说起来容易,做起来难。每条目标要表达清楚,如“解决简单问题”是指几步完成的问题。 关于课程内容主要的意见有,《课程标准实验稿》按学段安排,初衷是好的,但老师不 好把握教学目标,对某一内容教到什么程度没有把握。内容呈现螺旋式上升绝对化,4 个领 域的内容每年都要螺旋式上升,造成内容割裂;忽视数学知识的系统性, 与其他学科之间衔接不够。几何证明的格式应尽早渗透。几何推理既有具体的直观,又 要有逻辑推理,可以删去一些难题,但新课程大大削弱平面几何教学的处理是不可取的。有 关统计与概率内容,从 1 年级就开始学习,重复。这部分内容 3 年级以前不要讲。初中可以 在一册教材里讲。有关实践和综合应用,目标要求还不够具体化,案例太少,教师操作起来 有困难。“实践与综合应用”可不当做一个单独的领域,而是把它融合在代数和几何中。

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关于课程实施建议,希望教学建议和评价建议更具体一些,建议比较空,不易操作。新 课程强调自主学习、探究学习、合作学习,但教学中往往形式化,出现到处小组讨论,说话 多、讨论少;动口多、动脑少;表层多、深层少;提倡创设情境,教材编写者创设的情境不 是真实的,老师创设的并不贴近学生;课堂上要求学生多活动,教师少说话。形式化后,有 的领导评课拿秒表计算教师说话的时间, 有的课教师到最后才说话; 教育技术的运用也有形 式化的倾向。所有知识都要生活背景,都要探索,所有结论都要由学生说出。使得课堂上无 效时间多了,有效时间少了。教师绝对性使用鼓励语言,一方面占了时间;另一方面,当学 生出现了特别优秀的想法时, 教师已不能再使用更合适的语言来激励, 学生的错误也不能使 用恰当的语言纠正。 许多建议是针对教材与标准一致性的。针对教材提出的。主要包括以下一些内容:教师 往往接触教材多,许多具体建议都是教材内容有些过难,特别对中下等学生而言;在内容编 排上有些内容离学生的生活较远,如,认识“人民币”“长度单位”的概念,学生很难掌握; “解决问题策略”过难;一年级加减法内容混在一起,对中等以下的学生有困难。总之,这 些修改建议对课程标准的修改有重要的参考价值。 2.开展全面认真的修订研讨 标准修订过程中,修订组共召开 15 次修订研讨会,其中 10 次全体成员讨论会,5 次部 分成员讨论会。 每次会议都有重点地研究和讨论标准修订的有关重要问题。 下面是部分会议 研讨的主要内容介绍。 2005 年 7 月的修订组全体会议,对前期实地考察和问卷调查情况进行了汇总和分析; 讨论了修订的基本思路,明确了修订的基本原则;确定了修订组的工作方案与具体分析。明 确在修订过程要处理好标准中的几个关系。即,关注过程和关注结果的关系;学生自主学习 和教师讲授的关系;合情推理和演绎推理的关系;关注生活情境和关注知识系统性的关系。 在此基础上明确修订组人员的分工,按照确定的基本原则分头修改有关的内容。 2005 年 11 月,修订组全体会议讨论了按分工各自完成的修改内容;明确《课程标准实 验稿》修订的若干重要问题。梳理了标准修改的主要内容,特别是对《课程标准实验稿》的 前言、基本理念、设计思路、总体目标及分段目标等内容进行了认真、细致和充分的讨论。 形成了《标准》的初稿。与会人员对大部分问题达成共识,部分内容还需要进一步思考和研 究。 2006 年 3 月,召开修订组部分成员研讨会,对?数学课程标准》的初稿文字进行整理,对 需要重点修改和砑究的问题进行了分工,特别是关于“四基”的提法,若干个目标表述行为 动词术语的解释,以及数感、符号意识、运算能力、模型思想;空间观念、几何直观、推理 能力;数据分析观念等核心词的阐述进行了讨论。 2006 年 4 月的修订组全体成员讨论会重点讨论“前言”的写法,确定了“基本理念” 中关于“人人都能获得良好的数学教育”的提法,以及四个方面课程内容的名称和具体内容 取舍等问题。本次会议后形成《课程标准》的征求意见稿。会后编制了征求意见问卷,向专 家和一线教师、教研员征求意见。 2007 年 4 月召开修订组全体成员讨论会,重点讨论了“实施建议”的修改,并对全文进 行了文字加工。本次会议后,对有关内容进行了最后的修改整合,完成了修订的全部任务, 形成《数学课程标准》,交教育部基础司征求意见。 2007 年 11 月,修订组又召开全体成员讨论会,对各省、实验区的意见和建议进行了全 面梳理和修改; 对全文进行文字加工和校对, 最终完成《数学课程标准》, 提交教育部审查。 教育部于 2010 年下半年对修订稿做了大范围的征求意见。针对有关修改意见,修订组 又对一些内容进行了部分调整。于 2011 年 2 月形成正式的《数学课程标准》送审稿。 3.采取多种形式征求意见

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在修订的过程中, 除开始进行较大规模集中调研外, 修订组还组织了多次集中或分散的 征求意见活动,主要包括: 2006 年 6 月,《数学课程标准》初稿完成后,向全国 30 多位专家、学者和一线教师寄 发初稿和征求意见表。共收到 28 份反馈意见,其中大学教授 12 份、教研人员 6 份、中小学 教师 8 份、 出版社 2 份。 反馈意见对初稿总体上是肯定的, 同时提出了一些具体的修改意见, 修订组针对这些意见又进行了认真的整理和分类。 2006 年 9 月 8 日,史宁中教授邀请几位中科院院士和数学家座谈,征求对《数学课程 标准》初稿的意见。参加座谈的有姜伯驹、李大潜、伍卓群、侯自新、白志东等院士和数学 家,教育部陈小娅副部长参加了座谈会。会上史宁中教授介绍了《数学课程标准》修订的情 况,院士和数学家们提出了许多有价值的意见和建议。如姜伯驹院士提出,不能照抄照搬其 他国家的教育改革, 要根据自己国家社会的实际情况进行改革; 课程标准规定的目标是最低 标准,是全体学生都应该学习的,并不是全体学生都一定能够学会的;要强调教学活动是教 师教学生学的互动的过程,学生是学习的主体,教师在学习中起主导作用;赞成双基的提法 等。李大潜院士提出,《数学课程标准》是最低标准,不能讲得太难,要由浅人深;赞成人 人都能获得良好的数学教育的理念等。伍卓群、白志东、侯自新等也提出很好的修改建议。 陈小娅副部长高度肯定了这次座谈会, 《数学课程标准》 并对 的进一步修订作出明确的指示。 2007 年 7 月,史宁中教授等同《课程标准实验稿》研制组的部分成员进行了座谈,对 一些重要的问题进行了深入讨论和交流,然后,由教育基础教育司将《数学课程标准》修定 稿发放给全国 10 个省教研室、10 个国家级和省级实验区以及 40 多位专家,广泛征求意见。 下面摘录本次征求意见中所反映的部分修改建议。 “基本理念”的修改建议: “人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不 同的发展”是很好的理念。但是,究竟怎样的数学教育才可以算作良好的数学教育?似乎需 要进一步作出说明。 基本理念第 4 点 “学习评价” 3 行, 第 ??评价要关注学生学习的结果, “也”要关注学生学习的过程;要关注学生数学学习的水平,“也”要关注学生在数学学习 活动中所表现出来的情感与态度,帮助学生认识白我,建立信心。建议:此处的“也”字还 是用《标准实验稿》中的“更”字恰当。 “设计思路”的修改建议:《课程标准》用“经历、体验、探索”这三个术语来表述学 习活动过程目标的不同程度,用“了解、理解、掌握、运用”这四个术语来表述学习活动结 果目标的不同程度。建议:对这些术语加以解释,包括在其他地方出现的一些专业术语,这 样便于教师能更好地理解《课程标准》精神。 “课程目标”的修改建议:“四基”的提出很好,便于教师口口相传,但在排列顺序上 建议改为:基础知识、基本活动经验、基本思想、基本技能。尤其对于小学,把基本活动经 验前移,可以鼓励教师给学生更多的探索空间,在活动中埋下创造的种子的价值更大。建议 增加:逐步培养学生树立正确的价值观,养成良好的学习习惯,学会关心和帮助他人的良好 品质;加强学生人文意识的培养,初步培养学生关注他人、关注社会的品质;在独立思考的 基础上,鼓励学生积极参与对数学问题的讨论,鼓励学生标新立异、大胆创新等内容。 数与代数的修改建议:“数的认识”(4)“在具体情境中感受大数的意义,并能进行估 计”对部分学生来说要求偏难。建议改为“在具体情境中感受大数的意义,并能进行大致估 计”。“能口算百以内的加减法和一位数乘除两位数”要求偏高,建议适当降低难度,或放 第二学段中。建议在第二学段中适当增加关于“常见的数量关系”及体现“数学模型思想” 的内容。如,增加常见的数量关系:“总价=单价×数量;路程=时间×速度;工作总量= 工作时间×工作效率”。建议增加会分解质因数,会用短除法求两个数的最大公因数和最小 公倍数,因为本知识对通分、约分、分数加减法等知识都很有必要。 建议在第三学段,增加有理数的倒数和非负数的概念, 并增加案例; 建议在实数中增加

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“会对形如以 a 的 2 次方进行开方运算(a 表示有理数)。” “图形与几何”的修改建议:第一、第二学段建议保留“会看简单的线路图”,为第二 学段的学习打好基础;第一学段“能在方格纸上面简单图形的轴对称图形”学生掌握起来比 较困难,建议放在第二学段的前期。“测量”第 5 条可否改为“会利用方格纸估计不规则图 形的面积”。第二学段“图形的运动”中,“能利用方格纸等按一定比例将简单图形放大或 缩小”目标稍高。第三学段“基本事实”比“公理”更适合本学段学生的认知水平,更有利 于准确把握其实质。 《标准》对尺规作图的要求更明确: “在尺规作图中,了解作图的道理, 保留作图的痕迹,不要求写出作法。” “统计与概率”的修改建议:“随机性”这个词,最好不出现。最好不提“随机”这个 概念,以前把“随机现象”称为不确定现象,现在很多反馈意见都认为“随机现象”提法不 妥。 “实践与综合应用”的修改建议:建议第一、第二学段,每学期至少两次。“实践与综 合应用”的内容标准与要求太简单、太抽象,目的不明确。没有体现学科中各知识之间、不 同学科之间的综合与联系。 并且实践活动太少, 定义范围太窄。 “实践与综合应用” 中的 “实 例”多半都是以城市生活为例,建议增加几个以农村生活为中心的活动实例,以便给农村教 师提供一些开发数学课程资源的启示。 “综合与实践活动”对于第一学段和第二学段分别提 出的具体要求非常必要。建议增加“实践与综合应用”的次数,选择与课堂联系紧密的,可 以促进学生更好地理解和运用所学的知识。 “实施建议”的修改建议:“教学建议”部分建议“数学教学还应关注自学方法和自学 能力的培养”。无论是设计、实施课堂教学方案,还是组织各类教学活动,都应重视自学方 法和自学能力的培养。 “评价建议”部分建议“数学评价应关注对学生自学方法和自学能力 的评价”,对于自学方法和自学能力的评价体现在整个数学学习的过程中,要重视在平时教 学(课前预习,课中自学)中进行。贯穿于学生通过课内外自学,发现问题,提出问题以及 解决问题的策略上。 课程标准修订组研究了历次征求到的意见和建议,在修订中进行了认真分析和研究处 理,并吸收了其中许多意见,使《课程标准》的修订工作是建立在广泛交流的基础之上,保 证了《课程标准》在不同层面上都获得认同。 二、课程标准修订的原则和思路 课程标准的修订工作是一个系统工程, 修订过程中要处理好各种关系, 包括充分考虑 《课 程标准实验稿》 的框架, 不同价值取向的取舍, 不同表述方式的选择, 对不同意见的处理等。 确定了课程标准修定的基本原则和建立有效的工作机制。 1.课程标准修订的依据与原则 《课程标准》修订的基本依据是坚持体现国家利益,坚持基础教育课程改革的大方向, 以课程改革的实践和调查研究的结果为基础, 针对在实施过程中出现的问题和各方面提出的 建议进行修改,力求《课程标准》更加完善:使《课程标准》表述更加准确、规范、明了、 全面;使《课程标准》结构更加合理、思路更加清晰;进一步增加《课程标准》的可操作性, 更适合教师教学和学习评价的实施。 课程标准修订组从开始就明确了修订的基本原则。即,坚持课程改革的大方向,促进学 生的全面发展,推进课程改革和素质教育而完善《课程标准》;坚持认真调查研究,注重听 取各方面的意见,总结多年来课程改革的经验;坚持民主集中的原则,对有分歧的问题,在 充分讨论的基础上求同存异。 在分析《课程标准实验稿》及在实施过程中各方面提出修改建议的基础上,通过充分发 表意见和认真分析相关问题, 提出在修改过程中要处理好四个关系: 一是关注过程和结果的 关系;二是学生自主学习和教师讲授的关系;三是合情推理和演绎推理的关系;四是关注生

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活情境和知识系统性的关系。 2. 课程标准修订工作的基本思路 根据课程标准修订工作的基本原则,在修改过程中采用以下工作思路。 ⑴坚持课程改革的大方向。为促进学生全面发展,推进课程改革和素质教育而完善《课 程标准》。2001 年开始实施的基础教育课程改革是我国新时期推进素质教育,促进学生全 面发展的重要组成部分,受到国家和社会的广泛关注,在教育界内外引起充分的重视。课程 改革提出的为了学生的全面发展, 提高学生的整体素质, 特别是注重学生创新精神和实践能 力的培养,关注学生发展的过程,以及面向社会需求,面向未来发展的大方向,符合社会的 发展和学生自身的发展需要。大的方向应当坚持,使其更加完善,并具有可行性。 ⑵坚持实事求是的工作作风。认真进行调查研究,注重听取各方面的意见,包括一线教 师和教研员、课程专家、学科专家、行政管理者等方面的意见。不同背景、不同领域的专家 和一线教师, 可以从各自的角度对课程标准的修改提出建议。 修订组应当充分了解和尊重来 自各方面的建议,在认真讨论和分析这些建议的基础上,对标准作出修改。 ⑶坚持充分讨论,求同存异。课程标准修订组每一位成员都能充分发表意见,在认真讨 论的基础上力争取得共识。修订组成员具有不同背景,来自不同的部门,对问题的理解也存 在不同的看法。 这有助于充分讨论和交流。 同时, 对于重要问题, 应当本着实事求是的态度, 求同存异,顾全大局。 ⑷课程标准修订组成员既有分工又有合作。 对于具体问题, 先由具体负责修改的同志提 出方案,再由全体成员讨论确定。以保证修订工作的顺利进行。 ⑸及时向教育部有关部门的领导汇报工作的进展。 在课程标准修订期间, 课程标准修订 组多次向教育部有关领导汇报和沟通, 并通过教育部有关部门向下征求对课程标准修改稿的 意见和建议,使课程标准修订工作健康有序地推进。 3. 课程标准修订组的工作机制 课程标准修订组采取全体会议、分组研究,分工协作,广泛调研等方式,使修订工作有 序进行。 课程标准修订组召开全体会议讨论标准修改的整体思路和重要问题。 几年来课程标 准修订组共召开 10 次全体会议,充分讨论《课程标准》修改的重要问题。同时还召开若干 次由部分成员参加的讨论,具体讨论有关细节和某些具体问题。 课程标准修订组成员在重要问题进行全体讨论的基础上, 又有相对分工, 几个小组分头 考虑有关内容的修改问题,起草相关部分内容。按照课程设计、基本理念、课程目标、三个 学段的 4 个领域内容、 以及实施建议等进行深入研究和具体内容的修改工作。 再由课程标准 修订组全体审阅和讨论确定。 在《课程标准》修订的整个过程中,先后进行了三次大规模的调研和征求意见。包括 2005 年对学校和教师进行的数学课程实施状况的调研; 2006 年院士专家座谈征求意见; 2007 年对初稿征求意见;2010 年修订稿大规模征求意见。对征求意见的结果进行具体研究,逐 一讨论,确定是否采纳,并给予解释。最后由课程标准修订组集体讨论,逐字逐段确认修订 稿,保证了课程标准修订的质量。

