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随机变量


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数学

讲义 离散型随机变量及其分布列
主讲人: 褚老师

一、选择题 1.(2014~2015·杭州高二检测)设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 ξ 描述一次试验的成功次数,则 P(ξ =1)=( ) 1 A.0 B. 2 1 2 C. D. 3 3 [答案] D [解析] 由

题意,“ξ =0”表示试验失败,“ξ =1”表示试验成功,设失败率为 p, 则成功率为 2p,则 ξ 的分布列为 ξ 0 1 P p 2p 1 2 ∵p+2p=1,∴p= ,∴P(ξ =1)= . 3 3 ?1?i 2.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ =i)=a? ? ,i=1、2、3,则 a 的值为( ) ?3? 9 A.1 B. 13 11 27 C. D. 13 13 [答案] D 1 1 1 27 [解析] 设 P(ξ =i)=pi,则 p1+p2+p3= a+ a+ a=1,∴a= . 3 9 27 13 3.已知随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 P 2 3 4 5 3 3 3 3 3 ξ 6 7 8 9 10 2 2 2 2 P m 6 7 8 9 3 3 3 3 则 P(ξ =10)=( ) 2 2 A. 9 B. 10 3 3 1 1 C. 9 D. 10 3 3 [答案] C 2? ?2 2 [解析] P(ξ =10)=m=1-? + 2+?+ 9? 3? ?3 3 1 2? ? ?? ?1-?3?9? 3? ? ?? 1 =1- = 9. 1 3 1- 3

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4.一批产品共 50 件,其中 5 件次品,45 件正品,从这批产品中任抽两件,则出现次 品的概率为( ) 2 9 A. B. 245 49 47 C. D.以上都不对 245 [答案] C 2 C45 45×44 47 [解析] P=1- 2 =1- = ,故选 C. C50 50×49 245 5.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即以先赢 2 局者为胜,根 据经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率是( ) A.0.216 B.0.36 C.0.432 D.0.648 [答案] D [解析] 甲获胜的概率为 P=0.6×0.6+0.6×0.4×0.6+0.4×0.6×0.6=0.648. 6.设袋中有 80 个红球,20 个白球,若从袋中任取 10 个球,则其中恰有 6 个红球的概 率为( ) 4 6 6 4 C80C10 C80C10 A. 10 B. 10 C100 C100 4 6 6 4 C80C20 C80C20 C. 10 D. 10 C100 C100 [答案] D 6 4 C80C20 [解析] P(ξ =6)= 10 . C100 二、填空题 7.设随机变量 ξ 的概率分布为 P(ξ =k)= [答案] 12 25

c ,k=0、1、2、3,则 c=________. k+1

c c c 12 [解析] c+ + + =1,∴c= . 2 3 4 25 8.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 ξ 个红球,则随机变 量 ξ 的概率分布列为 ξ 0 1 2 P
[答案] 0.1 0.6 0.3 2 C2 [解析] P(ξ =0)= 2=0.1, C5 1 1 2 C3C2 C3 P(ξ =1)= 2 =0.6,P(ξ =2)= 2=0.3. C5 C5 9.设随机变量 ξ 的可能取值为 5、6、7、?、16 这 12 个值,且取每个值的概率均相 同,则 P(ξ >8)=________,P(6<ξ ≤14)=________. 2 2 [答案] 3 3 1 2 1 2 [解析] P(ξ >8)= ×8= ,P(6<ξ ≤14)= ×8= . 12 3 12 3

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三、解答题 10.(2014·宝鸡市质检)为了参加广州亚运会,从四支较强的排球队中选出 18 人组成 女子排球国家队,队员来源人数如下表: 队别 北京 上海 天津 八一 人数 4 6 3 5 (1)从这 18 名队员中随机选出两名,求两人来自同一队的概率; (2)中国女排奋力拼搏,战胜了韩国队获得冠军,若要求选出两位队员代表发言,设其 中来自北京队的人数为 ξ ,求随机变量 ξ 的分布列. [解析] (1)“从这 18 名队员中选出两名,两人来自于同一队”记作事件 A, 2 2 2 2 C4+C6+C3+C5 2 则 P(A)= = . 2 C18 9 (2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2. 2 1 1 C14 91 C4C14 56 ∵P(ξ =0)= 2 = ,P(ξ =1)= 2 = , C18 153 C18 153 2 C4 6 P(ξ =2)= 2 = , C18 153 ∴ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 91 56 6 P 153 153 153

