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湖南省新田县第一中学高中数学 第二章 2.3.1数学归纳法练习 新人教B版选修2-2


湖南省新田县第一中学高中数学 第二章 2.3.1 数学归纳法练习 新 人教 B 版选修 2-2
班级___________
n
2

姓名___________学号___________

1.用数学归纳法证明“2 >n +1 对于 n≥n0 的自然数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值

n0 应取(
A.2

). B.3 C.5 D.6 ?n+3??n+4? (n∈N+), 2

2.用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= 验证 n=1 时,左边应取的项是( A.1 B.1+2 ).

C.1+2+3

D.1+2+3+4 ).

1 1 1 3.设 f(n)=1+ + +?+ (n∈N+),那么 f(n+1)-f(n)等于( 2 3 3n-1 A. 1 3n+2 1 1 B. + 3n 3n+1 1 1 C. + 3n+1 3n+2
n

1 1 1 D. + + 3n 3n+1 3n+2
*

4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)?(n+n)=2 ·1·3·?·(2n-1)(n∈N ),从 n =k 到 n=k+1,左边增加的代数式为( A.2k+1 B.2(2k+1) 2k+1 C. k+1 ). 2k+3 D. k+1

5.用数学归纳法证明关于 n 的恒等式,当 n=k 时,表达式为 1×4+2×7+?+k(3k+1) =k(k+1) ,则当 n=k+1 时,表达式为________.
2

6.记凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸 k+1 边形的内角和 f(k+1)=f(k)+________.

7.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)?(n+n)=2 左边需要添加的因式是________.

n-1

·(n +n)时,从 n=k 到 n=k+1

2

8.用数学归纳法证明 1 +2 +?+n =
2 2 2

n?n+1??2n+1?
6

(n∈N ).

*

1

1 * 9. 已知正数数列{an}(n∈N )中, 前 n 项和为 Sn, 且 2Sn=an+ n, 用数学归纳法证明: an= n

a

- n-1.

1.用数学归纳法证明“2 >n +1 对于 n≥n0 的自然数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值

n

2

n0 应取
( ).

2

A.2 B.3 C.5 D.6 解析 当 n 取 1、2、3、4 时 2 >n +1 不成立,当 n=5 时,2 =32>5 +1=26,第一个 能使 2 >n +1 的 n 值为 5,故选 C. 答案 C 2.用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= 时,左边应取的项是 ( A.1 C.1+2+3 解析 等式左边的数是从 1 加到 n+3. 当 n=1 时,n+3=4,故此时左边的数为从 1 加到 4. 答案 D 1 1 1 3.设 f(n)=1+ + +?+ (n∈N+),那么 f(n+1)-f(n)等于 2 3 3n-1 ( A. C. 1 3n+2 1 1 + 3n+1 3n+2 B. D. 1 1 + 3n 3n+1 1 1 1 + + 3n 3n+1 3n+2 ). B.1+2 D.1+2+3+4 ). ?n+3??n+4? (n∈N+),验证 n=1 2
n
2

n

2

5

2

1 1 1 解析 ∵f(n)=1+ + +?+ , 2 3 3n-1 1 1 1 1 1 1 ∵f(n+1)=1+ + +?+ + + + , 2 3 3n-1 3n 3n+1 3n+2 1 1 1 ∴f(n+1)-f(n)= + + . 3n 3n+1 3n+2 答案 D 4.用数学归纳法证明关于 n 的恒等式,当 n=k 时,表达式为 1×4+2×7+?+k(3k+1) =k(k+1) ,则当 n=k+1 时,表达式为________. 答案 1×4+2×7+?+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)
2 2

5.记凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸 k+1 边形的内角和 f(k+1)=f(k)+________. 解析 由凸 k 边形变为凸 k+1 边形时, 增加了一个三角形图形, 故 f(k+1)=f(k)+π . 答案 π 6.用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1 1 + +?+ = + +?+ . 1×2 3×4 ?2n-1?·2n n+1 n+2 n+n

3

1 1 1 证明 (1)当 n=1 时,左边= = ,右边= ,等式成立. 1×2 2 2 (2)假设当 n=k(k∈N )时,等式成立,即 1 1 1 1 1 1 + +?+ = + +?+ . 1×2 3×4 ?2k-1?·2k k+1 k+2 2k 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 + +?+ + 1×2 3×4 ?2k-1?·2k ?2k+1??2k+2? = = = = 1
*

k+1 k+2



1

1 1 +?+ + 2k ?2k+1??2k+2?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 - + +?+ +? ?+ k+2 k+3 2k ?2k+1 2k+2? k+1 1 1 1 1 1 + +?+ + + k+2 k+3 2k 2k+1 2k+2 1 1 1 1 + +?+ + .即当 n=k+1 ?k+1?+1 ?k+1?+2 ?k+1?+k ?k+1?+?k+1?