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模块二:数学课程的理念与目标(若干关键词)
专题一:标准的基本理念
数学课程标准的基本理念反映出教师对数学课程、 数学课程内容、 数学教学以及评价等 方面应具有的基本认识、观念和态度,它是制定和实施数学课程的指导思想。《课程标准》 中的每一部分内容都要贯穿基本理念的思想和要求。同时,教师作为课程的实施者,更应自 觉地以基本理念为指导树立正确的数学教育观念,并用以指导自己的教学实践活动。 1.数学课程的核心理念 《课程标准》提出: “数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标,要面向全体学 生,适应学生个性发展的需要,使得人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到 不同的发展。”《纲要》提出:“把育人为本作为教育工作的根本要求。”要“关心每个学 生,促进每个学生主动地、生动活泼地发展,尊重教育规律和学生身心发展规律,为每个学 生提供适合的教育。”显然,《课程标准》所提出的上述理念与《纲要》的要求是一致的, 课程改革走到今天,越来越清楚地表明,《课程标准》的基本出发点就是以学生发展为本, 以把“人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展”视为数学课程的 核心理念。理解“人人都能获得良好的数学教育” 的核心理念,重点要掌握以下几点。 ⑴不同的人在数学上应得到不同的发展。核心理念的主体是“人人”,即指学习数学课 程的所有人,而不是指少数人。它表明,义务教育阶段的数学教育不是精英教育而是大众教 育,不是自然淘汰、适者生存的教育,而是人人受益、人人成长的教育,同时,也要适应学 生个性发展的需要,即既要关注“人人”,也要关注“不同的人”,既要促使全体学生数学 基本质量标准的达成, 也要为不同学生的多样性发展提供空间。 教师在教学中要注重学生的 主体性地位, 实现不同的人在数学上得到不同的发展; 要正视学生的差异, 尊重学生的个性, 促成发展的多样性;要促进学生更好地自主发展。 ⑵良好的数学教育对于学生来说是适宜的、满足发展需求的教育。适宜的数学教育,应 该是符合数学课程认知规律和学生身心发展规律的教育, 是满足学生的发展需求, 为学生未 来生活、工作和学习作好准备的教育。如当今社会发展对公民数学素养提出了更高要求,人 们越来越多地需要对收集到的数据进行分析、 处理以作出决策, 统计图和统计表等统计方式 在日常生活中已经变得很常见,因此,从满足学生发展需求的角度看,加强统计与概率知识 的学习就显得非常必要。 ⑶良好的数学教育是全面实现育人目标的教育。 全面实现育人目标对学生来说就是要促 使其全面发展。 今天的数学教育是一个对学生发展全面体现其育人价值的教育, 不仅关注数 学知识、技能的传授,也关注思想的感悟及经验的积累,不仅关注数学能力的培养,也关注 学生的情感态度与价值观的培养,即关注学生作为一个“全人”的智力与人格的全面协调的 发展。 ⑷良好的数学教育是促进公平、注重质量的教育。 “人人都能获得良好的数学教育”的 根本是体现教育的公平性。《纲要》提出:“把促进公平作为国家基本教育政策。教育公平 是社会公平的重要基础。 “把提高质量作为教育改革发展的核心任务。 ” 树立科学的质量观, 把促进人的全面发展、适应社会需要作为衡量教育质量的根本标准。”这一要求需要我们在 数学教育中予以落实。 它应达到这样几层基本要求: 一是希望为所有学生提供机会均等的数 学教育。二是在数学课程的实施过程中,教师应给予所有学生平等的关注与帮助,并针对学 生的实际情况提供适应个性发展的课程教学, 特别对于在数学学习方面处于弱势的学生, 应 给予更多的关照与辅导。三是在数学学习评价中,对学生的学习状况和结果应给予科学、公 正的评价,特别应改变“仅凭一纸试卷就将学生划分成三六九等”的做法。四是使每个学生

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都能获得相对均衡的学习结果。 ⑸良好的数学教育是促进学生可持续发展的教育。 可持续发展的数学教育主要是指: 数 学教育要遵从儿童心理发展应有的阶段性规律,循序渐进,逐步提高的原则;数学教育是生 动的、蕴涵丰富发展动因的教育;数学教育也是富有生命力的、具有自我生长力的教育。在 数学教学中, 教师除了要深钻教材, 了解学情, 研究教法外, 更应该重视构建一个有利于 “创 生”的、能促进学生可持续发展的数学教育环境。 2.数学课程内容的选择与组织 ⑴正确认识数学课程的内容与选择。 在传统意义上, 人们对数学课程内容的理解是指数 学学科中特定的事实及相应的处理方式,包括概念、命题、原理、方法、问题与结论等。今 天, 我们对上述传统认识应该有所发展, 即还应把数学学习活动和经验也包含于数学课程内 容之中,同时,对课程内容的选择也应树立正确的观念,即课程内容的选择应是根据特定的 教育价值观及相应的课程目标来选择的课程要素。 ⑵妥善处理数学课程内容组织上的几个关系。《课程标准》指出:“课程内容的组织要 重视过程,处理好过程与结果的关系;要重视直观,处理好直观与抽象的关系;要重视直接 经验,处理好直接经验与间接经验的关系。”之所以提出要处理好上述关系,是因为它反映 出当前数学课程内容在选择与组织上的基本矛盾问题, 无论是数学课程设计或是实施, 都回 避不了这些问题。这些问题具体表现为:一是关于过程与结果的关系,主要指数学课程内容 的组织与呈现应该重视过程,通过这样一个过程,学生不仅能获得知识与技能,而且能体会 感悟到这些知识技能背后更为本质的东西——知识的产生与发展,以及数学的思想、方法, 积累起一定的数学活动经验,掌握一定的学习方法,养成良好的学习习惯,从整体上促进自 己数学素养的提高。但是在强调过程的同时,也不应产生忽视结果的倾向,即要注重结果的 总结。二是关于直观与抽象的关系,主要是指数学课程在本质上是研究抽象的东西,但是, 也要考虑到学生学习数学的可接受性和心理适应性, 即教师采用恰当的直观性教学手段进行 教学就显得很有必要。比如,充分利用图形所具有的几何直观,将复杂的数学对象简明化; 恰当地构造数学问题的现实情境, 将抽象的数学关系具体化; 通过直观调动学生的直觉思维 以获得数学的猜想;通过数形结合的方法实现抽象与具体之间的转变;等等。这样的教学手 段就能获得好的教学效果。 三是关于直接经验与间接经验的关系, 主要是指学生在课程中学 习数学是以教材和老师的讲授为中介, 来获得前人已经形成的数学知识, 即学生学习主要是 以一种间接的方式来获取和形成数学经验, 主要是间接经验。 这在客观上就容易形成以教师、 课堂为中心的局面, 也容易忽视学生个体的直接经验在学习中的存在。 在当前的数学教育理 论中,一方面,学生的数学认识不是被动地接受而建立的,而是通过白己的经验主动地构建 起来的。 另一方面, 也要看到, 在学习数学间接经验的同时, 学生也在发展白己的直接经验, 特别是通逋打好知识基础, 掌握学习方法, 学生具有了主动面对生活和社会去拓展白我直接 经验的能力。所以,我们强调重视直接经验,不仅指它有利于间接经验的学习,也在于它本 身就应成为课程的重要目标。正如《纲要》所指出的:要改变课程内容“过于注重书本知识 的现状, 加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系, 关注学生的学习兴趣和 经验。” 3.数学教学的认识 ⑴关于数学教学本质的基本看法。 数学教学是对数学课程的具体实施, 是为达成一定的 数学课程目标、在特定的环境条件之下所展开的的教学活动。这一活动有如下本质特征:一 是数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程,即数学教学应该是教和学的 行为主体具有一定参与度的活动,数学教学不应该是教师单向、独白式的教学,它是教师、 学生、文本之间的多向交互关联的活动体,它通过交往获得动力,通过互动得到创生,它追 求的就是一种和谐的, 具有生命力和生长性的活动。 二是有效的教学活动是学生学与教师教

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的统一,即教学活动是在“教”和“学”这两种基本行为中展开的,这两种行为有共同的目 的指向——教学目标, 这两种行为的对象即数学教学内容。 三是学生和教师在教学活动中有 明确的角色定位,即在数学教学活动中,学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者 和合作者。 ⑵明确数学教师在课堂教学中最需要做的事, 即在数学课堂教学中, 教师最应该下功夫 的“点”在什么地方,什么是最需要去做的事。一是“激发学生的兴趣”,即在义务教育的 数学课堂上, 教师要更多地在激发学生学习兴趣上下功夫, 要通过自己的教学智慧和数学艺 术,充分展示数学的亲和力,拨动学生的好奇心,激发学生学习数学的原动力,使学生对数 学由厌学到乐学,最终达到会学。二是“引发数学思考”,即在数学教学中,强化学生对最 有价值的行为、题型、技能进行有效的思考,真正感悟到数学的本质和价值,促使学生在创 新意识上得到发展。三是“培养学生良好的数学学习习惯”,即使学生在长期的学习中逐渐 养成较稳固的学习行为、倾向和习性。四是“使学生掌握恰当的数学学习方法”,即在教学 中,改善学生的学习方式,反映数学学习的特征。 ⑶明确学生在数学学习中所应有的学习过程, 即在数学学习过程中, 学生学习应当是一 个生动活泼的、主动的和富有个性的过程;是有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、 计算、推理、验证等活动过程;认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等是 学生学习数学的重要方式。 ⑷发挥教师的主导作用,即教师要坚持面向全体、因材施教、注重启发式教学,要妥善 处理好讲授和学生自主学习的关系。 4.数学课程的教学设计 数学课程的设计是保证此次课程改革顺利实施的重要途径。 数学课程的教学设计主要从 以下几方面着手。 ⑴对数学课程作整体性、贯通式设计。本次课程改革在义务教育阶段数学课程中,将九 年的学习时间划分为三个学段:第一学段(1~3 年级),第二学段(4~6 年级),第三学 段(7~9 年级)。这种划分淡化了传统意义上的小学与初中的区分,也淡化了多年来关于 “五四制”“六三制”的一些争议,使得整个九年的课程安排更加均衡、协调。当然数学课 程结构上的这种新变化对数学课程目标、内容、实施等多个方面也带来了影响。比如在数学 课程目标上除总目标外,还必须考虑学段目标;在课程内容上,需通盘考虑九年安排和内容 的合理分布;在教学上需处理好“长线”与“短线”的关系,这就需要一线教师应充分认识 课程结构变化的意义,并在教学中主动适应这一变化,解决好由此带来的新问题。 ⑵关于数学课程目标的设计。首先,要使教师理解课程目标的定位。教学目标主要由教 育目的(是教育方针的总的培养目标的体现)、课程目标(《课程标准》提出的学生学习的 达成目标)、教学目标(单元、章节、课堂教学达成目标)三部分组成,《课程标准》中的 课程目标处于第二级,它具有“承上启下”的功能,即它既要反映《纲要》所提出的培养目 标(一级目标)的总要求,并将此要求落实于数学课程的目标之中,也能对数学课堂教学目 标 (三级目标) 发挥指导作用, 使课程目标在实践操作层面具体化。 其次, 要使教师理解 《课 程标准》 中的数学课程目标是一个具有层次结构的目标体系, 由总目标与学段目标构成, 即: 在总目标中,又由总体表述与四个方面(知识技能、数学思考、问题解决、情感态度)具体 阐述组成。而且四个方面的每一个方面,也是有层次的,它是由更加具体到 4~5 个小点来 表述的。这种由总体到具体,逐步细化的表述方式,有利于教师不仅从全局和总体上把握数 学课程的价值取向和学生学习的达成目标, 也能从具体板块内容和学段人手, 具体落实目标 要求,增强课程目标在课堂教学操作层面的指导性和针对性。再次,要使教师理解数学课程 目标陈述的基本方式,即目标表述的 4 个基本要素(行为主体(学生)、行为动词、行为条 件和达成的程度)组成,结果性目标表述常用行为动词有“了解、理解、掌握、运用”等,

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过程性目标常采用“经历、体验、探索”等目标行为动词,主要用于数学活动、情感态度等 方面的表述。 ⑶关于数学课程内容标准的设计。 以数学课程的基本理念和课程目标为依据, 根据多学 段的划分,《课程标准》安排了“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践” 四个部分内容。《课程标准》特别对“综合与实践”内容设置的目的予以强调,指出其目的 “在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题, 培养学生的问题意识、 应用意识 和创新意识,积累学生的活动经验,提高学生解决现实问题的能力。”这就使得该部分内容 设置的目标指向更加具体明确。注意综合运用知识,培养学生问题意识,积累数学活动经验 更是成为“综合与实践”这一内容的落脚点。

专题二:标准的目标解析(一)
义务教育数学课程目标既是义务教育阶段的数学课程应该达成的目标, 又是学生通过义 务教育阶段的数学课程学习应该达成的目标, 也是数学教师通过义务教育阶段的数学教学应 该达成的目标。 它们是学生在义务教育阶段的成长发展在数学课程中的具体体现。 教师教学、 学生学习,以及对教师和学生的评价,都要围绕课程目标来进行。 《课程标准实验稿》在几年实验研究的基础上,《课程标准》对课程目标进行了完善, 在具体表述上做了修改, 更加突显了课程改革倡导的使学生经历数学学习过程、 学会数学思 考等思想。同时,课程目标的设计,突显了以下特点。一是从结构上,课程目标的总体设计 仍然保持总体目标和学段目标的结构。二是明确提出“四基”,即通过义务教育阶段的数学 学习,学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本 思想和基本活动经验”。三是明确提出“发现问题、提出问题”能力的培养,特别是将原来 总目标中四个方面的“解决问题”改为“问题解决”,体现更加重视学生的问题意识,以及 学生解决问题综合能力的培养。此外,在分段目标和课程内容的表述上,尽量使用了描述结 果目标和过程目标的行为动词。 《课程标准》中的课程目标的核心是三个“应该”、四个“围绕”、四个“了解”。三 个“应该”,是数学课程、学生学习和教师教学应该达成的目标。四个“围绕”,是教材编 写﹑教师教学﹑学生学习和学习评价都要围绕课程目标来进行。四个“了解”,课程目标主 要是给教育行政部门的领导、 教材的编写者和数学教师去看的, 让他们了解义务教育阶段数 学课程设置的目的是什么,数学教学活动有哪些教育意义,数学课堂应当是怎么样的,数学 学习将使学生有什么收获。其中“课程目标”的表述是先总体后具体,再到学段的细节逐渐 展开。 数学课程的具体目标按照知识技能、 数学思考、 问题解决、 情感态度这四个方面展开, 它们也是《基础教育课程改革纲要(试行)》中“知识与技能”“过程与方法”“情感态度 与价值观”三维目标在数学课程中的具体体现。 《课程标准》的课程目标,是从学生的角度来阐述上述问题,来表述本课程打算让学生 达到的目标。因此,表述时常常会有“通过数学学习,学生能够”这样的语句,这体现了学 生在教学中的主体地位。 《课程标准》把“课程目标”分成“总目标”“总目标的四个具体方面”以及“学段目 标”三个部分。“总目标”带有全局性、方向性、指导性;“总目标的四个具体方面”,即 知识技能、数学思考、问题解决、情感态度这四个方面,也可以称为数学课程的四个具体目 标。《课程标准》中对数学课程的“总目标”表述为三点:一是获得适应社会生活和进一步 发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。二是体会数学知识之 间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发 现和提出问题的能力、 分析和解决问题的能力。 三是了解数学的价值, 提高学习数学的兴趣, 增强学好数学的信心, 养成良好的学习习惯, 具有初步的创新意识和科学态度。 数学课程 “总

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目标”的表述,言简意赅,即结合数学教学的特点,分别从获得“四基”、增强能力、培养 科学态度的角度,用明确区分又相互联系的三句话表述,又体现了《纲要》中规定的三维目 标,也体现了素质教育和全面育人的思想。下面对这三点进行具体分析。 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、 基本活动经验 (1)保留数学的基础知识和基本技能的原因。过去的数学课程,非常强调“双基”,即 要求学生基础知识扎实,基本技能熟练,这是正确的,它在历史贡献是应该承认的,但是, 对于“双基”的内容,在“知识爆炸”的时代,在现代信息技术突飞猛进的时代,也必须与 时俱进。如繁杂的计算、细枝末节的证明技巧等,要有所删减;而对于估算、算法、数感、 符号感、收集和处理数据、统计初步、数学建模初步等,又要有所增加。但这还不够,所以 《课程标准》这次增加了两条,表述为“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基 础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”而且把“双基”列为“四基”的前两条, 从而也强调了“双基”。 (2)发展为“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的三点理由。一 是因为“双基”仅仅涉及上述三维目标中的一个目标,就是知识与技能,而增加这两条,则 还涉及三维目标的另外两个目标,就是过程与方法,情感态度与价值观。二是因为有些教师 片面地理解双基,往往在实施当中见物不见人,而教学必须是以人为本,所以增加数学思想 和活动经验就是直接与人相关。 三是因为虽然双基是培养创新性人才的基础, 但是创新性人 才不能仅仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养,思维训练和积累经验等也十分重要。 (3)明确获得数学基本思想的内涵。数学思想是数学科学发生、发展的根本,是探索研 究数学所依赖的基础,也是数学课程教学的精髓。数学思想的内涵十分丰富,也有学者通俗 地把“数学思想”说成“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西”。例如:从数学角度看 问题的出发点,把客观事物简化和量化的思想.周到地思考问题和严密地进行推理,以及建 立数学模型的思想, 合理地运筹帷幄??一个人完成学业进入社会后, 如果不是在与数学相 关的领域工作, 他学过的具体的数学定理和公式可能大多都用不到, 若干年以后就渐渐忘记 了,而学习数学知识的同时他如果也获取了上述这些数学思想,却一定会终生受益。 《课程 标准》中所说的“数学的基本思想”主要是指:数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建 模的思想。人类通过数学抽象,从客观世界中得到数学的概念和法则,建立了数学学科;通 过数学推理,进一步得到大量结论,使数学科学得以发展;通过数学建模,把数学应用到客 观世界中,产生了巨大的效益,又反过来促进数学科学的发展。 处于“数学的基本思想”下一层次的数学思想,还有很多。例如,由“数学抽象的思想” 派生出来的分类思想,集合思想,数形结合思想, “变中有不变”的思想,符号表示的思想, 对称思想,对应思想,有限与无限的思想等;由“数学推理的思想”派生出来的归纳思想, 演绎思想,公理化思想,转换化归思想,联想类比思想,逐步逼近思想,代换思想,特殊与 一般的思想等;由“数学建模的思想”派生出来的简化思想,量化思想,函数思想,方程的 思想,优化的思想,随机的思想,抽样统计的思想等。 这里值得注意的是,在用数学思想解决具体问题的时候,会逐渐形成程序化的操作,这 就构成了数学方法。数学方法也是有层次的,处于较高层次的可以称为数学的基本方法。如 有演绎推理的方法、合情推理的方法、变量替换的方法、等价变形的方法、分情况讨论的方 法等。处于下一个层次的数学方法有:分析法、综合法、穷举法、反证法、构造法、待定系 数法、数学归纳法、递推法、消元法、降幂法、换元法、配方法、列表法、图象法等。数学 思想常常通过数学方法去体现,数学方法又常常反映了某种数学思想,它们之间还是有联系 的,但是数学方法跟数学思想是不同的。 数学思想往往是观念的、 全面的、普遍的、 深刻的、 一般的、内在的、概括的,而数学方法往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、