一、选择题 11.(2014~2015·九江市高二检测)某 12 人的兴趣小组中,有 5 名“三好生”,现从 3 3 C5C7 中任意选 6 人参加竞赛,用 X 表示这 6 人中“三好生”的人数,则下列概率中等于 6 的是 C12 ( ) A.P(X=2) B.P(X=3) C.P(X≤2) D.P(X≤3) [答案] B 3 3 [解析] C5表示从 5 名“三好生”中选择 3 名,C7表示从其余 7 名学生中选 3 名,从而 3 3 C5C7 P(X=3)= 6 . C12 12.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ -1 0 1

P

a

b

c
)

,其中 a、b、c 成等差数列.则 P(|ξ |=1)等于( 1 1 A. B. 3 4 1 2 C. D. 2 3 [答案] D [解析] ∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c. 1 2 又 a+b+c=1,∴b= ,∴P(|ξ |=1)=a+c= . 3 3

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13.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完 后装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值是( ) 1 27 A. B. 220 55 27 21 C. D. 220 55 [答案] C 1 2 C9C3 27 [解析] 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球 1 个新球,故 P(X=4)= 3 = . C12 220 14.设 ξ 是一个离散型随机变量,其分布列为 ξ -1 0 1 1 P 1-2a a2 2 则 a=( ) 2 A.1 B.1± 2 2 2 [答案] D [解析] 由分布列的性质,得 C.1+ 1-2a≥0, ? ? ?1 2 +?1-2a?+a =1, ? ?2 解得 a=1- 2 . 2 D.1- 2 2

二、填空题 15.随机变量 η 的分布列如下 η 1 2 3 4 P 0.2 x 0.25 0.1 则 x=________,P(η ≤3)=________. [答案] 0.1 0.55 [解析] ∵0.2+x+0.25+0.1+0.15+0.2=1, ∴x=0.1. P(η ≤3)=P(η =1)+P(η =2)+P(η =3) =0.2+0.1+0.25=0.55.

5 0.15

6 0.2

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三、解答题 16. (2014·保定市八校联考改)某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否 符合低碳观念的调查, 若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”, 否则称为“非低碳族”, 这两族人数占各自小区总人数的比例如下: A 小区 低碳族 非低碳族 1 1 比例 2 2

B 小区
比例

低碳族 4 5

非低碳族 1 5

低碳族 非低碳族 2 1 比例 3 3 (1)从 A,B,C 三个社区中各选一人,求恰好有 2 人是低碳族的概率; (2)在 B 小区中随机选择 20 户,从中抽取的 3 户中“非低碳族”数量为 X,求 X 的分布 列. [解析] (1)记这 3 人中恰好有 2 人是低碳族为事件 A, 1 4 1 1 1 2 1 4 2 7 P(A)= × × + × × + × × = . 2 5 3 2 5 3 2 5 3 15 (2)在 B 小区中随机选择 20 户中,“非低碳族”有 4 户, k 3-k C4C16 P(X=k)= 3 ,(k=0,1,2,3), C20 ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 28 8 8 1 P 57 19 95 285 17.(2015·宝鸡市金台区高二期末)某校 2014~2015 学年高二年级某班的数学课外活 动小组有 6 名男生, 4 名女生, 从中选出 4 人参加数学竞赛考试, 用 X 表示其中男生的人数. (1)请列出 X 的分布列; (2)根据你所列的分布列求选出的 4 人中至少有 3 名男生的概率. [解析] (1)依题意得,随机变量 X 服从超几何分布, ∵随机变量 X 表示其中男生的人数, ∴X 可能取的值为 0,1,2,3,4. k 4-k C6·C4 ∴P(X=k)= ,k=0,1,2,3,4. 4 C10 ∴X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 1 4 3 8 1 P 210 35 7 21 14 (2)由分布列可知选出的 4 人中至少有 3 名男生的概率为: 8 1 19 即 P(X≥3)=P(X=3)+P(x=4)= + = . 21 14 42

C 小区

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一、选择题 1 1.已知随机变量 X 的分布列为:P(X=k)= k,k=1、2、?,则 P(2<X≤4)=( 2 3 1 A. B. 16 4 1 5 C. D. 16 16 [答案] A [解析] P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4) 1 1 3 = 3+ 4= . 2 2 16 2.某射手射击所得环数 X 的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( ) A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 [答案] C [解析] P(ξ >7)=P(ξ =8)+P(ξ =9)+P(ξ =10)=0.28+0.29+0.22=0.79. )

3.已知随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ =i)= (i=1,2,3),则 P(ξ =2)=( ) 2a 1 1 A. B. 9 6 1 1 C. D. 3 4 [答案] C 1 2 3 6 [解析] 由离散型随机变量分布列的性质知 + + =1,∴ =1,即 a=3, 2 a 2a 2a 2a 1 1 ∴P(ξ =2)= = . a 3 4.袋中有 10 个球,其中 7 个是红球,3 个是白球,任意取出 3 个,这 3 个都是红球的 概率是( ) 1 7 A. B. 120 24 7 3 C. D. 10 7 [答案] B 3 0 C7·C3 7 [解析] P= 3 = . C10 24

