当前位置:首页 >> 数学 >>

上海市2013学年第一学期十二校联考高三数学(理科)


2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷
一、填空题 (本大题满分 56 分,每题 4 分) 1.已知全集 U ? ? ,2,3,4,5?,A ? ? ,3? ,B ? ?2,3,4?,那么 A ? (CU B) ? 1 1 2.函数 y ? arcsin(2 x ? 1) 的定义域为 .
.(用数 __.

3.若数列 {a

n } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,则前 6 项的和 S6 ?
字作答) 4. 计算: lim

n ??

(n ? 1)(1 ? 3n) ? ________. (2 ? n)(n 2 ? n ? 1)

5. 集合 A ? x - 2 ? x ? 1 , ? x x ? a ? 0 , A ? B , 若 则实数 a 的取值范围是 B
8 7 6. 设 ? x ? 2 ? ? a8 x ? a7 x ? ? a1 x ? a0 ,则 a8 ? a7 ? ? ? a0 = 8

?

?

?

?





7. 已知函数 f (x) 有反函数 f ?1 ( x) ,且 f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 , x ? ?0,???, 则 f ?1 (0) ? . 8. 已知袋中有大小相同的红球和白球若干个,其中红、白球个数的比为 4 : 3 .假设从袋中 任取 2 个球,取到的都是红球的概率为 9. 已 知 函 数

4 .那么袋中的红球有 13

__个.

x f ( x) ? s i x n t a n? x 3 , x ? (?1,1) , 则 满 足 不 等 式 ? 2 . f (a ? 1) ? f (2a ? 1) ? 0 的实数 a 的取值范围是
2

10. 已知 x 是 1,2,3, x,5,6,7 这 7 个数据的中位数,且 1,2, x ,? y 这四个数据的平均数为 1, 则y?

1 的最小值为 x



11.设 ? >0,若函数 f (x) = sin 是_____________. 12. 设正项数列

?x ?x ? ? cos 在区间[- , ]上单调递增,则 ? 的范围 2 2 3 4

的前 n 项和是

,若



都是等差数列,且公差相等,则

=_______________. 13.函数 y ? f (x) 的图像与直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f (x) 在

?a, b? 上 的 面 积 , 已 知 函 数 y ? sin nx 在 ?0, ? ? 上 的 面 积 为 2 (n ? N ? ) , 则 函 数 ? ?
? n?
n

? ? 4? ? y ? sin(3x ? ? ) ? 1 在 ? , ? 上的面积为 ?3 3 ?



14. (理)函数 f (x) 的定义域为 A ,若 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x 2 ,

则称 f (x) 为单函数,例如,函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函数.下列命题: ①函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R) 是单函数; ②指数函数 f ( x) ? 2 x ( x ? R) 是单函数; ③若 f (x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数; ⑤若 f (x) 为单函数,则函数 f (x) 在定义域上具有单调性。 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号) 二、选择题(本大题满分 20 分,每题 5 分)
2 15. 命题 p : a ? 1 ;命题 q : 关于 x 的方程 x ? 2 2 x ? a ? 0 有实数解,则 p 是 q 的 (

).

(A) 必要不充分条件

(B) 充分不必要条件 (C)充要条件 ) (B) y ?

(D)既不充分也不必要条件

16.下列函数中,最小正周期为 ? 的偶函数为( (A) y ? sin( x ?

?

4

) cos( x ?

?

4

)

1 ? cos 2 x sin 2 x

(C) y ? 2 tan 2 x

(D) y ? sin x cos x

17. 定义函数 y ? f ( x), x ? D (定义域) ,若存在常数 C,对于任意 x1 ? D ,存在唯一的

x 2 ? D ,使得

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? C ,则称函数 y ? f (x) 在 D 上的“均值”为 C。已知函数 2
( )

f ( x) ? lg x, x ? ?10,100? ,则函数 y ? f (x) 在 ?10,100? 上的均值为
(A)

1 10

(B)

3 4

(C) 10

(D)

3 2

2 2 18. 某同学为了研究函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x) (0 ? x ? 1) 的性质, 构造了如图所

示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , P 是边 BC 上的一个动点, CP ? x , 点 设 则

f ( x) ? AP ? PF . 那 么 可 推 知 方 程

f ( x) ?


22 解 的 个 数 2
D P

C

F

是?????????????????????( (A) 0 . (B) 1 . (C) 2 .

