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6.3 空间的平面与直线


第六章

第三节 空间的平面与直线
(Space Planes and Straight Line )

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 四、小结与思考练习

2015年9月13日星期日

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一、平面的点法式方程
(The Point-Normal Form Equations of a Plane)

设一平面通过已知点 量 求该平面?的方程.

且垂直于非零向

z
?
M

任取点 M ( x, y, z ) ? ? , 则有
M 0M ? n

n
M0



M 0M ? n ? 0

o x

y



称①式为平面?的点法式方程,称 n 为平面 ? 的法向量.
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例1 求过三点 的平面 ? 的方程. 解: 取该平面? 的法向量为

n
M1
?

n ? M 1M 2 ? M 1M 3
i j k ? ?3 4 ?6 ? 2 3 ?1

M3 M2

又 M 1 ? ? , 利用点法式得平面 ? 的方程

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说明: 此平面的三点式方程也可写成

?3 ?2
的平面方程为

4 3

?6 ? 0 ?1

一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) (k ? 1, 2 , 3)

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特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 时,平面方程为 x y z ? ? ? 1 (a , b , c ? 0) a b c

此式称为平面的截距式方程.
分析:利用三点式

x?a ?a

y b

z 0 ?0

?a 0 c 按第一行展开得 ( x ? a)bc ? y (?a)c ? zab ? 0 bcx ? acy ?abz ? abc 即
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二、平面的一般方程 (General Equation of a Plane)
设有三元一次方程

( A2 ? B 2 ? C 2 ? 0 )
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则



A x0 ? B y0 ? C z0 ? D ? 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程

显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是
法向量为 n ? ( A, B, C ) 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.
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特殊情形 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; ? A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; ? C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; ? A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面; ? B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
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例2 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A ? D ? 0

设所求平面方程为

By ?Cz ? 0
代入已知点 (4 , ? 3 , ? 1) 得
化简,得所求平面方程 例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.

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三、两平面的夹角(The Angle between Two Planes)
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ? ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ? ( A2 , B2 , C2 ) 则两平面夹角? 的余弦为

n1

n2

?2 ?1



n1 ? n2 cos? ? n1 n2

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?1 : n1 ? ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论:

n1 ? n2 cos? ? ? 2 : n2 ? ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2

n2

(1) ?1 ? ? 2 (2) ?1 // ? 2

n1 ? n2 A1 A2 ? B1 B2 ? C1 C2 ? 0 n1 // n2
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

?1

?2

n1

n2
?2 ?1

n1

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例4 一平面通过两点 M 1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, ? 1 ) , 且
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .

解: 设所求平面的法向量为
方程为

则所求平面

A( x ? 1) ? B( y ? 1) ? C ( z ? 1) ? 0

n ? M 1M 2

? A ? 0 ? B ? 2C ? 0 , 即 A? B ?C ? 0, 故

n ? ? 的法向量

因此有 ? 2C ( x ? 1) ? C ( y ? 1) ? C ( z ? 1) ? 0 (C ? 0)
约去C , 得

? 2( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? 1) ? 0
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例5 设
解:设平面法向量为

是平面
在平面上取一点

外一点,求 P0 到平面的距离d . ,则P0 到平面的距离为 P 1P 0?n ? PP ? d ? Prj n 1 0 n

n P0
d
P 1

?

A( x0 ? x1 ) ? B( y0 ? y1 ) ? C ( z0 ? z1 ) A2 ? B 2 ? C 2
A x0 ? B y0 ? C z0 ? D A2 ? B 2 ? C 2
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d?

(点到平面的距离公式)
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例6 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程. 解: 设球心为 则它位于第一卦限,且
2 2

x0 ? y 0 ? z 0 ? 1 1 ?1 ?1
2

? x0 ? y0 ? z0

z

? 1 ? 3 x0 ? 3 x0
从而
因此所求球面方程为
x o
M0

y

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内容小结
1. 平面基本方程:
一般式
点法式 截距式

Ax ? By ? Cz ? D ? 0

x y z ? ? ?1 a b c
x ? x1 x2 ? x1 x3 ? x1

(abc ? 0)
z ? z1 z 2 ? z1 ? 0 z3 ? z1
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三点式

y ? y1 y2 ? y1 y3 ? y1
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2. 平面与平面之间的关系
平面 ?1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 z ? D1 ? 0, 平面 ? 2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0, 垂直: 平行: n1 ? n2 ? 0

A1 A2 ? B1B2 ? C1C2 ? 0
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

n1 ? n2 夹角公式: cos? ? n1 n2
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