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程序的、技巧的 ,这些形容词就把这两者给区别开了。教师在讲授数学方法的时候,应该 努力去反映和体现数学思想,让学生了解体会这些数学思想,从而提高学生的数学素养,这 会让学生终身受益。 (4)获得数学基本活动经验的理解。这里说的数学活动既包括学生在课堂上学习数学 时的探究性学习活动, 也包括与数学课程相联系的学生实践活动; 既包括生活中进行的活动, 也包括课程教学中特意设计的活动。活动是一个过程,不但体现出学习结果是课程目标,而 且学习过程也是课程目标。 课程标准提出来让学生获得数学活动经验, 还有一个重要目的就 是培养学生在活动当中从数学的角度进行思考, 直观地合情地获得一些结果。 数学活动经验 不仅是解题的经验,更重要的是思维的经验,是在数学活动当中思考的经验,学生形成智慧 不仅靠知识,也靠在实践当中取得经验。数学思想也不仅在推导当中去形成,还需要在数学 活动经验的积累上去形成。基本的数学活动经验分别是直接的活动经验、间接的活动经验、 教师设计的活动经验、学生思考的活动经验。 (5)“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”是一个有机的整体, 是互相联系、互相促进的。基础知识和基本技能是数学教学的主要载体,需要花费较多的课 堂时间;数学思想则是数学教学的精髓,是统领课堂教学的主线;数学活动是不可或缺的教 学形式。 “四基”既然比双基增加两条,在课堂时间的安排上就应该有意识地给“数学思想” 的教学预留适当的时间,但是“数学思想”的教学不能空洞地进行,一定要以数学知识为载 体,并且应该注意将数学知识与数学思想融为一体。此外,在教学评价上也应该给“数学思 想”和“数学活动”以适当的位置和空间。 2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系;运用数学的思 维方式进行思考;增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力 本目标主要从以下几方面进行理解。 (1)体会数学这三个方面的相互联系。要学生体会三个方面的联系,首先要体会数学知 识之间的联系,一堂课可能重点学习一个数学知识,但是数学是一个整体,任何数学知识都 不是孤立的,一段时间以后,教师应该引导学生把这些知识点连接成线,再把这些线进一步 连接成网, 在自己的头脑中形成网状的知识体系。 这样有利于学生全面认识和准确理解相关 的数学知识,有利于学生养成良好的习惯,增强能力,逐渐善于把学到的数学知识建构成网 状的知识体系,从而提高学生对于数学的整体认识和宏观把握,提高学生的数学素养。其次 是体会数学与其他学科之间的联系, 这主要是说数学学科与其他学科有广泛的联系, 学生不 应孤立地学习数学, 而应注意数学与其他学科之间的联系。 至于 “数学与生活之间的联系” , 也可表述为“数学与实践之间的联系”,由于《课程标准》是针对义务教育阶段的课程,所 以表述为“数学与生活之间的联系”会更加贴近这一年龄段的学生。数学来源于实践,又应 用于实践, 与实践的关系非常密切。 千万不要让学生误以为数学是数学家用符号编造出来的 “天书”,误以为学数学仅仅是为了解题和应付考试。 (2)学会运用数学的思维方式进行思考。学会思考的重要性不亚于学会知识,它将使 学生终生受益。这种思考就是“运用数学的思维方式进行”的思考,也可以称为“数学方式 的理性思维” 它包括形象思维、 。 逻辑思维和辩证思维, 包括合情推理和演绎推理 (也称 “逻 辑推理”)等。在义务教育阶段数学课程进行的全过程,都应该注意培养学生的数学思维。 其中的第一学段和第二学段, 学生较多接触和学习的是合情推理, 第三学段则必须加强演绎 推理的教学。合情推理是从范围较小的命题得到范围较大的命题,是“从特殊到一般”的推 理;演绎推理则是从范围较大的命题得到范围较小的命题,是“从一般到特殊”的推理。合 情推理包含的范围相当广泛,如分类、归纳、类比、联想、猜测等。当然,“数学思维”中 也包含以“归纳”为特征的“合情推理”,如前面提到的分类、归纳、类比、猜测,还有解 读“四基”那一段里提到的“预测结果”的思维和“探究成因”的思维,都是得出新结论的

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一些途径,这对于培养创新人才是不可或缺的。还有数学课程中的“统计”部分则有自己的 思维规则,不同于数学的逻辑推理,它是从数据点发的,不像数学是从公理和定义点发的; 统计的思维规则是以“归纳”为特征的,不像数学是以“演绎”为特征的;统计的结论只有 “好”与“差”的区别,不像数学是“对”与“错”的区别。教师对于“统计”与“数学” 在思维方式上的这些区别应有清醒的认识,并且要以恰当的方式渗透给学生。 (3)增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。《课程标准》围绕关键词 ——“问题”,表述“增强能力”的课程目标,一句是发现问题和提出问题”,另一句是“分 析问题和解决问题”。所谓“发现问题”,是经过多方面、多角度的数学思维,从表面上看 来没有关系的一些现象中找到数量或者空间方面的某些联系, 或者找到数量或者空间方面的 某些矛盾,并把这些联系或者矛盾提炼点来。所谓“提出问题”,是在已经发现问题的基础 上,把找到的联系或者矛盾用数学语言、数学符号集中地以“问题”的形态表述出来。对于 “分析问题和解决问题”而言,其中的“已知”和“未知”都是清楚的,需要的是利用已有 的概念、性质、定理、公式、模型,采用恰当的思路和方法得到问题的答案。但是对于“发 现问题和提出问题”而言,其中的“已知”和“未知”都是不清楚的,所以难度更大,要求 吏高。可是对于培养学生的创新意识和创新精神,“发现问题和提长问题的能力是必需的。 这是《课程标准》的一个新发展,也是对于数学教学较高层次的要求。为此,教师在数学教 学中要努力创设适当的情境, 让学生用数学的眼光来看待和分析这些情境, 经常采用探究式 的教学方法,引导学生发现问题和提出问题,也引导学生分析问题和解决问题,从而培养学 生的相应能力。 3. 了解数学的价值,提高学习数学的兴趣,增强学好数学的信心;养成良好的学习习 惯,具有初步的创新意识和科学态度 这里集中地谈到学生通过数学学习在“情感态度与价值观”方面的提高。主要从以下几 方面理解。 (1)了解数学的价值,提高学生学习数学兴趣。要让学生了解数学的价值,教师在教学 中就要注意说明数学在日常生活中的应用, 在工程技木中的应用, 在其他学科中的应用和在 实践中的应用。对于低年级学生,要特别注意大量举例,说明数学在他们这个年龄段人群中 的应用。同时,还要向学生介绍,他们在学会数学知识的同时,也要学到从数学角度看问题 的出发点,学到数学方式的理性思维,使自己思考更有条理,表达更加清晰,提高自己的数 学素养。当然教师还要讲究教学方法,让学生看到数学内在的本质和自身的魅力,从而激发 他们学习数学的兴趣,实现“人人都能获得良好的数学教育”的目标。 (2)养成良好的数学学习习惯和科学态度。良好的学习习惯包括:认真对待学习,勤奋 刻苦,积极参与探究.勇于坚持真理和纠正错误,及时完成作业,有饱满的学习热情,有强 烈的求知欲,不畏惧困难,愿意提问、咨询、反思和质疑,乐于与人交流、合作,会合理安 排时间,等等。习惯成自然,当教师指导学生把上述良好的学习习惯养成后,不但对他们今 后的学习有益,而且对学生的终生成长都有益。 (3)创新意识和科学态度。创新意识是创新能力的基础,对于义务教育阶段的学生,需 要关注他们创新意识,让他们学会发现问题和提出问题,有自己的独立见解,愿意讨论,敢 于质疑。其实在发现问题直至解决问题的教学活动中,学生不但会有创新意识的提高,也一 定会有“创新能力”的提高,只不过对于不同年龄的学生,这种“能力”的含义有所不同。 教师对于在教学中特别优秀的学生,应该给予特殊的培养,增加难度,对他们进行个性化教 学。对于“科学态度”,有许多内涵,如坚持真理,修正错误,严谨周密,实事求是等。其 中“实事求是”是科学态度的核心。让学生具有良好的科学态度,也是数学教学贯穿始终的 目标。如数学的结论(不包括数学课程中的统计部分)是通过严格的逻辑推理得到的,对就 是对,错就是错,来不得半点儿的含糊,这对于所有人都是公开、公正、公平的,所以,数

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学教学特别适合培养学生实事求是的科学态度。 教师在课堂讨论中, 应该利用一切机会让学 生在方法上、逻辑上和结论上明辨是非。有不同意见是正常的,教师应该鼓励学生在课堂讨 论中争论,不要过早表态,可以点拨和引导,使争论更加涉及问题的本质,使争辩的是非越 来越分明。 以上这些“情感态度与价值观”方面的课程目标,不能脱离“知识与技能”的载体单独 地传授,空洞地讲解。教师应该善于把这些课程目标融人教学过裎中去实现,并且主动地、 每时每刻地关注这些课程目标的实现。这也再次体现了“过程也是目标”。学生在“情感态 度与价值观”方面的这些发展,不仅对学习数学会产生积极的效应,而且对学习其他学科也 会产生积极的效应; 不仅在学习方面会产生积极的效应, 而且在做人方面也会产生积极的效 应;不仅在义务教育阶段会产生积极的效应,而且对学生的终生成长都会产生积极的效应。

专题三:标准的目标解析(二)
具体目标是对总目标的具体化, 教师只有认识到具体目标的四个方面及四个方面的相互 关系,才能更好地理解总目标。 1.具体目标的四个方面 义务教育阶段数学课程的总目标,具体体现在“知识技能” “数学思考” “问题解决” “情 感态度”等四个方面。在义务教育阶段,不但让学生掌握知识技能是重要的,而且让学生学 会数学思考, 经历问题解决的全过程, 使学生发展良好的情感态度也是重要的。 在数学思考、 间题解决中,学生能够积累数学活动经验,感悟数学思想,提高发现和提出问题、分析和解 决问题的能力,实现义务教育阶段数学课程的总目标。因此,这四个方面既是三维目标在数 学课程中的体现,也是总目标的三点内容的具体化。 (1)知识技能。 《课程标准》在这里分以下 4 点表述。 ·经历数与代数的抽象、运算与建模等过程,掌握数与代数的基础知识和基本技能。 ·经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程,掌握图形与几何的基础 知识和基本技能。 ·经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程,掌握统计 与概率的基础知识和基本技能。 ·参与综合实践活动,积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动 经验。 知识技能就是以前所说的“双基” ,即基础知识和基本技能,其内容一方面应随科技的 发展与时俱进;另一方面又应有相对的稳定性。学生对于基础知识和基本技能的掌握,要尽 量达到扎实和熟练的程度,为此,不应排斥模仿、记忆、适当重复和变式练习等行之有效的 学习方式,但要在理解的基础上模仿和记忆,而不是机械地模仿,也不是死记硬背。 《课程 标准》分别从数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域来阐述数学课程在 “知识技能”上应该达到的目标。前三个领域是数学课程的三个分支,所以表述的句式都是 “经历??过程,掌握??的基础知识和基本技能。 ”第四个领域有特殊性,表述的句式为 “参与??活动,积累??经验。 ”这里的“经历” “参与”两个行为动词,都是表述“过程” 的,说明《课程标准》强调了在达成知识技能目标时应该关注教学过程。 《课程标准》对“知 识技能方面”的这种表述,是希望学生经历学习知识技能的过程,让学生在感悟、理解的基 础上,掌握知识技能,同时积累数学活动经验,感悟数学思想。其中,对于基础知识和基本 技能的表述,都用了“掌握”一词,这表明《课程标准》对于“双基”的目标要求是较高的。 但是《课程标准》没有用“扎实” “熟练”这两个修饰词,是提醒教师在“双基”教学中要 防止题海战术,特别是防止大量的机械记忆类、重复操练型习题。此外,对于什么是学生应 该掌握的“基础知识”和“基本技能” ,在“知识爆炸”的时代,在现代信息技术突飞猛进

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的时代,必须与时俱进。 关于学生如何才算掌握了数学的基础知识和基本技能, 可从以下几点考虑: 一是对于重 要的数学概念、性质、定理、公式、方法、技能,学生应该在理解的基础上是否记住其结论 的本质,并且会运用;二是学生能够了解这些数学概念、结论产生的背景,并通过不同形式 的探究活动,体验数学发现和创造的历程;三是学生应该感悟、体会、理解其中所蕴涵的数 学思想,并且能够与后续学习中有关的部分相联系。 对于前三个领域的“知识技能”目标, 《课程标准》关于具体经历什么过程的表述,不 同领域并不一样, 这反映了 《课程标准》 认为该领域 (数学分支) 的教学中学生分别应该 “经 历”的重点所在。 “数与代数”领域的重点是“经历数与代数的抽象、运算与建模等过程” “图形与几何”领域的重点是“经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程” “统计与概率”领域的重点是“经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获 取信息的过程。 ”对于“综合与实践”领域中学生在“知识技能”上应该达到的目标, 《课程 标准》这里用的行为动词是“参与”和“积累”“参与”应该比“经历”的要求较高, 。 “经 历”只需要学生在场,而“参与”则不但学生必须“在场” ,还应该在其中动手动脑,实际 操作。这才体现了“实践”活动。这里的“参与” ,实际上既包含学生认知的参与,也包括 行为的参与,还包括情感的参与。 “积累”这一动词后则表述为“积累综合运用数学知识、 技能和方法等解决简单问题的数学活动经验” ,这里也有三点值得注意,一是“知识、技能 和方法”这种多角度的阐述,体现了实践活动的“综合”性;二是解决“简单”问题的阐述, 体现了义务教育阶段要求的适当分寸;三是“数学”活动经验的阐述,体现了这些活动必须 围绕“数学”来展开。 (2)数学思考。 《课程标准》中分以下 4 点表述。 ·建立数感、符号意识和空间观念,初步形成几何直观和运算能力,发展形象思维与抽 象思维。 ·体会统计方法的意义,发展数据分析观念,感受随机现象。 ·在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中,发展合情推理和演绎推理 能力,清晰地表达白己的想法。 ·学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式。 《课程标准》从上述四点来阐述数学课程在“数学思考”上应该达到的目标。前三点从 数与代数、图形写几何、统计与概率、综合与实践四个领域来阐述(其中第一点涉及两个领 域) ,后一点则是概括的阐述。指出了“数学思考”这一方面课程目标希望达到的三个目的: 让学生学会独立思考,体会数学思想,体会数学思维。让学生学会思考,特别是学会独立思 考,是数学课程培养学生创新能力的核心,而学会思考的重要方面是学会数学抽象,学会数 学推理,学会数学思维。前三点是联系四个领域对这三个目的的具体说明。其中,第一点中 “建立数感、符号意识” “初步形成运算能力” 是针对数与代数领域的; “建立空间观念” “初 步形成几何直观”是针对图形与几何领域的;而“发展形象思维与抽象思维”则是同时针对 这两个领域的。第二点是从统计与概率领域来阐述,应注意其中“体会意义” “发展观念” “感受现象”的表述,它们是用来表达“数学思考”的。第三点从综合与实践领域来阐述, 应注意“发展合情推理和演绎推理能力”的短语,它们也是用来表达“数学思考”的。从培 养创新性人才考虑,关于数学思考还有两个“关系”,教师在教学中需特别注意,一是合作 探索与独立思考的关系;二是演绎推理与归纳推理的关系。 《课程标准》不但强调学生的合 作探索,也强调学生的独立思考。不但强调培养学生的演绎推理能力,也强调培养学生的归 纳推理能力。 (3) 问题解决。 《课程标准》中分以下 4 点表述。 · 初步学会从数学的角度发现问题和提出问题, 综合运用数学知识解决简单的实际问题,

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增强应用意识,提高实践能力。 ·获得分析问题和解决问题的一些基本方法,体验解决问题方法的多样性,发展创新意 识。 ·学会与他人合作交流。 ·初步形成评价与反思的意识。 “问题解决”这一短语与“解决问题”不完全相同,它不但是一种教学方式,是展开课 程内容的一种有效形式,也是学生应该掌握的学习形式和应该具备的能力,也是课程目标。 它包括从数学角度发现、提出、分析和解决问题的四个方面。这里提及的“问题” ,并不是 数学习题那类专门为复习和训练设计的问题, 也不是仅仅依靠记忆题型和套用程式去解决的 问题,而是展开数学课程的“问题”和应用数学去解决的“问题” ,这些问题应该是新颖的, 有较高的思维含量,并有一定的普遍性、典型性和规律性。 “问题”又往往会与生活、生产 实际相联系,所以这里还强调了“实践”和“应用” ,表述为“增强应用意识,提高实践能 力” 。关于解决问题的策略、方法和途径可以是多种多样的, 《课程标准》强调了这种“多样 性” ,并且希望学生由此发展创新意识。学生独立思考,自己发现和提出问题,是对创新意 识的一种培养。因此,教师应鼓励学生思考和交流,形成自己对问题的理解。在课堂探究时 如果对于同一问题出现不同的解决方法, 教师不应轻易地否定某一种方法, 而应该因势利导, 让学生在讨论和对比中自己去认识不同方法的优劣,同时也体验了“解决问题方法的多样 性”《课程标准》还提到“学会与他人合作交流” 。 ,则是指“情感态度”方面的目标,在“问 题解决”的过程中教师应该注意引导学生学会交流,学会合作,既包括学会倾听,也包括学 会表达,还包括共同分析问题、解决问题。一方面要听懂别人的思路,补充或者修正别人的 思路;另一方面要准确、简明地表述自己的思路,以及从别人对自己思路的评论中吸取正确 的成分,改善自己的思路。在“问题解决”的过程中,教师应该引导学生独立思考、主动探 索、合作交流,这是使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得基本 的数学活动经验和实践能力的主要途径。 《课程标准》还希望在“问题解决”的过程中或者 最后,都要有“评价与反思”的环节,去关注﹑回顾和总结问题解决的过程,而不是仅仅关 注问题解决的结果。这样,可以锻炼学生挖掘和抓住事物本质的能力,以及培养学生解决问 题“优化”的思想。同时,教师在这一环节中也应明确表态,以使学生知道孰优孰劣,有所 收获。在义务教育阶段,只要求学生“初步形成评价与反思的意识” ,即了解评价与反思的 含义,经历这样的活动,认识其作用和好处。 (4) 情感态度。 《课程标准》中分以下 5 点表述。 ·积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲。 ·在数学学习过程中,体验获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立自信心。 ·体会数学的特点,了解数学的价值。 ·养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。 ·形成坚持真理、修正错误、实事求是、严谨求实的科学态度。 “情感态度方面”的课程目标,分 5 点阐述了数学课程在“情感态度价值观”上应该达 到的目标。一是学生对于数学活动有积极的态度, “对数学有好奇心和求知欲” ,因为学习兴 趣是学生主动学习的根本动力, 而好奇心和求知欲是发展兴趣的基础。 数学课程首先应该能 够吸引学生的注意,这是在“情感态度”方面起码的课程目标;如果课程还能够普遍引起学 生的“好奇心和求知欲” ,就不简单了,这不但需要课程内容的合适,更需要教师的教学艺 术。二是要让学生“体验获得成功的乐趣” ,这是培养学生求知欲的重要途径,也有利于学 生建立自信心。 这要求教材的难易适当, 也需要在学生获得点滴成功时教师要恰如其分的肯 定和鼓励。 但是未必所有学生在每一次都能有成功的体验, 数学学习对许多学生还是一个艰 苦的过程,所以要让学生在遇到困难和战胜困难的过程中“培养克服困难的意志” ,这需要