(D) 4 .
A B E

三、简答题 (本大题满分 74 分)
19. (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 8 分. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°, AB=BC=1. (1)求异面直线 B1C1 与 AC 所成角的大小;

(2)若该直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为

2 ,求点 A 到 2

平面 A1BC 的距离.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 7 分,第二小题满分 7 分) . B 为 钝 角 的 的 三 角 形 ABC 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 已知以角

? ? ? ? m ? (a,2b), n ? ( 3,? sin A) ,且 m 与 n 垂直。
(1)求角 B 的大小; (2)求 cos A ? cos C 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 7 分,第二小题满分 7 分) . 某企业生产某种商品 x 吨,此时所需生产费用为( x 2 ? 100x ? 10000)万元,当出售 这种商品时,每吨价格为 p 万元,这里 p ? ax ? b ( a, b 为常数, x ? 0 ) (1)为了使这种商品的生产费用平均每吨最低,那么这种商品的产量应为多少吨? (2)如果生产出来的商品能全部卖完,当产量是 120 吨时企业利润最大,此时出售价 格是每吨 160 万元,求 a, b 的值.

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分,第,3 小 题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? x x ? a ? b, x ? R . (1)当 a ? 1, b ? 0 时,判断 f (x) 的奇偶性,并说明理由;
x (2)当 a ? 1, b ? 1时,若 f ( 2 ) ?

5 ,求 x 的值; 4

(3)若 b ? 0 ,且对任何 x ? ?0,1? 不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分. 已知数列 ?an ? 具有性质:① 1 为整数;② 对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数时, a

an ?1 ?

an a ?1 ;当 an 为奇数时, an ?1 ? n . 2 2

(1)若 a1 为偶数,且 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; (2)设 a1 ? 2m ? 3 ( m ? 3 且 m?N), 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证:Sn ? 2m?1 ? 3 ; (3)若 a1 为正整数,求证:当 n ? 1 ? log2 a1 ( n?N)时,都有 an ? 0 .

2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试答案
命题人:赵荣 审题人:蒲红军 周建国 学校:上海市朱家角中学 学校:三林中学 南汇一中 2013 年 12 月

一、填空题 (本大题满分 56 分,每题 4 分)

1 3、 1、 ? 、 5? 2、 ?0,1?
9、 (0,

3、63

4、0

, 5、 ?1 ? ? ? 6、 38
12、 13、 ? ?

7、1

8、8

2 23 ) 10、 3 3

3 11、(0,2 ]

2 3

14、②③④

二、选择题(本大题满分 20 分,每题 5 分)
15、B 16、A 17、D 18、 C

三、简答题 (本大题满分 74 分)
19. (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 8 分. 解: (1)∵BC∥B1C1, ∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或它的补角)(2 分) , ∵∠ABC=90°,AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45°。 分) (4

1 2 (2)∵S△ABC= 2 ,三棱柱 ABC- A1B1C1 的体积 V=S△ABC×AA1= 2

∴AA1=

2 ,A1B=

3 (2 分)

3 ∵CB⊥平面 ABB1A1,∴∠A1BC=90°,S△A1BC= 2
设点 A 到平面 A1BC 的距离为 h, 分) (4

1 1 三棱锥 A1-ABC 的体积 V= 3 ×S△ABC×AA1=三棱锥 A-A1BC 的体积 V= 3 ×S△A1BC×h(6 分)

6 ∴h= 3 (8 分)

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 7 分,第二小题满分 7 分) . 解: (1)∵ m 垂直 n ,∴ 由正弦定理得

?

?

3a ? 2b ? sin A ? 0 (2 分)

3(2R sin A) ? 2 sin A(2R sin B) ? 0 (4 分)
3 , 分) (6 2
又∵∠B 是钝角,∴∠B ?

∵ sin A ? 0 ,∴ sin B ?

2? 3

(7 分)

(2) cos A ? cosC ? cos A ? cos( (3 分) 由(1)知 A∈(0,

?

1 3 ? ? A) ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin( A ? ) 3 2 2 3

? ? ? 2? ), ) A? ?( , , 3 3 3 3

(4 分)

sin( A ?

?
3

)?(

3 (6 ,1] , 分) 2

∴ cos A ? cos C 的取值范围是 ( , 3 ] (7 分)

3 2

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 7 分,第二小题满分 7 分) . 解: (1)设生产平均费用为 y 元, 分) (1 由题意可知 y=

x 2 ? 100x ? 10000 10000 ? x? ? 100 ? 100 ;(5 分) x x

当且仅当 x ? 100 时等号成立, 分) (6

所以这种商品的产量应为 100 吨。 分) (7 (2)设企业的利润为 S 元,有题意可知(7 分)

S ? (ax ? b) x ? x 2 ? 100x ? 10000
= (a ? 1) x 2 ? (b ? 100) x ? 10000 (3 分)

x?

