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(新1)两角差的三角函数


第 三 章

三角恒等变换
3.1.1 两角差的余弦公式

一、引言:
1.变换是数学的重要工具。它包括变换的对象、变 换的目标、变换的依据与方法等。 2.本章将学习两个角的三角函数式的变换,三角 变换是只变其形而不变其质。 3.本章研究的内容与第一章不同的是:两个角的 和、差、倍角与单角之间的关系。

二、两个角差的余弦公式及应用

(一)、问题引入
1.在三角函数中,我们学习了哪些基本的三 角函数公式?
2.对于30°,45°,60°等特殊角的三角函数值 可以直接写出,利用诱导公式还可进一步求出 150°,210°,315°等角的三角函数值.我们希 望再引进一些公式,能够求更多的非特殊角如 750等的三角函数值,同时也为三角恒等变换提 供理论依据 3.若已知α,β的三角函数值,那么cos(α-β)的值 是否确定?它与α,β的三角函数值有什么关系? 这是我们需要探索的问题.

思考:我们设想cos(α -β )的值与α , β 的三角函数值有一定关系,观察下表 中的数据,你有什么发现?
cos(60°- 30°)
3 2

cos60° cos30° sin60° sin30°
1 2
3 2 3 2

1 2

cos(120° cos120° cos60° sin120° sin60° -60°)
1 2
? 1 2

1 2

3 2

3 2

(二)、探究公式
y 1 A
s?

P1

?
co

s in

?
P

C

?

?

? ??
B

O

M

1

x

cos ? cos ?

+

sin ? sin ?

思考:如图,设角α ,β 的终边与单位圆 的交点分别为A、B,则向量 ΟΑ、ΟB 的坐标分别是什么?其数量积是什么?
ΟΑ=(cosα

,sinα A )

y

ΟB=(cosα ?
α

? ,sinα )

B
β

O

x

uur uuu u r OA · b b ΟΑ ?OB = cos a cos? + sin a sin ? ΟB

公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 称为差角的余弦公式,记作C? ? ? ,该公式有 什么特点?如何记忆?

探究(二):两角差的余弦公式的变通

思考1:若已知α +β 和β 的三角函数 值,如何求cosα 的值?

cosα =cos[(α +β )-β ]= cos(α +β ) cosβ +sin(α +β )sinβ . 思考2:利用α -(α -β )=β 可得 cosβ 等于什么? cosβ =cos[(α -β )-α ]= cos(α -β )cosα +sin(α -β )sinα .

思考3:若cosα +cosβ =a,sinα + sinβ =b,则cos(α -β )等于什么?
cos(? ? ? ) ? a ?b ?2
2 2

2

思考4:若cosα -cosβ =a,sinα - sinβ =b,则cos(α -β )等于什么?
cos(? ? ? ) ? 2?a ?b
2 2

2

三、例题讲解

例1 利用余弦公式求cos15°的值. 例2 已知
? ?( ?
2 , ? ), cos ? ? ? 5 13 ,

β 是第三象限角,求cos(α -β )的值.

例3 已知


cos( ? ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ? ) sin ? ?

1 3

, 求

的值.

四、课堂小结

1.在差角的余弦公式的形成过程中,蕴 涵着丰富的数学思想、方法和技巧,如 数形结合,化归转换、归纳、猜想、构 造、换元、向量等,我们要深刻理解和 领会. 2.已知一个角的正弦(或余弦)值,求 该角的余弦(或正弦)值时, 要注意该 角所在的象限,从而确定该角的三角函 数值符号.

3.在差角的余弦公式中,α,β既可以 是单角,也可以是复角,运用时要注意 角的变换,如,2β =(α +β )-(α -β ) ? ? ? ? (? ? ) ? 等. 同时,公式的应用具有 6 6 灵活性,解题时要注意正向、逆向和变 式形式的选择.

五|布置作业: 1.P127练习:1,2,3,4.
2.家庭作业:优化方案


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