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教师适当的引导, 特别是在学生遇到不同程度困难时不同方法的引导。 如果学生在不顺利时 不仅有“克服困难的意志” ,而且能够找出克服困难的办法,体验到克服困难的乐趣,便会 逐渐“建立自信心” 。三是价值观方面的课程目标,让学生“体会数学的特点,了解数学的 价值。 ”这需要教材得当的表述,也需要教师得当的教学。数学的价值是多方面的,了解了 数学的价值,才有利于巩固对数学的求知欲。四是养成艮好习惯方面的课程目标,要让学生 “养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯” ,这与课程“总目标”第三 点的表述相呼应,且具体强调了四个学习习惯。 “认真勤奋”的本质是集中精力,这是发展 其他习惯的基础; “独立思考”的重点在于思考要独立,这是积累数学经验的基础; “合作交 流”则是对于独立思考的补充,可以培养与他人合作的意识; “反思质疑”可以使学生学会 深入思考, 养成批判思维的习惯。其中“认真勤奋” 是对待一切工作的良好态度和习惯, “独 立思考”是对待问题时的良好习惯, “合作交流”是与他人共同工作时的良好习惯, “反思质 疑” 是对待结论时的良好习惯。 学生在学习活动中养成这些良好的习惯, 会使他们终生受益。 “反思”是学生对于自身活动的过程和结果进行思考和总结; “质疑”是学生对于书本或者 他人的推理、结论进行思考、表示怀疑。两者都需要学生自己独立地“再思考” 。当学生进 行“质疑”时,教师需要注意鼓励学生为自己的疑问寻找证据,以否定、修正或证实他人的 结论,特别是当事实表明学生的怀疑是错误的时候,应指导学生理智地放弃怀疑,实事求是 地尊重科学,同时对其敢于质疑的精神给予恰当的肯定。五是科学态度方面的课程目标,要 让学生“形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。 ”在课堂探索中或者合作交流中, 常常会有不同观点、不同方法的碰撞,这时,在达成“知识技能” “数学思考” “问题解决” 等目标的同时,也应该关注达成“严谨求实的科学态度”方面的目标。在思考问题时应该严 格、谨慎,在对待自己或者他人的错误时应该敢于和善于“坚持真理、修正错误。 ” 2.具体课程目标四个方面的关系 在《课程标准》中,当叙述了数学课程在知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四 个方面的具体目标后指出,这四个方面不是相互独立和割裂的,而是一个密切联系、相互交 融的有机整体。教师在课程设计和教学活动的组织中,应同时兼顾这四个方面的目标。这些 目标的整体实现,是学生受到良好数学教育的标志,它对学生的全面、持续、和谐发展有着 重要的意义。数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习,知识技能的学 习必须有利于其他三个目标的实现。 (1)这四个方面是密切联系的整体。 《课程标准》对于具体目标四个方面的分别表述, 可能会使读者产生这四个方面相互独立的错觉, 《标准》这里特别用“不是??而是”的句 型,从正反两个方面进行解释,以防止这种错觉。这里表达了三层意思:这四个方面,不但 不是“割裂的” ,而且也不是“相互独立”的;这四个方面,不仅是“密切联系”的,而且 是“相互交融的” ;它们实际上是一个“有机整体” 。 (2)教学中应同时兼顾这四个方面的目标。教师在课程设计和教学活动组织中,应同时 兼顾这四个方面的目标, 而且在实践上需要教师有较高的统筹兼顾的能力, 特别是在备课设 计中,只有兼顾知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面,才能在教学活动中有 效地实施。并且备课设计时一般有比校充裕的时间,这样便于全面、周到、充分的思考,以 做到统筹兼顾。 (3)四个方面目标的整体实现是“学生受到良好数学教育的标志”《课程标准》在这里 。 给出了“人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展”表述的完整解 释: “这些目标的整体实现,是学生受到良好数学教育的标志。 ”这样,就把知识技能、数学 思考、问题解决、情感态度四个方面具体目标的整体实现,提高到一个新的高度去认识,更 加体现出它们的重要意义。而且这种整体实现,不仅有重大的现实意义,还有重大的长远意 义,它不但有利于学生学习数学课程当时的成长,还能够促进学生未来的发展,并且还能使

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学生的发展不是片面的,而是全面的,不是阶段的,而是持续的,所说的四个方面不是各自 独立的,而是和谐融合的。这也进一步诠释了什么是“良好的数学教育” 。这里“和谐”一 词,与“全面”一词并不重复, “全面”是指从知识技能一个方面扩展为四个方面, “和谐” 则与前面 “相互交融” 的表述相呼应, 学生在这四个方面的发展. 不是各自分离的四维发展, 而是“密切联系” “相互交融的”四个维度的发展。 (4)四个方面目标是互相促进的。 “数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识 技能的学习,知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。《课程标准》在这里强调具 ” 体目标的四个方面是互相促进的,同时也阐述了结果目标与过程目标的关系。知识技能、数 学思考、问题解决、情感态度这四个方面的具体目标,表面上似乎是并列的,其实可以分为 两组:知识技能的目标往往是通过学生学习的结果体现和达成的,简称为“结果目标” ;数 学思考、问题解决、情感态度的目标往往是通过学生学习的过程体现和达成的,简称为“过 程目标” 。但是,知识技能的目标表述中也有“经历” “参与”这些行为动词,其中也包含过 程目标;数学思考、问题解决、情感态度的目标表述中也有关于运算能力、推理能力、解决 问题能力方面的内容,所以其中也包含结果目标。即“结果目标”与“过程目标”不能截然 分开。当前,数学课程不仅要向学生提供数学的知识技能,而且也要促进他们在数学思考、 问题解决、情感态度方面的成长。这里,两者不能偏废,但知识技能的目标是基础,数学思 考、问题解决、情感态度的目标不能离开知识技能凭空地实现。事实上,数学思考、问题解 决、 情感态度这些 “过程目标” 的得当实现, 一定会使知识技能的目标更好地实现; 但是 “经 历过程”并不仅仅是为了“结果目标”的实现,这些过程本身也是目标。所以《课程标准》 强调, “知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现” 要求教育者在这方面必须进行主 , 观努力,在实施知识技能目标的过程中, “有利于其他三个目标的实现” 。这种教育者的主观 努力,主要指在知识技能的教学中千方百计地融入和渗透数学思考、问题解决、情感态度的 课程目标。 3.数学课程的学段目标 “学段目标”分三个学段来阐述课程在知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个 方面的具体目标。关于具体阐述,全文结合了每个学段的学习内容,也结合了每个学段学生 的年龄心理特点。 在阐述知识技能和数学思考的目标时, 又会兼顾到课程的 “数与代数” “图 形与几何” “统计与概率”三个领域;而对于“综合与实践”领域,在“学段目标”中没有 做单独的表述。 《课程标准》在“内容标准”部分,虽然是分学段详细表述的,但限于篇幅 和分工,主要表述的是课程“知识技能”方面的内容。要求教师也要同样关注课程在数学思 考、问题解决、情感态度方面的具体目标,为此,教师可以参照“学段目标”三个学段中相 应的部分,并且在课程设计时把四个方面的具体目标融会贯通。 面分别对于《课程标准》中知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的“学 段目标”每个都举一个例子,纵向地将三个学段的表述作简要的对比和解读,从而清晰地看 出这些表述是如何层层深入的。这种“层层深入”包含两个方面的意思:一是后一个学段的 要求应该比前一个学段更加深入,体现循序渐进;二是不应把过高的要求放在较低的学段, 那样会欲速则不达。 (1)知识技能方面。 《课程标准》中的学段目标在“知识技能”的结果目标表述中,大 量使用了“经历” “体会” “感受” “体验” “探索”等表达过程目标的行为动词,这再次表明 课程的结果目标与过程目标是密不可分的,教师在教学活动中一定要统筹兼顾。如在“数与 代数”领域中,学段目标关于知识技能方面的表述,可以分为“数学抽象” “数与式” “数学 运算”三个小方面,我们看它是如何层层深入的。 第一,关于数学抽象的表述,第一学段为“经历从日常生活中抽象出数的过程” ;第二

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学段为“体验从具体情境中抽象出数的过程” ;第三学段为“体验从具体情境中抽象氙数学 符号的过程” 。第一学段的行为动词为“经历” ,第二、第三学段的行为动词上升为“体验” ; 第一学段涉及的范围仅仅是“从日常生活中” ,第二学段的范围上升为一般的“从具体情境 中” 第一、 ; 第二学段的中心短语是 “抽象出数” 第三学段的中心短语是 , “抽象兵数学符号” 。 这些表述,都体现出逐渐深化的过程。 第二,关于数与式的表述,第一学段为“理解万以内数的意义,初步认识分数和小数。 ” 第二学段为“认识万以上的数;理解分数、小数、百分数的意义,了解负数。 ”第三学段为 “理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数。 ”这些表述在逐渐扩大数的范围,至 第三学段不但扩大到“有理数、实数” ,还扩大到“代数式、方程、不等式、函数” 。 第三, 关于数学运算的表述, 第一学段为 “体会四则运算的意义, 掌握必要的运算技能, 能准确进行运算;在具体情境中,能选择适当的单位进行简单的估算。 ”第二学段为“掌握 必要的运算技能;理解估算的意义;能用方程表示简单的数量关系,能解简单的方程。 ”第 三学段为“掌握必要的运算(包括估算)技能;探索具体问题中的数量关系和变化规律,掌 握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。 ”虽然三个学段都使用了“掌握必要的 运算技能”的短语,但是第一学段是针对“万以内的数”和简单的“分数和小数。 ”第二学 段是针对“万以上的数”和“分数、小数、百分数” 。第三学段则是进一步针对“有理数、 实数、代数式、方程、不等式、函数” 。关于估算,第一学段只要求“在具体情境中,能选 择适当的单位进行简单的估算” ,第二学段则要求“理解估算的意义” ,第三学段进一步要求 “掌握必要的估算技能” 。关于方程,第一学段没有要求,第二学段只要求“能用方程表示 简单的数量关系,能解简单的方程” ,第三学段则进一步要求“探索具体问题中的数量关系 和变化规律,掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。 ”这些表述也都体现出 逐渐深化的过程。 (2)数学思考方面。下面以“图形与几何”领域及思维和推理两方面进行阐述。在“图 形与几何”领域,学段目标关于数学思考方面的表述,第一学段为“在从物体中抽象出几何 图形、想象图形的运动和位置的过程中,发展空间观念” 。第二学段为“初步形成空间观念” “感受几何直观的作用” 。第三学段为“在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中, 进一步发展空间观念;经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观。 ”这里从“发展 空间观念”到“初步形成空间观念” ,再到“进一步发展空间观念” ;从“感受几何直观的作 用”到“初步建立几何直观” ,也都体现出逐渐深化的过程。在思维和推理的方面,第一学 段为“在观察、操怍等活动中,能提出一些简单的猜想” “会独立思考问题,表达自己的想 法” 。第二学段为“在观察、实验、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力,能进行有条 理的思考,能比较清楚地表达白己的思考过程与结果” 。第三学段为“体会通过合情推理探 索数学结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的数学活动中,发展合情推理与演 绎推理的能力” “能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式” 。这里关于思维的表述,从 “会独立思考问题”到“能进行有条理的思考,能比较清楚地表达自己的思考过程与结果” , 再到“能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式” ,也体现出逐渐深化的过程。关于推 理的表述,从“能提出一些简单的猜想”到“发展合情推理能力” ,再到“发展合情推理与 演绎推理的能力” ,也体现出逐渐深化的过程。 (3)问题解决方面。下面仅以发现问题、提出问题和初步地解决问题方面为例进行分 析。这方面学段目标的表述为:第一学段是“能在教师的指导下,从日常生活中发现和提出 简单的数学问题,并尝试解决” ;第二学段是“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问 题,并运用一些知识加以解决” ;第三学段是“初步学会在具体的情境中从数学的角度发现 问题和提出问题,井综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题,增强应用意识,提高 实践能力。 ”这里关于发现问题、提出问题,第一学段中的表述“能在教师的指导下” ,意味

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着还不够主动, 第二学段的表述改为 “尝试” ,就多少有了一点主动性, 第三学段发展为 “初 步学会” ,体现出逐渐深化的过程。第一、第二学段的表述为局部的“从日常生活中” ,第三 学段的表述为一般的“在具体的情境中” ,也体现出逐渐深化的过程。关于初步地解决问题, 第一学段中的表述为“尝试解决” ,第二学段中的表述为“运用一些知识加以解决” ,第三学 段发展为“综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题” ,也体现出逐渐深化的过程。 (4)情感态度方面。下面仅以引起好奇心和求知欲两方面为例进行分析。第一学段表 述为“对身边与数学有关的事物有好奇心,能参与数学活动。 ”第二学段为“愿意了解社会 生活中与数学相关的信息,主动参与数学学习活动。 ”第三学段为“积极参与数学活动,对 数学有好奇心和求知欲。 ”这里的中心短语,从“有好奇心,能参与”到“愿意了解” “主动 参与” ,再到“积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲” ;范围也从“身边与数学有关 的事物”到“社会生活中与数学相关的信息” ,都体现出逐渐深化的过程。 从以上可以看到, 《课程标准》在关于三个学段的学段目标中,对于具体目标的每一方 面的表述,都照顾到各个学段学生的年龄心理特点,体现了层层深入、步步提高的意图,也 反映了课程内容螺旋式上升的思路。这是符合学生的认识规律的。

专题四:标准中的核心概念(一)
在前期课程改革实验总结研究的基础上,课程标准修订组通过广泛听取各方意见和建 议,对《课程标准实验稿》中提出的 6 个核心概念“数感、符号感、空间观念、统计观念、 应用意识和推理能力”做了调整。共提出了 10 个核心概念。这就是:数感、符号意识、空 间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。 为什么提出核心概念?主要是由于在研制课程标准的过程中, 感觉在数学教学中, 应该 凸显一些在整个数学教学中最重要的东西, 那么用什么样的方式, 把这些最重要的东西凸显 出来?经过认真思考、讨论,一致认为应该用一些核心词或者叫做核心概念来体现,最后确 定为核心概念。核心概念的确定,对于教师教学和学生的学习都具有极为重要的意义。一是 这些核心概念的内涵在性质上都是体现学习主体——学生的特征, 所涉及的都是学生在数学 学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等,因此,可以认为, 它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养,是促进学生发展的重要方面。 二是《课程标准》将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出,是想表明这些概念不 是设计者超乎于数学课程内容之上外加的, 而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中, 或者 是与课程内容紧密结合的。 三是核心概念从本质上体现的教是数学的基本思想, 即指对数学 及其对象、 数学概念和数学结构及数学方法的本质性认识。 四是这些核心概念都是数学课程 的目标点,也应该成为数学课堂教学的目标,并通过教师的教学予以落实。 《课程标准》 对每一个核心概念都作出了较为明确的阐述, 这有助于教师更好地把握课 程目标、 深刻理解课程内容, 同时对于数学课程内容的选择和教学方法的改革也有重要的指 导意义。下面就对这些核心概念逐一解释。 1.应用意识 《课程标准》在课程目标中指出:要使学生“初步学会从数学的角度发现问题和提出问 题,综合运用数学知识解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力”。因此,增强 应用意识作为数学课程的重要目标应该引起一线教师的重视, 并应通过有效的措施在课堂教 学中予以落实。 ⑴掌握《课程标准》中数学应用意识的含义。数学应用意识是一种用数学的眼光、从数 学的角度观察、 分析周围生活中问题的积极的心理倾向和思维反应。 它的含义主要体现在两 个方面:一是有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象,解决现实世界中 的问题。也就是让学生能够有意识地、积极主动地应用数学知识去分析、解决现实世界中的