? b ? 100 ? 120 2a ? 2

又由题意可知 120 a ? b ? 160 (5 分)

?b ? 240a ? 140 (6 分) ?? ?120a ? b ? 160
1 ? ?a ? ? ?? 6 ?b ? 180 ?

(7 分)

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分,第,3 小题 满分 6 分. 解: (1)当 a ? 1, b ? 0 时, f ( x) ? x x ? 1 既不是奇函数也不是偶函数(2 分)

? f (?1) ? ?2, f (1) ? 0,? f (?1) ? f (1), f (?1) ? ? f (1)
所以 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数 (4 分)

(2)当 a ? 1, b ? 1时, f ( x) ? x x ? 1 ? 1 ,
x 由 f (2 ) ?

5 5 x x 得 2 2 ?1 ?1 ? 4 4

(1 分)

?2 x ? 1 ?2 x ? 1 ? ? 即? 或? x 2 1 1 x 2 x x ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ?(2 ) ? 2 ? ? 0 4 4 ? ?
解得 2 x ?

(3 分)

1? 2 1? 2 1 或2 x ? (舍),或2 x ? 2 2 2 1? 2 ? log2 (1 ? 2 ) ? 1 或 x ? ?1 2

(5 分)

所以 x ? log2

(6 分)

(3)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,

故只需考虑 x ? ?0,1? ,此时原不等式变为 x ? a ? 即x?

?b (1 分) x

b b ?a? x? x x b b 故 ( x ? ) max ? a ? ( x ? ) min , x ? ?0,1? x x b b 又函数 g ( x) ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,所以 ( x ? ) max ? g (1) ? 1 ? b ; 分) (2 x x b 对于函数 h( x) ? x ? , x ? ?0,1? x b ①当 b ? ?1 时,在 ?0,1? 上 h(x) 单调递减, ( x ? ) min ? h(1) ? 1 ? b ,又 1 ? b ? 1 ? b , x
所以,此时 a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) (3 分) ②当 ? 1 ? b ? 0 ,在 ?0,1? 上, h( x) ? x ? 当x?

b ? 2 ?b , x

b ? b 时, ( x ? ) min ? 2 ? b ,此时要使 a 存在, x

必须有 ?

?1 ? b ? 2 ? b ?? 1 ? b ? 0

即 ? 1 ? b ? 2 2 ? 3 ,此时 a 的取值范围是 (1 ? b,2 ? b ) (4 分)

综上,当 b ? ?1 时, a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) 当 ? 1 ? b ? 2 2 ? 3 时, a 的取值范围是 (1 ? b,2 ? b ) ; 当 2 2 ? 3 ? b ? 0 时, a 的取值范围是 ? (6 分)

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 解: (1)∵ a1 为偶数,∴可设 a1 ? 2n(n ? Z) ,故 a2 ? 若 n 为偶数,则 a3 ?

a1 ?n, 2

n ,由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知 2a2 ? a1 ? a3 , 2
(2 分)

即 2n ? n ,解得 n ? 0 ,故 a1 ? 0 ; 若 n 为奇数,则 a3 ? 即 2n ? n ?

5 2

n ?1 ,由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知 2a2 ? a1 ? a3 , 2

5 2

1 ,解得 n ? 1 ,故 a1 ? 2 ; 2
(4 分)

∴ a1 的值为 0 或 2.

(2)∵ a1 ? 2m ? 3(m ? 3, m ? N) 是奇数,∴ a2 ?

a3 ?

a a2 ? 1 m?2 ? 2 , a4 ? 3 ? 2m?3 ,依此类推, 2 2

a1 ? 1 m?1 ? 2 ?1, 2

可知 a3 , a4 ,?, am?1 成等比数列,且有 an ? 2m?n?1 (3 ? n ? m ? 1) ,

又 am?1 ? 20 ? 1 , am? 2 ?