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5.一个袋中有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,还有 4 个同样大小的白球, 编号为 7,8,9,10.现从中任取 4 个球,有如下几种变量: ①X 表示取出的球的最大号码; ②Y 表示取出的球的最小号码; ③取出一个黑球记 2 分, 取出一个白球记 1 分,ξ 表示取出的 4 个球的总得分;④η 表示取出的黑球个数. 这四种变量中服从超几何分布的是( ) A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④ [答案] B [解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式,或用排除法. 6.用 1、2、3、4、5 组成无重复数字的五位数,这些数能被 2 整除的概率是( ) 1 1 A. B. 5 4 2 3 C. D. 5 5 [答案] C 4 2A4 2 [解析] P= 5 = . A5 5 二、填空题 7.从装有 3 个红球、3 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 ξ 个红球,则随机变 量 ξ 的概率分布为: ξ 0 1 2

P
1 3 1 [答案] 5 5 5 8.随机变量 ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3 4 5 1 2 7 8 1 2 P 9 15 45 45 5 9 则 ξ 为奇数的概率为________. 8 [答案] 15 9.从 6 名男同学和 4 名女同学中随机选出 3 名同学参加一项竞技测试,则在选出的 3 名同学中,至少有一名女同学的概率是______. 5 [答案] 6 3 [解析] 从 10 名同学中选出 3 名同学有 C10种不同选法, 在 3 名同学中没有女同学的选 3 C 5 6 3 法有 C6种,∴所求概率为 P=1- 3 = . C10 6

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三、解答题 10.(2014·福州模拟)某学院为了调查本校学生 2013 年 9 月“健康上网”(健康上网是 指每天上网不超过两个小时)的天数情况, 随机抽取了 40 名本校学生作为样本, 统计他们在 该月 30 天内健康上网的天数, 并将所得的数据分成以下六组: [0,5], (5,10], (10,15], ?, (25,30],由此画出样本的频率分布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求这 40 名学生中健康上网天数超过 20 天的人数; (2)现从这 40 名学生中任取 2 名,设 Y 为取出的 2 名学生中健康上网天数超过 20 天的 人数,求 Y 的分布列. [ 解析 ] (1) 由图可知,健康上网天数未超过 20 天的频率为 (0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.09)×5=0.15×5=0.75, 所以健康上网天数超过 20 天的学生人数是 40×(1-0.75)=40×0.25=10. (2)随机变量 Y 的所有可能取值为 0、1、2. 2 1 1 C30 29 C10C30 5 P(Y=0)= 2 = ;P(Y=1)= 2 = ; C40 52 C40 13 2 C10 3 P(Y=2)= 2 = . C40 52 所以 Y 的分布列为: Y 0 1 2 29 5 3 P 52 13 52

一、选择题 11.随机变量 ξ 的概率分布列为 P(ξ =k)= 5? ?1 数,则 P? <ξ < ?则值为( 2? ?2 2 A. 3 4 C. 5 [答案] D [解析] ) 3 B. 4 5 D. 6

c ,k=1、2、3、4,其中 c 是常 k?k+1?

+ + + 1×2 2×3 3×4 4×5 ?? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1?? =c??1- ?+? - ?+? - ?+? - ?? ?? 2? ?2 3? ?3 4? ?4 5?? 4 5 = c=1.∴c= . 5 4 5? 1 ? 5 5? 1 ?1 + ∴P? <ξ < ?=P(ξ =1)+P(ξ =2)= ? ?= . 2? 4?1×2 2×3? 6 ?2
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2 3 12.将一骰子抛掷两次,所得向上的点数分别为 m 和 n,则函数 y= mx -nx+1 在[1, 3 +∞)上为增函数的概率是( ) 1 5 A. B. 2 6 3 2 C. D. 4 3 [答案] B 2 3 2 [解析] 由题可知, 函数 y= mx -nx+1 在[1, +∞)上单调递增, 所以 y′=2mx -n≥0 3 在[1,+∞)上恒成立,所以 2m≥n,则不满足条件的(m,n)有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), 2 3 (2,5),(2,6)共 6 种情况,所以满足条件的共有 30 种情况,则函数 y= mx -nx+1 在[1, 3 30 5 +∞)上单调递增的概率为 P= = ,故选 B. 36 6 13.已知在 10 件产品中可能存在次品,从中抽取 2 件检查,其次品数为 ξ ,已知 P(ξ 16 =1)= ,且该产品的次品率不超过 40%,则这 10 件产品的次品率为( ) 45 A.10% B.20% C.30% D.40% [答案] B 1 1 Cx·C10-x x?10-x? 16 [解析] 设 10 件产品中有 x 件次品,则 P(ξ =1)= = = ,∴x 2 C10 45 45 =2 或 8. ∵次品率不超过 40%,∴x=2, 2 ∴次品率为 =20%. 10 14.(2014~2015·长春市高二期中)一批产品分为一、二、三级,其中一级品是二级品 的两倍,三级品为二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检验,其级别为随机变量 ξ , 1 5 则 P( ≤ξ ≤ )=( ) 3 3 1 2 A. B. 7 7 3 4 C. D. 7 7 [答案] D [解析] 设二级品数为 x,则一级品有 2x,三级品有 ,用 ξ =k 表示“从这批产品中 2 任取一个,检验级别为 k 级品”,则 2x 4 P(ξ =1)= = , x 7 x+2x+ 2 2 1 同理得 P(ξ =2)= ,P(ξ =3)= , 7 7 1 5 4 ∴P( ≤ξ ≤ )=P(ξ =1)= ,故选 D. 3 3 7