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现象和问题, 这对学生实践能力和创新精神的培养具有重要意义。 二是有意识地运用数学知 识去解决现实生活中的问题。如学生学习了“两点之间线段最短”这一数学知识后,善于思 考的同学就会发现,我能解决“在两个汽车站之间,怎样设加油站的位置,使得到两个汽车 站的距离最小?”的实际问题。 ⑵明确培养学生应用意识的意义。 一是现代数学发展的一个典型特征就是数学应用的空 前发展, 目前许多抽象的数学理论得到了应用, 数学向其他学科渗透又形成了许多新的数学 交叉学科, 即便是一些过去与数学无缘的人文学科也与数学产生了联系, 各门科学都向着 “数 学化”发展。同时,数学在渗透到各门学科领域时,也逐渐渗透到了人们生活的各个角落: 面积、体积、对称、百分数、平均数、比例、角度、概率等成为社会生活中很常见的名词; 人口增长率、生产统计图、股票趋势图等不断出现在报刊、电视等大众信息传播媒介中;而 像储蓄、债券、保险、面积和体积计算、购物决策等更是成为人们在生活中不可回避的现实 问题。 现代社会比以往任何时候都更需要公民运用数学知识去面对生活和工作中的问题。 因 此,数学应用是学生认识数学、体验数学、形成正确数学观的过程,是使学生通过这一过程 学会数学地思考,掌握数学思想方法,感悟数学的精神并形成正确的数学态度。二是认识到 现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题, 这些问题可以抽象成数学问题, 用数学的 方法予以解决,让学生从认识上建立对数学应用的正确理解。如某商场搞打折销售活动,有 两种活动方案,一种是满 200 元省 50 元;另一种是直接打 8 拆,如果你想买一种商品,请 你制订你的购买方案。 对于这一打折销售问题, 学生能意识到可以抽象为数学中的函数问题, 然后用函数的相关知识予以解决。 ⑶如何培养学生的应用意识。 一是在教学中教师要注重知识的来龙去脉, 即提供数学知 识产生的背景, 呈现数学知识的形成过程, 也就是指教师在教学中, 应该关注 “知识背景 知 识形成揭示联系”的过程和“问题情境一建立模型一求解验证”的过程,从而提高学生发现 和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。如“多项式与多项式相乘”的教学,可设置如 下情境:学校操场的长、宽分别为 m 米、a 米,由于教学需要,长、宽分别增加 n 米、b 米, 你能用两种方法表示扩大后的操场面积吗?学生画图后可得(m+n)(a+b)和 ma+mb+na+nb 两种表示形式。教师再引导学生得出公式(m+n)(a+b)=ma+mb+ na+nb。如此,在提高学生学 习数学的兴趣的同时, 也会让学生感觉到多项式乘法的应用价值。 二是在整个数学教育的过 程中培养学生的应用意识,即在课程目标定位、课程内容设置、教学设计、课堂教学、课后 作业、 学习评价等数学教育诸环节都应关注应用意识的培养; 贯穿于数与代数、 图形与几何、 统计与概率及综合与实践等所有领域内容的数学课程中。 三是发挥综合实践活动是培养应用 意识栽体的作用,因为综合实践活动兼顾“综合性”与“实践性”:一方面,注重学生自主 参与、 全过程参与 (经历发现和提出问题、 分析和解决问题的全过程) 让学生积极动脑 , (独 立思考)、动手(自主设计解决问题的思路)、动口(合作交流);另一方面,注重数学与 生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。此外,综合实践活动还可以 以“长作业”的形式出现,将课堂内的数学活动延伸到课堂外,让学生经历收集数据、查阅 资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动。更重要的是,综合实 践活动不仅关注结果,更关注学生积累活动经验、展现思考历程、交流收获体会、激发创造 潜能的过程。这样,在多种活动形式、多种过程体验及多种评价方式的交融浸润中,更利于 激发、促进、培养学生的应用意识。 2.创新意识, 创新是 21 世纪出现频率最高的词汇,它已经普及几乎每一个领域,当然它也是教育领 域最重要的词汇,它是这次课程改革的标志性词汇的代表。 (1)《课程标准》中的创新意识。在《课程标准》中,创新意识是此次修改新增加的一 个核心概念。标准指出: “创新意识的培养是现代数学教育的基本任务,应体现在数学教与

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学的过程之中。 学生自己发现和提出问题是创新的基础; 独立思考、 学会思考是创新的核心; 归纳概括得到猜想和规律,并加以验证,是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教 育阶段做起,贯穿数学教育的始终。 (2)如何培养学生的创新意识。培养学生的创新意识要做到以下几点。一是鼓励学生 “质疑——发现问题和提出问题”。我国著名数学家丁石孙曾说过:没有问题的学生不能算 是好学生。 保护学生发现问题和提出问题的积极性, 就像保护学生的好奇心一样, 非常重要。 鼓励学生提问应该贯穿在教学的各个环节中,无论是在课堂上,还是在日常学习中,都应该 鼓励学生提出他们的问题。二是鼓励学生“在做中积累经验”。创新意识不是靠教师教出来 的,是“做出来的”,是学生在各个教学环节中不断亲身经历、不断锻炼,不断积累而形成 的。教师要坚持在“做”中去培养学生的问题意识、从而逐步提升学生的创新意识。三是教 师要带头做。凡是要求学生做的,教师要带头做,教师在教学的各个环节中应该要求自己有 问题,能够提出问题,并通过提问引导教学不断深入。 (3)培养创新意识应注意什么。在教学中培养学生创新意识应该注意以下几点:一是 对学生创新意识培养应贯穿数学教学始终, 即对于学生来说好奇心是天性, 他们有很多很多 的问题,他们对一切都感到新鲜、富于想象,保护、激发他们的好奇心是教师的职责,数学 教学应该启发学生的思维,培养学生的创新意识,当然,培养学生创新意识不仅仅是数学教 学的任务, 而是整个数学教育的任务。 二是数学教学要培养学生从 “分析与解决问题” “发 到 现与提出问题”,这是数学课程目标的一个发展,其实质就是重视创新,重视学生创新意识 的培养,这应该成为基于时代发展要求之下的数学教学的魂。同时,学习数学必须有问题, 没有问题学不好数学,不仅要能解决别人的问题,更重要的是自己要有问题,培养学生的问 题意识是培养学生创新意识的好办法。 三是数学教学要培养学生在日常教与学中不断积累经 验,即结合他们生活经验,引导他们关注一些身边的事物,需要不断地实践,不断地积累经 验,如在学习角时,引导学生观察、讨论那些角是最常见的角——直角,进而讨论如何利用 直角去区分其他的角?经过一段学习,又可以讨论为什么直角是最重要的角?随着年龄增 长,引导学生从“感性”提出问题逐渐向“理性提出问题过渡,不断积累提出问题,提出好 问题的经验。到初中,再让学生尝试着从实际生活情境和数学情境中独立地提出问题,判断 问题的好坏。四是发挥“综合与实践”活动在培养学生创新意识的重要作用,即教师要充分 发挥综合与实践是“以问题为载体、以学生白主参与为主的学习活动”的特点和功能,让学 生在此类活动中经历观察、实验、归纳、抽象、概括、猜想等多样性的活动,经历发现问题、 提出问题、进而分析、解决问题的全过程。 3.数感 一般人提起数感,总感到它是比较玄乎的。也有人质疑,像“数感”这种因人的感觉而 异的、较“虚”的东西有必要作为核心概念提出来吗?一些老师也感到,数感作为课堂教学 目标不好把握。这些情况说明,有必要加强教师对数感的认识。 (1)什么是数感?“数感”一词的英文表述为“Number Sense”,可翻译为多种意思, 如感觉、感官、理念、意识、领悟等。例如:认为数感是“关于数字(量)的一种直觉”; 数感与语感、方向感、美感等类似,都会有一种“直感”的涵义,具有对特定对象的一种敏 感性及相关的鉴别(鉴赏)能力;数感是一种主动地、自觉地或自动他地理解数和运用数的 态度和意识,是一种基本的数学素养或认为数感包含感觉、知觉、观念、能力,可以用“知 识”来统一指称,这一知识是程序性的、内隐的、非结构性的。《标准实验稿》提出“数感 主要表现在:理解数的意义;能用多种方法来表示数;能在具体的情境中把握数的相对大小 关系;能用数来表达和交流信息;能为解决问题而选择适当的算法;能估计运算的结果,并 对结果的合理性做出解释。”《课程标准》的提法是:“数感主要是指关于数与数量、数量 关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或

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表述具体情境中的数量关系。”实质就是数与数量、数量关系、运算结果估计,这主要是基 于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所做出的要求, 这有利于教师在教学 中更好地把握数感培养的几条主线。一是关于数与数量。在小学低段,儿童对数的感悟是从 数数学习辨认各组实物对象的多少开始建立的, 学习用数表示多少的第一步就是数数, 随着 学习年级的增高, 学生经历了更多的对数意义的感悟, 如对分数、 负数、 有理数??的感悟, 并形成对数的各种表征方式的理解,这是一个逐渐展开的过程。二是关于数量关系。它是培 养学生数感的另一个层次, 即不同年龄段的学生在理解了所学数的意义及表征后, 他就具备 了理解一定数量关系的基础, 如学生在学习分数概念后, 就建立起整体与部分之间关系的感 悟,依赖于具体情境或图形,会分辨两个分数的大小。随着他们数感的增强,学生年级的升 高和数系的扩充, 学生对数量关系的感悟也会逐步提升, 最后达到对具体问题所涉及的数量 关系的整体把握。三是关于运算结果估计。它是数学课程中所占学时较多的内容,过去更多 关注运算法则的掌握和运算技能的训练, 其实通过运算培养学生的估算意识和能力, 以此发 展学生的数感应成为我们现在课程教学的目标。因此,《课程标准》在“数与代数”部分多 处提到估计及估算的要求。如,“在生活情境中感受大数的意义并能进行估计”“能结合具 体情境,选择恰当的单位进行简单估算,体会估算在生活中的作用”(第一学段);“在解 决问题的过程中,能选择合适的方法进行估算” “会根据给出的有正比例关系的数据在方格 子上面图,会根据其中一个量的值估计另一个量的值”(第二学段);“能用有理数估计一 个无理数的大致范围”(第三学段)。所以,对运算结果的估计反映的是学生对数学对象更 为综合的数感。 (2)如何培养学生的数感。数感既然是对数的一种感悟,它就不会像知识、技能的习得 那样立竿见影, 它需要教师在教学中潜移默化, 积累经验, 经历一个逐步建立、 发展的过程。 具体做法是如下。 第一, 重视低学段学生对数的感觉的建立, 并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关 系。培养学生的数感,第一学段数学是重点。《课程标准》在第一学段目标中,明确指出: “在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象, 以及对运算结果进行估计的过程 中,发展数感。”教学要选择适合学生年龄特征的方式,提供实物,联系身边具体事物,观 察操作、游戏等都是较好的方式,如刚入学的儿童在认识 10 以内数的时候,应该通过实物、 图片等,将数与物对应起来。然后,结合具体教学内容,逐步提升和发展学生的数感。在第 二学段应结合学生所熟悉的现实素材感受大数的意义, 并能对一些问题进行估算; 能了解负 数的意义.用负数表示日常生活的问题,建立起对负数的数感。 第二,紧密结合现实生活情境和实例,培养学生的数感。由于现实生活情境和实例,与 学生的实际生活经验密切相连, 不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境, 也能让学生 在数的认知上经历由具体到抽象的过程, 逐步发展学生关于数的思维, 理解现实生活中数的 意义,理解或表述具体情境中的数量关系。如让学生通过调查、讨论,弄清楚自己的学号、 地区邮政编码、汽车牌照号、身份证编号的规律和意义,进一步建立数感。 第三,让学生多经历有关数的活动过程,逐步积累数感经验。在具体的数学活动中,让 学生动脑、动手、动口,多种感官协调活动,加之相互交流,这对强化他们感知思维,积累 数感经验非常有益。 如让学生调查: 从你家到学校的路程大约有多远?你到学校大约要多长 时间?教室面积有多大?学校食堂有多大?你家住房有多少平方米?你所在城市有多少人 口?如何测量一张纸的厚度?还可组织学生针对一周出版的某种报纸, 讨论中间出现了哪些 与数、数量、运算有关的数学问题,分别表述这些问题中关于数的意义作用,如何用数来解 决这些具体问题等。

专题五:标准中的核心概念(二)
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4.符号意识 符号对于数学来说是特有的。它既是数学的语言,也是数学的工具,更是数学的方法。 数学符号的功能特性是多方面的: 它具有抽象性, 这使得数学能够超越于数学对象的具体属 性,而从形式化的角度进行逻辑推演,并一步步把数学引向深入;它具有明确性,某一数学 符号的意义一旦被赋予,它就在这确定的意义下被运用,不会含糊,不会产生歧义,从而带 来数学极大的严谨性;它具有可操作性,数学过程往往体现于数学符号之间的“运算”。针 对这种“运算”的算法是形式化的,“几乎是自动化的,不需要每次都从头做起”。此外数 学符号还具有简略性和通用性等特点。 正因为如此, 数学符号在数学发展中起着举足轻重的 作用。学生在数学学习过程中,将无时无刻不与符号打交道,对数学符号的语言、工具、方 法的功能和上述特性的认识事实上构成了学生数学学习的重要内容, 学生掌握数学符号、 运 用数学符号能力的培养也成为重要的教学目标。 (1)什么是符号意识。从一般意义上说,所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出 来的一种简略的记号或代弓。数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。符号意 识( Sym-bol sense)是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应, 它也是一种积极的心理倾向。 数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。 如在数与 代数中,数来源于对数量本质(多与少)的抽象,而数字就成为能够以大小排序的符号。数 学符号不仅是一种表示方式,更是与数学概念、命题等具体内容相关的、体现数学基本思想 的核心概念,发展学生的符号意识是数学教学的重要目标。 (2)《课程标准》中对符号意识的表述。此次修订,将原来的“符号感”改为了“符号 意识”,这说明其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。在数学 学习中,无论是概念、命题学习还是问题解决,都涉及用符号去表征数学对象,并用符号去 进行运算、推理,得到一般性的结论。《课程标准》对符号意识的表述有以下几层意思。 第一,能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律,即能够理解符号所表示的 意义与能够运用符号去表示数学对象(数、数量关系和变化规律等)。如“+、一、×、÷” 分别表示特定的运算意义,“一、≈、<、>”则表示数学对象之间的某种关系。同时,对数 学符号不仅要“懂”,还要会“用”。即运用符号表达数学对象是“用”符号的重要方面, 这里的数学对象主要指数、 数量关系和变化规律及它们在各个学段的要求。 如用数字符号表 示现实中的多少,用单一的运算符号表示数字运算关系,而关系式、表格、图象等又都是表 达数量关系和变化规律的符号工具。 第二, 知道使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般性。这一要求的核心 是基于运算和推理的符号“操作”意识,要求学生在各学段的学习中,要加强他们在逻辑法 则下使用符号进行运算、推理的训练等,如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、 等价推演、模型抽象及模型解决等。 第三, 使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。 数学表达是学生 在解决具体问题时必须采用的方式, 数学表达实质上就是以数学符号作为媒介的一种语言表 达,通过培养学生的符号意识,发展学生的数学表达能力已成为当今课堂关注的目标。而发 展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考,这种思考是数学抽象、数学推理、数学模型 等基本数学思想的集中反映,是最具数学特色的思维方式。 (3)如何培养学生的符号意识。一是在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学,培养 学生的符号意识。因为概念、命题、公式是数学课程内容中的重要组成部分,它们又是数学 教学的重点,又和数学符号的表达和使用密切相关。因此,《课程标准》在学段目标和各学 段内容标准中都提出了具体要求。如:“理解符号<、一、>的含义,能使用符号和词语描述 万以内数的大小”“认识小括号”(第一学段);“认识中括号”“在具体情境中能用字母 表示数”“结合简单的时间情境,了解等量关系,并能用字母表示”“能用方程表示简单情

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境中的等量关系”(第二学段);二是结合现实情境培养学生的符号意识。这里一方面,尽 可能通过实际问题或现实情境的创设, 引导、 帮助学生理解符号以及表达式、 关系式的意义, 或引导学生对现实情境问题进行符号的抽象和表达; 另一方面, 对某一特定的符号表达式启 发学生进行多样化的现实意义的填充和解读。这种建立在现实情境与符号化之间的双向过 程,有利于增强学生数学表达和数学符号思维的变通性、迁移性和灵活性。三是在数学问题 解决过程中发展学生的符号意识。如引导学生经历发现问题,提出问题(实际上需要运用符 号抽象和表达问题)、 分析问题、 解决问题(实际上是使用符号进行运算、 推理和数学思考) 的全过程, 在这一过程中积累运用符号的活动经验, 更好地感悟符号所蕴涵的数学思想本质, 逐步促进学生符号意识得到提高。 5.空间观念 (1)什么是空间观念。关于空间观念的含义,也可理解为空间想象力。林崇德在 1991 年指出, 中学生的空间想象包括对平面几何图形和立体几何图形的运动、 变换和位置关系的 认识,以及数形结合、代数问题的几何解释等。空间想象力主要体现在对诸如一维、二维、 三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上,体 现在对简单形体空间位置的想象和变换(平移、旋转以及分割、割补和叠合等)上,以及对 抽象的数学式子(算式或代数式等)给予具体几何意义的想象解释或表象能力上。曹才翰提 出,空间想象力就是以现实世界为背景,对几何表象进行加工改造,创造新的形象的能力。 同时他指出,空间想象力对初中生来说要求太高了,所以《课程标准》中只提出培养学生的 空间观念。 空间观念至少反映了如下的 5 个方面的要求: 一是由形状简单的实物抽取出空间 图形;二是由空间图形反映出实物;三是由复杂图形中分解出简单的、基本的图形;四是由 基本的图形中寻找出基本元素及其关系;五是由文字或符号作出或画出图形。 (2) 建立培养学生空间观念的意义。 数学家和数学教育研究者对于建立培养学生的空间 观念都有相关的描述。数学家阿蒂亚认为,几何是数学中视觉思维占主导地位,而代数则是 数学中有序思维占主导地位。荷兰数学家、数学教育家弗莱登塔尔指出,几何是对空间的把 握——这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。在这个空间里,儿童必须学会去了解、探 索、征服,从而能更好地在其中生活、呼吸和运动。全美数学教师理事会在《美国学校数学 课程与评价标准》 提到, 几何有助于我们用一种有序的方式表示和描述我们生活的现实世界, 将帮助学生描述和弄清世界的意义。对于学生来说,发展牢固的空间关系的观念,掌握几何 的概念和语言, 可以较好地为学习数和度量概念做准备, 还可以促进其他数学课程的进一步 学习。 (3)《课程标准》中关于空间观念所包含的内容。《课程标准》是从如下几方面进行 刻画描述的: 空间观念主要是指根据物体特征抽象几何图形, 根据几何图形想象出所描述的 实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的 描述画出图形等。 这几方面的描述, 是在义务教育阶段对学生在在图形与几何内容的学习所 要达成的目标。这样的目标达成的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过 程,它贯穿在图形与几何学习的全过程中,无论是图形的认识,图形的运动,图形与位置等 都承载着建立,培养学生空间观念的任务。 (4)如何培养学生的空间观念。空间观念的培养是一个长期的经验积累的过程,全美数 学教师理事会在 1989 年指出,发展学生的空间观念,儿童必须具有许多经验。如几何关系 的要点,在空间中物体的方向、方位和透视观点;相关的形状和图形与实物的大小,以及如 何通过改变大小来改变形状。 这些经验要依靠儿童以下几个方面的能力, 如会运用像 “上面” “下面”和“后面”等一些词语,面出一个图形旋转 90。或 180。以后的图形,作图、折叠, 让儿童想象、绘制和比较放在不同位置上的图形,等等,这些活动将有助于培养他们的空间 观念。事实上,在图形与几何课程的学习中,有很多的素材和机会培养学生的空间观念的,