1 ?1 ? 0 , am?3 ? 0 ,? 2
(3 分)

∴当 n ? m ? 1 时, an ? 0 ;当 n ? m ? 2 时,都有 an ? 0 . 故对于给定的 m , Sn 的最大值为 a1 ? a2 ? ? ? am ? am?1

? (2m ? 3) ? (2m?1 ? 1) ? 2m?2 ? 2m?3 ? ? ? 20 ? (2m ? 2m?1 ? ? ? 20 ) ? 4 2 m ?1 ? 1 ? ? 4 ? 2 m ?1 ? 3 ,所以 Sn ? 2m?1 ? 3 . (6 分) 2 ?1
(3)当 a1 为正整数时, an 必为非负整数.证明如下: 当 n ? 1 时,由已知 a1 为正整数, 可知 a1 为非负整数,故结论成立; 假设当 n ? k 时, an 为非负整数,若 an ? 0 ,则 an ?1 ? 0 ;若 an 为正偶数, 则 an?1 ?

a ?1 an 必为正整数;若 an 为正奇数,则 an?1 ? n 必为非负整数. 2 2
(3 分)

故总有 an 为非负整数.

an ? 1 an a ? ;当 an 为偶数时, an?1 ? n . 2 2 2 an?1 an?2 an a1 故总有 an?1 ? ,所以 an ? ? 2 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 a 1 n ?1 1 log2 a1 a1 ? 1 ? 1 ,即 an ? 1 . 6 分) 当 n ? 1 ? log 2 a1 时, an ? ( ) a1 ? ( ) ( 2 2 a1
当 an 为奇数时, an?1 ? 又 an 必为非负整数,故必有 an ? 0 . (8 分)

【另法提示: “若 ak 为整数, 2t ? ak ? 2t ?1 (t ? N*) , ak ?1 也为整数, 2t ?1 ? ak ?1 ? 2t ” 先证 且 则 且 , 然后由 a1 是正整数, 可知存在正整数 s , 使得 2s ?1 ? a1 ? 2s , 由此推得 as ? 1 ,as ?1 ? 0 ,as ? 2 及其以后的项均为0,可得当 n ? 1 ? log 2 a1 ( n ? N ) 时,都有 an ? 0 】


相关文章:
上海市2013学年第一学期十二校联考高三数学(理科)
上海市2013学年第一学期十二校联考高三数学(理科)_数学_高中教育_教育专区。2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷一、填空题 (本大题满分 56 分,...
2014年12月上海市十二校联考高三数学(理科)试卷及参考答案
2014年12上海市十二校联考高三数学(理科)试卷及参考答案_数学_高中教育_教育专区...第 5 页共 13 页 2014 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷学校:...
上海市十二校2012-2013学年第一学期高三12月联考理科数学试卷
上海市十二校 2012-2013 学年第一学期高三 12 月联考 理科数学试卷 2012 年 12 月一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号...
2015年12月上海市十三校联考高三数学试卷(理科)
2015年12上海市十三校联考高三数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。2015 ...上海市十二校2012-2013学... 12页 1下载券 2010届上海市十三校高三... 5...
2013学年第二学期上海市十二校联考高三数学理答案
2013 学年第学期十二校联考高三数学(理)考试试卷 (答案)命题人:赵荣 审题人:蒲红军 周建国 学校:上海市朱家角中学 学校:三林中学 南汇一中 2014 年 3 月 ...
2013学年第一学期上海十二校联考高三数学(文)考试试卷(有答案)
2013 学年第一学期十二校联考高三数学(文)考试试卷 2013 年 12 月一、填空题 (本大题满分 56 分,每题 4 分) 1.已知全集 U ? ? ,2,3,4,5?,A ? ...
上海市2013届高三上学期12月十三校联考数学(理)试卷
上海市2013届高三上学期12月十三校联考数学(理)试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2012 年高三年级十三校联考数学(理科)试卷一、填空题(本大题满分 56 分)...
上海市十二校2013届高三第一学期12月联考理科数学试卷
上海市十二校 2013高三第一学期 12联考理科数学试卷 数学(理科)试卷 2012 年 12 月 6 号一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应...
2013学年第二学期上海市十二校联考高三数学文试卷
2013 学年第学期十二校联考高三数学(文)考试试卷命题人:赵荣 审题人:蒲红军 周建国 2 学校:上海市朱家角中学 学校:三林中学 南汇一中 2014 年 3 月 一、...
更多相关标签:
2016上海市十三校联考 | 2016上海市八校联考 | 上海市十三校联考 | 上海市十三校政治联考 | 2016上海市六校联考 | 上海市六校联考 | 上海市五校联考 | 上海市八校联考 |