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二、填空题 15.已知离散型随机变量 X 的分布列 P(X=k)= ,k=1、2、3、4、5,令 Y=2X-2, 15 则 P(Y>0)=________. 14 [答案] 15 1 2 3 [解析] 由已知 Y 取值为 0、2、4、6、8,且 P(Y=0)= ,P(Y=2)= ,P(Y=4)= 15 15 15 1 4 5 14 = ,P(Y=6)= ,P(Y=8)= .则 P(Y>0)=P(Y=2)+P(Y=4)+P(Y=6)+P(Y=8)= . 5 15 15 15 16. 一批产品分为四级, 其中一级产品是二级产品的两倍, 三级产品是二级产品的一半, 四级产品与三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量 ξ , 则 P(ξ >1)=________. 1 [答案] 2 1 [解析] 依题意, P(ξ =1)=2P(ξ =2), P(ξ =3)= P(ξ =2), P(ξ =3)=P(ξ =4), 2 由分布列性质得 1=P(ξ =1)+P(ξ =2)+P(ξ =3)+P(ξ =4), 1 1 4P(ξ =2)=1,∴P(ξ =2)= ,P(ξ =3)= . 4 8 1 ∴P(ξ >1)=P(ξ =2)+P(ξ =3)+P(ξ =4)= . 2 三、解答题 17.盒子中装着标有数字 1、2、3、4、5 的卡片各 2 张,从盒子中任取 3 张卡片,每张 卡片被取出的可能性都相等,用 ξ 表示取出的 3 张卡片上的最大数字,求: (1)取出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ξ 的概率分布. 3 1 1 1 C5C2C2C2 [解析] (1)记“一次取出的 3 张卡片上的数字互不相同的事件”为 A, 则 P(A)= 3 C10 2 = . 3 (2)由题意 ξ 可能的取值为 2、3、4、5, 2 1 1 2 C2C2+C2C2 1 P(ξ =2)= = , 3 C10 30 2 1 1 2 C4C2+C4C2 2 P(ξ =3)= = , 3 C10 15 2 1 1 2 C6C2+C6C2 3 P(ξ =4)= = , 3 C10 10 2 1 1 2 C8C2+C8C2 8 P(ξ =5)= = . 3 C10 15 所以随机变量 ξ 的分布列为: ξ 2 3 4 5 1 2 3 8 P 30 15 10 15

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18.设 S 是不等式 x -x-6≤0 的解集,整数 m、n∈S. (1)记“使得 m+n=0 成立的有序数组(m,n)”为事件 A,试列举 A 包含的基本事件; 2 (2)设 ξ =m ,求 ξ 的分布列. [解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识,考查运算求解能力、应用意 识,考查分类与整合思想、化归与转化思想. 解题思路是先解一元二次不等式, 再在此条件下求出所有的整数解. 解的组数即为基本 事件个数,按照古典概型求概率分布列. 2 (1)由 x -x-6≤0 得-2≤x≤3, 即 S={x|-2≤x≤3}. 由于 m、n∈Z,m、n∈S 且 m+n=0,所以 A 包含的基本事件为: (-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0). (2)由于 m 的所有不同取值为-2、-1、0、1、2、3, 2 所以 ξ =m 的所有不同取值为 0、1、4、9. 1 2 1 2 1 1 且有 P(ξ =0)= ,P(ξ =1)= = ,P(ξ =4)= = ,P(ξ =9)= . 6 6 3 6 3 6 故 ξ 的分布列为: ξ 0 1 4 9 1 1 1 1 P 6 3 3 6

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