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主要有以下几方面。 第一,现实问题情境和学生经验是发展空间观念的基础。这在《课程标准》第一、第二 学段的“图形与运动”“图形与位置”中的大部分内容的学习,都是培养学生空间观念的很 好素材,都从不同方向观察物体、运用基本图形拼图及基本几何体的展开图等,也都是旨在 建立培养学生空间观念的课程内容。 教师要在教学中结合学生们熟悉的现实问题情境建立培 养学生的空间观念。 第二,利用多种途径建立培养学生的空间观念。生活经验的回忆与再现、实物观察与描 述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等,都是建立培养学生空间观念的有效途径。教 学中教师应结合教学内容恰当地安排学习的活动, 创造条件使学生有机会从事上述的活动来 建立培养空间观念。 第三,在学生的思考、想象过程中建立培养空间观念。因为学生空间观念的培养不是一 蹴而就的,它需要不断的经验的积累和丰富的想象力,因此,教学中教师要为学生提供足够 的时间和空间去观察和想象、操作和分析。 6.几何观念 (1)什么是几何直观。顾名思义,几何直观所指有两点:一是几何,在这里几何是指 图形;二是直观,这里的直观不仅仅是指直接看到的东西(直接看到的是一个层次),更重 要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象,综合起来,几何直观就是依 托、 利用图形进行数学的思考和想象。 这次课程改革中, 强调几何变换不仅是内容上的变化, 也是设计几何课程指导思想上变化, 这将是几何课程发展的方向。 让图形 “动起来” 在 , “运 动或变换”中来研究、揭示、学习图形的性质,这样,一方面,加深了对图形性质的本质认 识;另一方面,对几何直观能力也是一种提升。由此可以看到,在义务教育阶段对几何直观 的学习和研究,能把复杂的数学问题变得简明、形象,能帮助学生直观地理解数学,从而培 养学生的几何直观。 (2)几何直观的作用。正如前面所指出的,图形有助于发现、描述问题,有助于探索、 发现解决问题的思路,也有助于我们理解和记忆得到的结果,学会用图形思考、想象问题能 使我们更好地感知数学、领悟数学。因此,在义务教育阶段教学和指导学生学习时,认识和 理解几何直观, 能帮助学生直观地理解数学, 在整个数学学习过程中教师不仅在几何内容教 学中要重视几何直观, 在整个数学教学中都应该重视几何直观, 培养几何直观能力应该贯穿 义务教育数学课程的始终。 (3)如何培养学生的几何直观。一是在教学中让学生逐步养成画图习惯,即通过多种途 径和方式让学生体会到画图对理解概念、 寻求解题思路上带来的益处。 二是重视变换——让 图形动起来,因为几何变换或图形的运动是几何、也是整个数学中很重要的内容,它既是学 习的对象,也是认识数学的思想和方法,因此,在教学时教师要充分地利用运动去认识、理 解几何图形性质,培养学生的几何直观。三是学会从“数”与“形”两个角度相结合认识数 学,因为数形结合是对知识、技能的贯通,能有效进行数与形的化归与转化。四是掌握、运 用一些基本图形解决实际问题, 在教学中教师只有强化对基本图形的运用, 不断地运用这些 基本图形去发现、描述问题,理解、记忆结果,才能有效培养学生的几何直观。

专题六:标准中的核心概念(三)
7.数据分析观念 (1)什么是数据分析观念。在《课程标准》中,将数据分析观念解释为:“了解在现 实生活中有许多问题应当先做调查研究,收集数据,通过分析做出判断,体会数据中蕴涵着 信息;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法; 通过数据分析体验随机性, 一方面, 对于同样的事情每次收集到的数据可能不同; 另一方面,

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只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。” 这段表述点明了两层 意思,一是点明了统计的核心是数据分析。“数据是信息的载体,这个载体包括数,也包括 言语、信号、图象,凡是能够承载事物信息的东西都构成数据,而统计学就是通过这些载体 来提取信息进行分析的科学和艺术。”二是点明了数据分析观念的三个重要方面的要求:体 会数据中蕴涵着信息;根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性。 (2)数据分析观念的要求。课程标准对数据分析观念的要求主要表现在三方面。 第一,体会在数据中蕴涵着的信息。在以信息和技术为基础的现代社会里,充满着大量 的数据,需要人们面对它们做出合理的决策。因此,数据分析观念的首要方面是“了解在现 实生活中有许多问题应当先做出调查研究,收集数据,通过分析判断,体会数据中蕴涵着信 息。”如《课程标准》中的一个例子。 新年联欢会准备买水果,调查班级同学最喜欢吃的水果,设计购买方案。 [说明]借助学生身边的例子,体会数据调查、数据分析对于决策的作用。此例可以举一 反三。教学中可作如下设计:一是全班同学讨论决定购买方案的原则,可以在限定的金额内 考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果, 或者其他的原则。 二是鼓励学生讨论收集数据的方法, 如可以采用一个同学提案、 赞同举手的方法,可以采取填写调查表的方法,还可以采用全部提 案后,同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法;等等。三是收集并表示数据,参照事先的 约定决定购买水果的方案。总之,要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理,购买方案没有 对错之分,但要符合最初制定的原则。 在这个例子中不难看出,首先需要设计合适的例子,鼓励学生收集数据、整理数据、分 析数据,从而作出决策和推断。并在此基础上,体会数据中蕴涵着信息,体会数据分析的价 值。 第二, 根据问题的背景选择合适的方法。 《课程标准》 对数据分析观念方法的选择指出: 要“了解对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法。” 如《课程标准》中例 38 的说明中指出:“条形统计图有利于直观了解不同高度的学生数及 其差异; 扇形统计图有利于直观了解不同高度的学生占全班学生的比例及其差异; 折线统计 图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况,预测未来身高变化趋势。”因此,需要我们 根据问题的背景选择合适的统计图。 第三,通过数据分析体验随机性。数据的随机主要有两层含义:一方面,对于同样的事 情每次收集到的数据可能会是不同的;另一方面,只要有足够的数据就可能从中发现规律。 如《课程标准》中例 40:袋中装有 4 命红球和 1 个白球,一方面,每次摸出的球的颜色可 能是不一样的,事先无法确定;另一方面,有放回重复摸多次(摸完后将球放回袋中,摇晃 均匀后再摸),从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律,比如,红球多还是白球多、 红球和白球的比例等。 8.运算能力 运算是数学的重要内容, 在义务教育阶段的数学课程的各个学段中, 运算都占有很大的 比重。 学生在学习数学的过程中, 要花费较多的时间和精力去学习和掌握关于各种运算的知 识及技能。《课程标准》在学段目标的“知识技能”部分,对各学段运算分别提出了明确的 要求:第一学段:经历从日常生活中抽象出数的过程,理解万以内数的意义,初步认识分数 和小数;理解常见的星;体会四则运算的意义,掌握必要的运算技能,能准确进行运算;在 具体情境中,能选择适当的单位进行简单的估算。第二学段:体验从具体情境中抽象 m 数的 过程,认识万以上的数;理解分数、小数、百分数的意义,了解负数的意义;掌握必要的运 算技能; 理解估算的意义; 能用方程表示简单的数量关系, 能解简单的方程。 第三学段 (略) 。 总之,运算不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容, “图形与几何” “统计与概率” “综 合与实践”也都与运算有着密切的联系,是不可或缺的内容。在《课程标准》所提出的课程

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目标中的很多方面,如获得“四基”(基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验), 运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力等,都 与运算的学习有关,运算对实现课程目标发挥着重要的支撑作用。 (1)什么是运算能力。根据一定的数学概念、法则和定理,由一些已知量,通过计算得 出确定结果的过程,称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算,称为运算技能。不仅 会根据法则、公式等正确地进行运算,而且理解运算的算理,能够根据题目条件寻求正确的 运算途径,称为运算能力。《课程标准》指出:运算能力主要是指能够根据法则和运算律, 正确地进行运算的能力。 培养运算能力有助于学生理解运算的算理, 寻求合理简洁的运算途 径解决问题。 (2)运算能力的特征。运算的正确、灵活、合理和简洁是运算能力的主要特征。首先要 保证运算的正确,为此,必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识,明确 意识到实施运算的依据。然后,在适度训练、逐步熟悉的基础上,清楚地意识到实施运算中 的算理。不断总结正反两方面的经验和教训,逐渐减少在实施运算中,思考概念、法则、公 式等的时间和精力,提高运算的熟练程度,以求运算顺畅,力求避免失误。一题多解和多题 一解出现在运算过程中是十分普遍的,即一般性与特殊性往往同时出现在实施运算的过程 中,一题多解体现了运算的灵活性,多题一解则体现了运算的普适性。一题多解和多题一解 的交替出现,相互比较,循环往复,不断优化,促使学生越来越感悟到:实施运算,解决问 题,不仅要正确,而且要灵活、合理和简洁。 (3)要充分重视估算。《课程标准》在每个学段的学段目标和内容标准中,都强调了估 算,提出了具体的要求。第一学段:在具体情境中,能选择适当的单位进行简单的估算。在 生活情境中感受大数的意义,并能进行估计(例 3);能结合具体情境,选择适当的单位进 行简单估算,体会估算在生活中的作用(例 6)。第二学段:理解估算的意义。结合现实情 境感受大数的意义,并能进行估计(例 23);在解决问题的过程中,能选择合适的方法进 行估算(例 26,例 27);会用方格纸估计不规则图形的面枳(例 33)。第三学段(略)。 需要指出的是,运算能力的形成不是一蹴而就的,运算能力的发展总是从简单到复杂、从低 级到高级、从具体到抽象,有层次地发展起来的。因此,在实际教学过程中,既不能让学生 的运算能力在已有的水平上停滞不前, 也不能超越知识的内容和其他能力水平孤立地发展运 算能力。应该贯穿于师生共同参与数学教学活动的全过程中,并体现发展的适度性、层次性 和阶段性。 (4)运算能力的培养与发展。运算能力的培养与发展是一个长期的过程,应伴随着数学 知识的积累而深化。 正确理解相关的数学概念, 是逐步形成运算技能、 发展运算能力的前提。 运算能力的培养与发展包括运算技能的逐步提高, 运算思维素质的提升和发展。 在义务教育 阶段,运算能力的培养、发展要经历如下几个过程。 第一,由具体到抽象。其中第一学段理解万以内的数,初步认识仆数和分数,初步学习 整数的四则运算,以及简单的分数和小数的加减运算。第二学段认识万以上的数,进一步学 习整数的四则运算(包括混合运算),小数和分数的四则运算(包括混合运算),了解并初 步应用运算律。第三学段(略)。 第二,由法则到算理。学习和掌握数与式的运算,解方程的运算,让学生在反复操练、 相互交换的过程中,不仅会逐步形成运算技能,还会引发对“怎样算?”“怎样算的好?” “为什么要这样算?”等一系列问题的思考。这是由法则到算理的思考,使运算从操作的层 面提升到思维的层面,这是运算能力发展的重要内容。 《课程标准》规定了一系列与算理相 关的内容。如在第二学段指出:探索并了解运算律(加法的交换律和结合律、乘法的交换律 和结合律、乘法对加法的分配律),会应用运算律进行一些简便运算。了解等式的性质,能 用等式的性质解简单的方程。

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第三,由单向思维到逆向、多向思维。逆向思维是数学学习的一个特点。在第二学段, 《课程标准》规定“在具体运算和解决简单实际问题的过程中,体会加与减、乘与除的互逆 关系。”在第三学段,又增加了乘方与开方的互逆关系。到高中阶段,更有指数与对数、微 分与积分等互逆关系。运算的互逆关系,是逆向思维的重要表现形式之一。 运算也是一种推理, 在实施运算分析和解决问题的过程中, “由因导果” 和“执果索因” 的推理模式也是经常要用到的, 表现为有效探索运算的条件与结论, 已知与未知的相互联系 及相互转化,思维方向是互逆的,更是相辅相成的。在实施运算的过程中,还会遇到多因素 的情况,各个因素相互联系,相互制约,又相辅相成,更加需要不同的思维方向、不同的解 题思路和不同的解题方法,通过比较,加以择优选用。同时,由于思维定势的消极作用,逆 向思维和多向思维的难度较大, 在实施运算的过程中, 教师对分析运算条件, 探究运算方向, 选择运算方法, 设计运算程序等各个环节都要引导学生进行周密的思考, 力求使运算符合算 理,达到正确熟练、灵活多样、合理简洁,实现运算思维的优化及运算能力的逐步提高。 9.推理能力 推理在数学中具有重要的地位。《课程标准》指出:“推理是数学的基本思维方式,也 是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”学习数学就是要学习推理。具有一步的推理能 力是培养学生数学素养的重要内容,也是数学课程和课堂教学的重要目标。 (1)什么是数学推理。数学推理直接与命题有关。在数学中,我们随时会对思维对象作 出一种断定, 即对客观事物的情况有所肯定或否定的思维形式叫做判断。 在数学中把表示判 断的语句称为命题。而数学推理则是以一个或几个数学命题推出另一个未知命题的思维形 式。 如果从数学内部看, 数学推理反映的是一种基本的数学思想, 也是一种主要的数学方法。 它与数学证明紧密关联,数学推理与证明共同构成了数学的最重要的基础。 (2)《课程标准》中的推理能力。《课程标准》中的推理能力主要指以下几点:一是合 情推理与演绎推理。 合情推理是数学家乔治· 波利亚对归纳推理、 类比推理等或然性推理 (即 推理的结论不一定成立的推理)的特称。其中归纳推理是以个别(或特殊)的知识为前提, 推出一般性知识为结论的推理; 类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相 似, 推出它所在另一属性也相同或相似的一种推理。 而演绎推理是从已有的事实 (包括定义、 公理、定理等)确定的规则出发,得到某个具体结论的推理,它是必然性推理(即只要推理 前提真,得到的结论一定真)。它的思维进程是从一般到特殊。它的基本形式是三段论。二 是合情推理与演绎推理功能不同,但它们是相辅相成的。波利亚很早就注意刭“数学有两个 侧面??用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学; 但在创造过程中的数学却是 实验性的归纳科学。”因此,与之相适应,应该有两类推理:用合情推理获得猜想,发现结 论;用演绎推理验证猜想,证明结论。正如《课程标准》指出的:“两种推理功能不同,相 辅相成。” (3) 如何培养学生的推理能力。 在教学中教师应该从以下几个方面培养学生的推理能力。 一是在整个数学的学习过程中应注重学生推理能力的发展, 即贯穿于整个数学课程的各个学 习内容,它包括数与代数、图形与几何、统计与概率及综合与实践等所有领域内容;它应贯 穿于数学课堂教学的各种活动过程; 贯穿于整个数学学习的环节 (如预习、 复习、 课堂教学、 白我练习、测验考试??)合理安排、循序渐进、协调发展。二是通过多样化的活动,培养 学生的推理能力,即在观察、操作等活动中,能提出一些简单猜想”(第一学段),“在观 察、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力”(第二学段),“在多样化形式的数学活动 中,发展合情推理与演绎推理的能力”(第三学段)。三是让学生多经历“猜想一证明”的 问题探索过程, 即让学生能亲身经历用合情推理发现结论、 用演绎推理证明结论的完整推理 过程,在过程中感悟数学基本思想,积累数学活动经验。 10.模型思想