时,等式成立. 根据(1)(2)可知,对一切 n∈N ,等式成立. 综合提高 ?限时25分钟? 7.若命题 A(n)(n∈N )在 n=k(k∈N )时命题成立,则有 n=k+1 时命题成立.现知命题对
* * *

n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有
( A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于 n0 的正整数不成立,对大于或等于 n0 的正整数都成立 C.命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定,对大于或等于 n0 的正整数都成立 D.以上说法都不正确 解析 由已知得 n=n0(n0∈N )时命题成立,则有 n=n0+1 时命题成立;在 n=n0+1 时 命题成立的前提下,又可推得 n=(n0+1)+1 时命题也成立,依此类推,可知选 C. 答案 C 8.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)?(n+n)=2 ·1·3·?·(2n-1)(n∈N ),从 n =k 到 n=k+1,左边增加的代数式为 ( A.2k+1 C. 2k+1 k+1 B.2(2k+1) D. 2k+3 k+1 ).
n
* *

).

解析 n=k 时,左边=(k+1)(k+2)?(2k);n=k+1 时,左边=(k+2)(k+3)?(2k

4

+2)=2(k+1)(k+2)?(2k)(2k+1),故选 B. 答案 B 9 . 分 析 下 述 证 明 2 + 4 + ? + 2n = n + n + 1(n ∈ N + ) 的 过 程 中 的 错 误 : __________________. 证明 假设当 n=k(k∈N+)时等式成立,即 2+4+?+2k=k +k+1,那么 2+4+?+ 2k+2(k+1)=k +k+1+2(k+1)=(k+1) +(k+1)+1,即当 n=k+1 时等式也成 立.因此对于任何 n∈N+等式都成立. 答案 缺少步骤归纳奠基,实际上当 n=1 时等式不成立 10.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)?(n+n)=2 1 左边需要添加的因式是________. 解析 当 n=k 时,左端为:(1+1)(2+2)?(k+k), 当 n=k+1 时, 左端为:(1+1)(2+2)?(k+k)(k+1+k+1), 由 k 到 k+1 需添加的因式为:(2k+2). 答案 2k+2 11.用数学归纳法证明 1 +2 +?+n =
2 2 2 2 2 2 2

n-1

·(n +n)时,从 n=k 到 n=k+

2

n?n+1??2n+1?
6
2

(n∈N ).

*

证明 (1)当 n=1 时,左边=1 =1, 1×?1+1?×?2×1+1? 右边= =1, 6 等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N )时等式成立,即 1 +2 +?+k = 那么, 1 +2 +?+k +(k+1) = = = =
2 2 2 2 2 2 2 *

k?k+1??2k+1?
6

k?k+1??2k+1?
6 6

+(k+1)

2

k?k+1??2k+1?+6?k+1?2
?k+1??2k +7k+6? 6 ?k+1??k+2??2k+3? 6
2

5



?k+1?[?k+1?+1][2?k+1?+1] , 6

即当 n=k+1 时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈N 都成立. 1 * 12.(创新拓展)已知正数数列{an}(n∈N )中,前 n 项和为 Sn,且 2Sn=an+ n,用数学归纳
*

a

法证明:an= n- n-1. 证明 (1)当 n=1 时.

? ? a1=S1= ?a1+ ?, a1? 2?
1 1 ∴a1=1(an>0), ∴a1=1,又 1- 0=1, ∴n=1 时,结论成立. (2)假设 n=k(k∈N )时,结论成立, 即 ak= k- k-1. 当 n=k+1 时,
* 2

ak+1=Sk+1-Sk
1 ? 1? 1? 1? = ?ak+1+ - ?ak+ ? ? ak+1? 2? ak? 2? 1 1 ? 1? 1? ? = ?ak+1+ - ? k- k-1+ ? ? ak+1? 2? 2? k- k-1? 1 ? 1? = ?ak+1+ - k ak+1? 2? ? ∴ak+1+2 kak+1-1=0,解得 ak+1= k+1- k(an>0), ∴n=k+1 时,结论成立. 由(1)(2)可知,对 n∈N 都有 an= n- n-1.
* 2

6


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