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模型思想是此次修订《标准》新增的核心概念。尽管《课程标准实验稿》在课程实施 部分的“教学建议”中曾提到了“建立模型”一词,但数学模型、建模等概念并未出现在义 务教育阶段课程目标及课程内容的文字表述之中。这次随着“模型思想”的列入,我们会看 到关于教学模型的相关提法在《课程标准》的多个部分出现。特别是模型思想作为一种基本 的数学思想更会与目标、内容紧密关联。作为一线教师应对《课程标准》中模型思想的含义 及要求准确理解,并把这要求落实于课堂教学之中。 (1)什么是数学建模。所谓数学模型,就是根据特定的研究目的,采用形式化的数学语 言, 去抽象地、 概括地表征所研究对象的主要特征、 关系所形成的一种数学结构。 即用字母、 数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式,及各种图表、图形 等都是数学模型。它的结构有两个主要特点:一是经过抽象、舍去对象的一些非本质属性以 后所形成的一种纯数学关系结构; 二是这种结构借助数学符号来表示, 并能进行数学推演的 结构。 (2)《课程标准》中模型思想的含义及要求。一是模型思想是一种数学的基本思想,如 在《课程标准》将数学基本思想作为“四基”之一提出,必然引出这样的问题:数学基本思 想主要指哪些思想呢?现在模型思想作为 10 个核心概念中唯一一个以 “思想” 指称的概念, 实际上已经明示它是数学基本思想之一。 史宁中教授在 《数学思想概论》 中提出这样的观点: “数学发展所依赖的思想在本质上有三个:抽象、推理、模型??通过抽象,在现实生活中 得到数学的概念和运算法则, 通过推理得到数学的发展, 然后通过模型建立数学与外部世界 的联系。”从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最 大的三个重要思想。二是明确建立和求解模型的过程要求。 《课程标准》以义务教育数学课 程的实际情况出发,将这一过程进一步简化为三个环节:首先是“从现实生活或具体情境中 抽象数学问题”,然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系 和变化规律” 最后通过模型去求出结果, , 并用此结果去解释、 讨论它在现实问题中的意义。 显然,数学建模过程可以使学生在多方面得到培养而不只是知识、技能,使学生更有思想、 方法,也有一些经验积累,其情感态度(如兴趣、自信心、科学态度等)也会得到培养。三 是模型思想还体现在《课程标准》其它方面。如《课程标准》中有如下提法:“经历数与代 数的抽象、运算与建模过程。”(数与代数总目标);“结合实际情境,经历设计解决具体 问题的方案,并加以实施的过程,体验建立模型、解决问题的过程”(“综合与实践”内容 标准)等,除此之外,在教学实施、评价、案例等部分都有关于模型思想的具体要求,教师 在课程实施中要注意这一特点。 (3)如何培养学生的模型思想。培养学生的模型思想主要从以下几方面着手。 第一, 在教学中教师要逐步渗透和引导学生不断感悟。 即教师在教学中要注意根据学生 的年龄特征和不同学段的要求,逐步渗透模型思想。比如在第一学段,可以引导学生经历从 现实情境中抽象出数、从简单几何体到平面图形的过程和从简单数据收集、整理的过程,使 学生学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象,并提出一些力所能及的数学问 题。 在第二学段, 通过一些具体问题, 引导学生通过观察、 分析抽象出更为一般的模式表达, 如用字母表示有关的运算律和运算性质,总结出路程、速度、时间,单价、数量、总价的关 系式。总之,模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴涵于概念、命题、公式、 法则的教学之中,并与数感、符号感、空间观念等的培养紧密结合。 第二,在教学过程中强化体验。教学中教师要让学生经历“问题情境一建立模型一求解 验证”的数学活动过程,它体现了《课程标准》中模型思想的基本要求,也有利于学生在活 动过程中理解、掌握有关知识、技能,积累数学活动经验,感悟模型思想的本质。这一过程 更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题,培养创新意识。

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第三,通过数学建模改善学生学习方式,如下面的学习方式都可以在数学建模中尝试: 小课题学习方式(让学生自主确定数学建模课题,设定课题研究计划,完成后提交课题研究 报告。 小课题研究要针对不同的年龄段应该有不同的层次和不同的水平, 但不管何种层次和 水平,关键要引导学生根据自己的生活经验和对现实情境的观察,提出研究课题),协作式 学习方式(以小组为单位在组内进行合理分工,协同作战,培养学生的合作交流能力)等。

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模块三:数与代数内容分析与建议

专题一:数与代数内容结构分析
数与代数部分是小学数学课程的重要内容。 在小学数学学习中占比例是最大的, 更重要 的是这部分学习内容是整个数学学习和学习其他的学科的基础, 这部分内容主要包括数的认 识、概念、数的运算、数量的估计等。数的概念是学生认识和理解数的开始,数的运算伴随 着数的形成与发展而不断丰富, 从自然数逐步扩充到有理数, 从自然数的四则运算扩展到了 有理数的运算。总之,小学是以数的运算为主,但在第二学段中也有正反比例的初步学习。 因此,对课程标准中数与代数内容的分析,可使教师了解小学阶段数与代数内容的本质与发 展, 从整体上把握相关概念和数的发展脉络, 促使数与代数内容的教学设计和教学目标的实 现。 一:数与代数内容结构分析 《课程标准》较《课程标准实验稿》在“数与代数”部分,在内容结构上没有大的变化, 小学第一学段是“数的认识、数的运算、常见的量、探索规律。”第二学段是“数的认识、 数的运算、式与方程、正比例和反比例、探索规律。”按照课程标准的设计,数与代数在小 学阶段的主要内容有数的认识, 数的运算, 常见的量, 式与方程和正比例反比例及探索规律。 其中数的概念从自然数扩充到有理数, 会使学生不断增加对数的理解和运用。 数的运算也伴 随着数的形成与发展不断丰富, 从最基本的自然数的四则运算, 扩展到有理数的运算及正比 例和反比例。 《课程标准》较《课程标准实验稿》在具体内容上略有修改,例如:第一学段在数的认 识中新增 “知道用算盘可以表示多位数和能结合具体情境比较两个一位小数的大小, 能比较 两个同分母分数的大小”,在数的运算中新增“能结合具体情境,选择适当的单位进行简单 估算,体会估算在生活中的作用。”第二学段内容虽然总的条目数没有变化,但具体的内容 还是有一些重要的调整。主要包括:小数、分数、百分数,重点强调理解它们的意义及会进 行小数、分数和百分数的转化。在转化的过程中,学生必然要了解它们之间的关系,所以不 再要求探索小数、分数和百分数之间的关系。把养成估算的习惯,会口算百以内一位数乘、 除两位数移至第一学段。 增加了 “在具体情境中, 了解常见的数量关系: 总价=单价×数量、 路程=速度×时间,并能解决简单的实际问题。”《课程标准》中增加这一要求,将为小学 数学课程与教学中的问题解决提供了一个重要基础。小学阶段数与代数内容的具体结构如 下。 1. 数的形成---从量到数的抽象(自然数) 自然数形成包括两个方面, 一是与生活密切相关的数字(0~9)的形成; 二是计数单位 (十 百、千等)的建立。 (1)教字的形成。自然数具有基数和序数的性质,基数是表示数量的多少,从一些动物 具备多少的概念,可以判定人具备这种先天的“多与少”的概念,只是这种先天的概念比较 薄弱,这种“多与少”的概念是在长期的生活与活动中逐渐培育并发展的。如在人类生活的 过程中,人们会根据事物数量的变化,逐一地创造出数字,从 1 开始,每次增加 1 个,将各 个数字进行有序的排列,形成从小到大的排列,而且,相邻两个数之间可以通过添“1”的 方法进行转换,便形成不同的用符号 0,1,2,3,4.,5,6,7,8,9 等数字表示的数。 (2)计数单位的产生。计数单位的产生应该有两个阶段。首先是自然形成阶段,“很多 事情要从原本思考,想法要自然,要符合逻辑。”计数单位的产生不是人类的主观臆造,而 是与人类活动密切相关。当人们通过添加“1”可以方便地进行事物数量转换的时候,就产

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生了自然数的基本单位“1”。随着人类活动能力的不断增强,产生表示更多数量的需求, 计数的方式就由“个的计数”进入到“群与个相结合的计数”。人们自然就会对事物的“群 体数量”进行约定。在数的发展过程中,人们针对不同的生活事件和自然景象,这种群体数 量的约定也逐渐多种多样的,例如:有罗马的“5(V)”,有时间“60(分、时)”,有“24 (天)”,有“12(月)”,还有“16(两)”??形成了多种多样的记数方法。而在诸多 的记数方法中,将 10 作为一个表示数的单位“十”,成为被人们普遍采用的方法。“十进 制”记数法是在“十”为单位的基础上,再形成“百”“千”“万”等单位,可以表示任意 大的数。 2.数的表示:数位与记数法 (l)多位数的表示。在计数单位“十”的基础上,形成更大的计数单位。九个“十”添 加 1 个“十”就是“百”,九个“百”添加 1 个“百”就是“千”??十个“千”形成了一 个新的计数单位“万”。在我国记数方法中,把“万”又当作一个新的“单位一”,就可以 获得一组新的计数单位“个(万)、十(万)、百(万)、千(万)”。同理,当“千万” 满十个的时候, 再次作压缩处理, 把十个 “千万” 形成的新的计数单位 “亿” “一 当作 (个) , ” 又可获得一组新的计数单位“个(亿)、十(亿)、百(亿)、千(亿)”,?? (2)记数法的含义及刻画方式。记数法主要是指提取与刻画事物数量信息的方法。一般 情况下,一种记数法应该包含提取数量信息的法则(俗称:二进制、十进制等),以及分别 用语言与符号刻画数量信息的法则(俗称:读法与写法)。例如:“十进制记数法”提取数 量信息的法则是“满十进一,四位一级”;用语言刻画数量信息的法则是“从高位读起,四 位一级,每级按照个级的方法,在级尾给出级名,级首有零一定唱、级中有零一个算,级尾 有零全不管”(不同的母语读数方法是不一样,英语采用三位一级);用符号刻画数量信息 的法则是“哪个数位上有几个计数单位就写‘几’,一个计数单位也没有就写‘0’。”记 数法的刻画方式。在我国自然数的符号刻画方式有两种:一是位值原则记数法(罗马数字是 加减法则),即利用数位表进行计数,一个数字不仅有本身的值还有位置的值,平时见到的 自然数都默认其对应于隐性的数位表,如:98 765 432;二是科学记数法,将“位置值与自 身值”以捆绑的形式来刻画数量信息,即写成不同的计数单位的数的和的形式,如: 98765432=9×107+8×106+7×105+6×104+5×103 +4×102+3×101+2×100 等。 3.数的扩充----分数和小数 (1)分数的扩充。分数的扩充一般是由两种需要而产生的:一是分东西的过程中,需要 对一个物体进行切割与分配时,整体中的“部分”无法用自然数来表示,就需要有刻画“部 分”的方式方法;二是计算过程中,2÷3=?无法用自然数表示计算的得数,就需要有刻画 这类除法运算结构的方式。如若将一张饼平均分成两部分,你获得了其中一部分,用数学语 言刻画就是“部分与整体的关系”,即把一个单位(整体)平均分成两份,其中的一份(部 分),就是 1/2。 (2)小数的扩充。小数产生的两个前提:一是十进制记数法的使用;二是分数概念的完 善。小数的产生有两个动因:一是十进制记数法扩展完善的需要;二是分数书写形式的优化 改进。 小数的出现标志着十进制记数法从整数扩展到了分数, 使分数与整数在形式上获得了 统一。 我们现在的小数定义就是根据这种形式变换过程来定义的, 将十进分数改写成不带分 母形式的数就叫做小数。其中小数与百分数,在形式上不同于分数,但是,它们都是从分数 中分离出来的。分数中分离出十进分数,将其改写成不带分母形式的数(按计数原则进行计 数)就是小数;分数中分离出分母是 100(10n,n≥l)的分数,将其改写成带有百分号(%)形 式的数就是百分数(十分数、百分数、千分数、万分数??)。其中,在小数部分新增加能 结合具体情境比较两个一位小数的大小, 能比较两个同分母分数的大小, 可让学生在小数初 步认识中,就对小数的比较提出具体要求,可使学生能较准确把握有关小数的问题,也为后

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续的学习做准备,但这一学段只要求同分母的分数比较。 4.数的扩充---有理数 负数的产生。“负数”是一个与“正数”的意义相反的数学概念,它的形成源于对生活 中完全相反的事物数量的刻画。如进与出、上与下、进与退等。我国数学家刘徽在两千多年 前就给出负数的定义及刻画方法,他说:“今两算得失相反,要令正负以名之”“正算赤, 负算黑,否则以斜正为异。”我国古代数学专著《九章算术》中就提到了正负数加减法运算 法则:“同名相除(两个符号一致的数相减),异名相益(两个符号不一致的数相加),正 无人负之,负无入正之;其异名相除(两个不同符号的数相减),同名相益(两个相同符号 的数相加),正无人正之,负无人负之。” 什么是有理数?有理数就是一切形如 m∕n(m,n∈Z,n≠0)的分数。一切分数都可以 化为有限小数或无限循环小数,因此,我们可以基于小数来定义有理数: “有理数是有限小 数或者无限循环小数(无理数是无限非循环小数)。” 有理数的扩充过程,一般经历了自然数(零与正整数)集合(N)中添加负数形成整数集 (Z),在整数集体中添加分数形成有理数集(Q)。 5.数的运算---四则运算的含义与运算律 数(自然数)是刻画一个集合中事物数量信息的符号,数的运算(整数四则运算)则是 刻画多个集合中事物数量信息之间关系的符号(组合)。 (1)四则运算的形式及含义。从数学发展的逻辑体系来看,加法运算是四则运算的基 础,减法是加法的逆运算,乘法是一种特殊的加法,除法是乘法的逆运算。首先要掌握加法 的定义:对于 a,b∈N,规定运算 a+b 表示在 a 的后面增加 b 个的序数,如果这个序数为 c, 那么,称 c 为 a 与 b 的和。求和的运算叫做加法,记作:a+b =c。显然,加法运算满足封 闭性、交换律、结合律。其次,关于减法的定义,因为减法是加法的逆运算,所以减法是通 过加法来定义的。由于减法将出现负整数,因此,运算的集合需要从自然数集合(N)扩展到 整数集合(Z),整数集合包合正整数、0、负整数。对于 a,x,b∈Z,如果 a+x=b,则称 x 为 b 减 a 的差,求差的运算叫做减法,记作:b-a=x。显然,整数集对于减法运算是封闭 的,而且,存在着“相反数”与“单位元”,使得 a+0=a,a+(-a)=0。对于乘法的定义, 由于乘法在本质上是一类特殊的加法,乘法是数自相加的缩写。一般地,对于 a,b∈N,规 定乘法运算 a·b 表示 a 个 b 相加。显然,乘法运算满足封闭性、交换律、结合律、分配律。 对于除法的定义:由于除法是乘法的逆运算,所以除法是通过乘法来定义的。又由于除法将 出现分数, 因此运算的集合需要从整数集合(Z)扩展到有理数集合(Q)。 这样除法的定义为对 于 a,x,b∈Q,如果 a·x=b.则称 x 为 a 与 b 的商,求商的运算叫做除法,记作:a∕b =x 或 a÷b=x。显然,有理数集对于除法运算是封闭的,而且,存在着“相反数”与“单 位元”,使得 a×1=a,a÷a=1。 (2)运算定律。加减乘除运算定律是指在运算过程中被事实所证明的四则运算变化发展 的基本规律。加法运算定律有加法交换律、加法结合律,乘法运算定律有乘法交换律、乘法 结合律、乘法分配律。值得注意的是,在数的运算中增加了“能结合具体情境,选择适当的 单位进行简单估算,体会估算在生活中的作用”这一内容,这样可使估算的要求更加具体、 明确。 有助于清楚地认识和理解估算的价值与意义。 因为估算的内容是本次数学课程改革重 点强调的内容之一。而在实际教学中,教师对估算价值的理解,以及对估算内容的要求和应 用仍然存在一些困惑。这次修改强调了“选择适当的单位进行简单估算”,明确估算的重点 一是要有具体的情境,二是在一个确定的情境中,注意要根据实际选择单位进行估算。 6. 用字母表示数(式与方程) 用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程, 是学习和认识数学的一次飞跃, 为以 后数学的学习奠定基础。 用字母表示数最先体现在第二学段的式与方程部分, 因为方程是刻

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画数量关系的重要数学模型, 研究方程是为了解决实际问题的需要而逐步形成和完善的数学 知识和方法,有着极其广泛的应用,是代数的核心内容之一。在第二学段,学生将学习方程 的初步知识, 如用方程表示简单情境中的等量关系 (3x+2=5, 2x-x=3) 了解方程的作用, , 等式的性质,能用等式的性质解简单的方程。在这一过程中,学生将掌握等量关系、方程、 等式与方程的解等与方程有关的常识及解简单方程的方法。 对于方程作为刻画现实情境中数 量关系,沟通已知数和未知数的一种数学模型提供了一些素材,留下了初步的印象;进而通 过解方程求得未知数的值,对实际问题作出合理解答,初步领会方程的意义。因此,《课程 标准》增加了“在具体情境中,了解常见的数量关系:总价=单价×数量、路程=速度×时 间,并能解决简单的实际问题。”学生对这些常见数量关系的了解,特别是运用这些数量关 系解决问题, 是小学阶段问题解决的核心。 特别是 “总价=单价×数量、 路程=速度×时间” 是小学阶段最常用的数量关系,多数实际问题都可以归结为这两类数量关系。《课程标准》 中增加这一要求,为小学数学课程与教学中的问题解决提供了一个重要基础。 以前,在小学阶段教学简易方程,方程变形的主要依据是四则运算各部分间的关系,这 实际上是用算术的思路求未知数。这是利用了学生已有的知识,因而易于理解,但是却不易 与中学的教学衔接,等到了中学还需要重新依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程。 现在,根据《课程标准》的要求,在小学起就学习等式的基本性质,了解常见的数量关系, 并以此为基础导出解方程的方法, 不仅有利于加强中小学数学教学的衔接, 而且有利于学生 逻辑思维能力的发展。 7. 正比例与反比例 在第二学段, 将引入正比例与反比例, 让学生初步认识对成正比例的量和成反比例的量, 以及正比例关系和反比例关系的实质。 《课程标准》也规定了相关的学习内容与要求:如在 实际情境中理解比及按比例分配的含义,并能解决简单的问题;能通过具体情境,认识成正 比例的量和成反比例的量; 会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上面图, 并会根据其 中一个量的值估计另一个量的值; 能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例, 并进行 交流。对成正比例的量和成反比例的量做了这样的表述:两种相关联的量,一种量变化,另 一种量也随着变化, 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定, 这两种量就叫做成正比例 的量,它们的关系叫做正比例关系。如果用字母 x,y 表示两种相关联的量,用 k 表示它们 的比值(一定),正比例关系可以用下面的式子表示:y=kx(k 一定)。对成反比例的量做 了这样的表述:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对 应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。如果用 字母 x,y 表示两种相关联的量,用 k 表示它们的乘积(k 一定),反比例关系可以用下面 的式子表示:x·y=k(k 一定)。这两个定义都渗透了变量的含义,为在初中学段学习正 比例函数和反比例函数提供了必要的保证。

专题二:整数内容分析与教学建议
整数的认识分散安排在两个学段,主要内容在第一学段完成, 第二学段重点梳理十进制 记数法。 《课程标准》中与整数的认识有关的内容在第一学段要求如下。 ·在现实情境中理解万以内数的意义,能认、读、写万以内的数,能用数表示物体的个 数或事物的顺序和位置。 ·能说出各数位的名称,理解各数位上的数字表示的意义;知道用算盘可以表示多位数 (参见《课程标准》例 1) 。 ·理解符号<,=,>的含义,能用符号和词语描述万以内数的大小(参见《课程标准》 例 2]。 ·在生活情境中感受大数的意义,并能进行估计(参见《标准》例 3) 。

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第二学段要求如下。 ·在具体情境中,认识万以上的数,了解十进制记数法,会用万、亿为单位表示大数。 ·结合现实情境感受大数的意义,并能进行估计(参见《标准》例 23) 。 “万以内数的认识” 。它是整数认识的主要内容,学生认识数从“一”到“万”是一个 完整的数级,包含了整数认识的所有要素,如数字的表示,数位,各个数位上数字所表示的 值。 第一学段万以内数的认识在实际教学中分几个阶段完成, 这里是对第一学段结束时对学 生的要求。在实际教学中,教师一般将万以内数的认识分为几个阶段来安排,较为普遍的安 排方式是, “20 以内数的认识”→“百以内数的认识”→“万以内数的认识” ,也可以在百 以内数的认识后,安排一次千的认识。在这几个阶段中, “20 以内数的认识”是学生的认数、 读数、写数的重要阶段,涉及几乎所有的整数认识中的要素,如数的抽象,数字的表示与书 写,数位与相应的数值等。 “能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置” 。这部分内容教学重点在于使学生从数 量抽象到数。如从具体的 2 匹马、2 棵树、2 头牛、2 个人,抽象为 2 这个数。用一个数字 (特殊的符号) 来表示数量, 已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉, 抽象为数 “2” 。 反过来, 这个 2 可以表示任何具有 2 这样数量特征的事物。 这个抽象过程在小学一年级开始 认识数时就要强调,直到认识较大的数。学生逐渐认识数的抽象表示,逐步建立数概念。而 自然数的基本特征是后一个数比前一个大 1,从具体的数量抽象出这数后,学生可能通过自 然数的这一特征认识更大的数。2 后面加 1 就是 3,再加 1 就是 4。在这个过程中,学生很 自然地理解自然数的大小关系。 “理解各数位上的数字表示的意义” 。为了表示更大的数,数位概念的建立是十分重要 的。 数位的含义是不同位置上的数字表示不同大小的数, 没有数位的规定就没有办法表示更 大的数。让学生清楚地了解,同样一个数字“3” ,在个位上表示 3 个一;在十位上表示 30, 即 3 个十;在百位上表示 300,即 3 个百。第一学段完成整数万级的认识,第二学段认识万 以上的数, 进而理解十进制记数法。 我国的计数单位是每四位一级, 万以内数的个位、 十位、 百位、千位为个级,学生理解各级上的每个数字的意义,这是理解多位数各个数位上的数字 意义的前提条件。 “知道用算盘可以表示多位数” 。这是《课程标准》新增加内容,增加这一要求主要考 虑中国文化的因素, 以及许多专家学者和一线教师对珠算在小学数学教学作用问题提出的建 议。由于算盘代表了中国传统文化,在相当长的一段时间内作为常用的运算工具,特别是随 着现代科学技术的发展, 计算机和计算器的广泛应用, 算盘作为运算工具的功能虽然逐渐消 失,但在算盘上表示数,具有直观形象、体现数位特征的特点。因此,在学习整数时,让学 生“知道用算盘可以表示多位数” ,有利于学生对多位数的认识,也使学生进一步了解中国 传统文化。 “理解符号<,=,>的含义,能用符号和词语描述万以内数的大小” 。数与数之间最重 要的是大小关系,数的大小关系包括大于、小于和等于。让学生了解数和数之间的关系,就 是让学生可以用自然语言描述, 也可以用符号语言描述了, 而用符号语言描述具有一定的抽 象性,是培养学生的符号意识的开始。用符号“>”或“<”表述的是数量间的大小关系,学 生在完成这个问题过程中,需要理解符号的含义,并能合理使用,这个过程可以帮助学生建 立数感和符号意识。例如:将数 50,98,38,10,51 排序,用“>”或“<”表示。学生将 这些数排序,可能会有不同的排序方法。如先找到最小(大)的,然后在剩余的数中再找到 最小(大)的,依次将 5 个数按从小(大)到大(小)的顺序进行排序;或者先固定一个数 (如 50) ,拿第二个数(98)与之比较,然后取第三个数与前两个数比较,根据它们之间的大 小关系决定位置,这样继续下去,最后将 5 个数排序。因此,无论学生的出发点如何,只要 思路清晰、排序正确即可。需要注意的是用语言描述几个数之间的大小关系时,结论是相对

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的。如可以说 51 比 50 大一些,98 比 10 大得多;而 50 比 38 是大一些,还是大得多,可能 会有不同看法,但不应当出现逻辑上的混乱,说出“50 比 10 大一些,50 比 38 大得多”的 结果。 “感受大数意义和对大数进行估计” ,在第一、第二学段都提出了要求。第一学段是要 求在生活情境中感受大数的意义, 第二学段是要求在现实情境中感受大数的意义, 本质是相 同的,都是希望通过具体的情境让学生对大数加以感受,增加学生的数感。感受大数与情境 的具体内容有关,如 1 200 张纸大约有多厚?你的 1 200 步大约有多长?1 200 名学生站成 做广播体操的队形需要多大的场地?学生可以通过实际操作和观察, 有时还要加入想象的成 分,对大数有切身的感受。对 1 200 名学生站成做广播体操的队形需要多大场地,有些学校 可能没有这么多学生, 学生就需要先了解自己的学校有多少学生, 占多大地方, 再想象 1 200 名学生站成做广播体操的队形会占多大地方。 而在对大数进行估计的时候, 选择合适的单位 很重要。教室到学校体育馆有多远,就应当选用米作单位。而从家到学校有多远,就要选择 千米作单位。太阳到地球的距离就要用光年作单位。

专题三:数的认识内容分析与教学建议
小学阶段数的认识内容主要包括整数、小数、分数、百分数和负数的认识,以及与数的 理解和数的特征有关的数整除性方面的内容。 对这部分内容的理解和把握重点在于数的概念 形成的过程和数感的建立及两个学段相关内容的递进与衔接。有关数的认识,《课程标准》 在第一学段设计了 7 条内容, 在第二学段设计了 9 条内容。 主要可以分为以下几个方面的内 容:整数的认识;分数、小数和百分数的认识;负数的认识;数的整除性相关的内容;数的 简单应用。 1.整数的认识 前面专题二已涉及,不再赘述。 2.分数、小数和百分数的认识 分数、小数的认识分散安排在两个学段,第一学段是分数和小数的初步认识,第了二学 段是认识分数和小数概念。百分数的认识安排在第二学段。《课程标准》中与分数、小数和 百分数的认识有关的内容要求如下。 ·能结合具体情境初步认识分数和小数,能读、写分数和小数。(第一学段) ·能结合具体情境比较两个一位小数大小,能比较两个同分母分数大小。(第一学段) ·结合具体情境,理解小数和分数的意义,理解百分数的意义(参见《标准》例 25); 会进行小数、分数和百分数的转化(不包括将循环小数化为分数)。(第二学段) ·能比较小数的大小和分数的大小。(第二学段) “初步认识分数和小数,能读、写分数和小数”。分数、小数是数的概念在小学的一次 重要扩充, 从整数扩充到分数是人们认识现实世界数量关系的需要, 也是数学用来表征现实 事物、解释现实世界复杂性的功能的扩展。与学习整数相比,学生对于分数、小数的学习要 困难得多。分数、小数无论在意义、书写形式、计数单位、计算法则等方面,还是在学生的 生活经验等方面,都与整数有较大差异。 “理解小数和分数的意义,理解百分数的意义”。分数有两个含义,一是表示部分与整 体的关系,是一个比率,1/3 表示的是把一个单位平均分成 3 份,取其中的一份。这一份的 大小取决于被分的单位的大小。 一个苹果的 1/3 和一个篮球的 1/3 显然是不一样的。 这时的 分数 1/3 具有无量纲性,它只是表示一个比率。分数的另一个含义是表示一个具体的量,如 1/3 米,1/3 千克等。分数在大多数情况下是用来表示一个比率。因此,分数的第一种表示 在实际教学应当成为重点。小数表示的是具体的数量,和整数一样是数量的抽象。分数、小 数的学习重点在于,结合学生的生活经验,初步理解分数、意义,能认识小数,能够认、读、

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写小数和简单的分数了。在分数的意义中,分数单位很重要。3/5 的分数单位是 1/5,是 3 个 1/5。3/5 与 5/8 之所以不能直接相加,是因为分数单位不同,把他们转换成相同单位的 分数就可以直接相加了,24/40 和 25/40 就是 24 个 1/40 和 25 个 1/40 相加,结果是 49 个 1/40 即 49/40。小数的表征形式与整数相似,都是十进制。如果以个位为基础,向右扩展就 是十位、百位、千位;如果向左扩展就是十分之一位(十分位),百分之一位(百分位)等。 从这个意义上说,对小数的理解比对分数的理解要容易一些。百分数是特殊的分数,其数量 上的意义与分数完全相同。 由于百分数在实际应用中的特殊性, 所以将百分数作为一个专门 的内容学习,学习百分数的重点在于应用,即用百分数表示现实生活中的实际问题。 小数和分数的学习分为两个学段, 第一学段是小数和分数的初步认识, 第二学段是较为 准确地认识小数和分数的意义。 两个学段的重点不同, 呈现的方式和学习的方式也应有区别。 第一学段的初步认识在于从实际情境中具体地了解小数和分数,重在现实情境的选择和运 用。如小数的认识一般从物品的标价引入。以元为单位,3.5 元就表示 3 元 5 角。分数的初 步认识是从分物体出发,把一个饼,一个苹果平均分成 5 份,一份就是它的 1/5。第一学 段的初步认识可以先认识分数,再认识小数。知道 1/10,再理解 0.1 就更容易一些。而在 第二学段也可以先认识小数的意义,再认识分数的意义。 在学习了小数、分数和百分数之后,要让学生了解它们之间的关系。可以通过具体的问 题帮助学生了解小数、分数和百分数的含义以及它们的联系。 例 1(《课程标准》例 25) 说明 1∕4,0.25 和 25%的含义。 在这个例子中,是让学生了解分数、小数和百分数都是有理数的常用表示方法,但含义 有所不同的。真分数通常表示部分与整体的关系,如全班同学人数的 1∕4;小数通常表示 具体的数量,如一支铅笔 0. 25 元;百分数是同分母(统一标准)的比值,便于比较,如去 年比前年增长 21%,今年比去年增长 25%。要让学生理解它们的含义,在生活中合理使用。 3.负数的认识 负数的引入是数的概念的进一步扩充,根据小学生的思维发展水平, 《课程标准》只是 在第二学段对负数提出简单的要求, “在熟悉的生活情境中,了解负数的意义,会用负数表 示日常生活中的一些量。”当然,对于小学生来讲,理解负数的意义是有一定难度的。教师 要把握《课程标准》对负数提出的要求,一是限定在了解的层次,并且要在具体的生活情境 中使学生了解。如可以利用气温的变化来体会负数,“零上 5 摄氏度”用+5℃表示,“零下 5 摄氏度”用-5℃表示。也可以把收入的钱用正数表示,支出的钱用负数表示。“收入 200 元”就是+200 元,或 200 元,“支出 100 元”就是-100 元。 4.数的整除性相关的内容 在第二学段安排了数的整除性及其相关的内容,具体要求有 3 条。 ·知道 2,3,5 的倍数的特征,了解公倍数和最小公倍数;在 1~100 的自然数中,能 找出 10 以内自然数的所有倍数,能找出 10 以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。 ·了解公因数和最大公因数;在 1~100 的自然数中,能找出一个自然数的所有因数, 能找出两个自然数的公因数和最大公因数。 ·了解自然数、整数、奇数、偶数、质(素)数和合数。 总体上看,这部分内容与以前相比有许多变化,减少了内容,降低了要求。在实际教学 中应当注意以下几个方面:一是理解《课程标准》的要求,把握具体内容的尺度,几个具体 概念的要求都是了解。 如公倍数和最小公倍数等, 学生知道什么是公倍数和最小公倍数就可 以,而求公倍数和最小公倍数要限制在 10 以内的自然数。二是与有关内容结合。数的整除 性的相关内容不是单纯为了学习数的特征的内容而设, 是与一些内容的学习密切相关, 或为 学习某些内容做准备, 如分数计算时要运用最小公倍数进行通分, 解决一些实际问题时要用 数的公因数等。三是体现数学思想方法,培养学生能力,在学习质数与合数时,运用数学史

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上一些经典的方法探索问题,如用筛法找出一定范围内的质数,或在认识 2,3,5 的倍数特 征时,可以创设数学情境,在探索的过程中培养学生能力。 5.数的简单应用 对于数的简单应用,《课程标准》在第一、第二学段各有一条内容要求:“能运用数表 示日常生活中的一些事物,并能进行交流。” (第一学段) “会运用数描述事物的某些特征, 进一步体会数在日常生活中的作用。”(参见《标准》例 24)(第二学段) 数的运用有两种情况:一是表示数量,如个数、体重、身高等,表示数量的数具有大小 并且可以进行运算;二是数仅仅作为符号来使用,此时数没有大小和运算功能。一些没有数 量特征的事物也可以用数字进行表示,比如赞成用 1,反对用 0,还有一些事物的编码等。 前一种是常见的, 在小学阶段大多数情况是用数的这种表示方式。 后一种在生活中也有许多 应用,教学中应重视数的这一表示方式。 《课程标准》给出了一个这类应用的例子(《标准》例 24)。 某学校为学生编号, 设定末尾用 1 表示男生, 2 表示女生, 用 例如, 200903321 表示 “2009 年入学的三班的 32 号同学,该同学是男生”。那么,201004302 表示什么? 这个例子可以启发学生思考,编号提示给我们一些什么信息。比如,一个年级最多有多 少个班,一个班最多有多少名学生。可以引导学生设计本学校的学生编号方案。还可以启发 学生通过观察学生证的编号估计学校的学生数。 类似这样的应用还有身份证编号、 汽车牌号 等。通过这方面内容的教学,可以增加学生对“数” 的应用意识,培养学生的数学交流能力, 更深刻地理解数的意义,逐步建立数感。

专题四:数的运算内容分析与教学建议
数的运算内容贯穿于整个第一、第二学段,是这两个学段数学学习分量比较重、占用学 习时间最多的内容。对于数的运算首先要使学生理解为什么要运算,要达到什么目的,这决 定学生选择什么运算方式和要达到什么精度的要求。 因此, 教师首先要让学生理解面对具体 问题的情形,确定是否需要计算。然后再确定需要什么样的计算方法。当然教师要重视学生 对算理的理解和掌握,按照《课程标准》把握运算的熟练程度的要求,教师教学中要鼓励学 生用自己的方法去尝试运算,选择合适的方法进行运算。理解常见的数量关系,并运用常见 的数量关系解决问题。 1.整数运算 对于整数的运算,《课程标准》在第一学段提出具体的内容要求如下。 ·结合具体情境,体会整数四则运算的意义。(参见《标准》例 5) ·能熟练地口算 20 以内的加减泫和表内乘除法,能口算百以内的加减法和一位数乘除 两位数。 ·能计算三位数的加减法,一位数乘三位数、两位数乘两位数的乘法,三位数除以一位 数的除法。 ·认识小括号,能进行简单的整数四则混合运算(两步)。 《课程标准》在第二学段提出具体的内容要求如下。 ·能计算三位数乘两位数的乘法,三位数除以两位数的除法。 ·认识中括号,能进行简单的整数四则混合运算(以两步为主,不超过三步)。 ·探索并了解运算律(加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的 分配律),会应用运算律进行一些简便运算。 ·在具体运算和解决简单实际问题的过程中,体会加与减、乘与除的互逆关系。 学习整数的运算首先要使学生理解算理, 把握四则运算的本质。 如加一个正数比原数大, 学习加法时,必须使学生理解这个算理。减法是加法的逆运算,减去一个正数就比原来的数

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小。乘法是加法的简便运算,是求相同加数的和,这是乘法的本质特征。除法是乘法的逆运 算。教学中要强调让学生理解四则运算并了解它们之间的关系。 对于运算的难度和熟练程度, 《课程标准》针对不同的内容作出了明确的要求。限制运 算的步骤是为了控制繁杂的问题, 四则运算的多步计算会出很繁杂的问题, 对于每一步骤的 计算学生可能都会做, 但在若干步骤计算中, 如果有一个地方出错, 就会导致整个结果出错。 在有了计算器之后,人们在现实生活中遇到繁杂的问题时,可以选择用计算工具,没有必要 把用大量的时间用于繁杂的运算。而这种繁杂的运箅,稍不留意就会在某一个环节出错,也 会导致学生失去学习数学的信心。 要淡化对运算的熟练程度的要求,要选择正确的计算方法,得到准确的运算结果,这比 运算的熟练程度更重要。 教师要重视学生是否理解了运算的道理, 是否能准确地得出运算的 结果,而不应单纯地看运算的速度。 2.分数、小数和百分数运算 《课程标准》在第一、第二学段规定的分数、小数和百分数运算如下。 ·会进行同分母分数(分母小于 10)

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