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【最新精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题07 不等式


【精选+详解】2013 届高三数学名校试题汇编(第 3 期)专题 07 不等 式
一.基础题 1.【广东省华附、省实、广雅、深中 2013 届高三上学期期末四校联考】不等式 2 x ? 5 ? 7 成 立的一个必要不充分条件是 (A) x ? 1 【答案】D (B) x ? ?6 (C) x ? 1 或 x ? ?6 (D) x ? 0

【解析】

2x ? 5 ? 7 ? x ? 1 或 x ? ?6 .选 D. 2.【安徽省 2013 届高三开年第一考文】已知 a ? 0, b ? 0, a, b 的等比中项是 1,且 m ? b ?

1 , a

n?a?
A.3

1 ,则 m ? n 的最小值是( ) b
B.4 C.5 D.6

3.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】

?x ? y ? 1 ? 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范围是( ?x ? y ? 1 ?
A. [?8, 4] B.

) D. [?4, ?8]

[?8, 2]

C. [?4, 2]

4. 【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次 联考】
A. 6 B. 4 【答案】C

? x ?1 ? 已知变量 x,y 满足条件 ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值是 ?x ? y ? 0 ?
C. 3 D.2

【解析】数形结合可知,当 x ? 1, y ? 1 时, z ? 2 x ? y 取最小值3
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y 5. 【 惠 州 市 2013 届 高 三 第 三 次 调 研 考 试 】 已 知 x , 满 足 约 束 条 件

?x ? y ? 5 ? 0 ? ,则z ? 2 x ? 4 y ?x ? y ? 0 ?y ? 0 ?
A. ?14

的最小值为(

) C. ?16 D. ?17

B. ?15

6. [2012-2013 学年河南省中原名校高三(上)第三次联考]已知实数 x,y 满足



果目标函数 z=x﹣y 的最小值为﹣1,则实数 m 等于( A.7 B.5 C.4

) D.3

7. 【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】 若存在实数 x ? [2, 4] 使 x 2 ? 2 x ? 5 ? m ? 0 成立,
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则 m 的取值范围为( A. (13, ??) 【答案】B

) C. (4, ??) D. (??,13)

B. (5, ??)

【解析】 x ? 2 x ? 5 ? m ? 0有解 ? m ? x ? 2 x ? 5 有解,则 m ? [ x 2 ? 2 x ? 5]min ? 5
2 2

8.【四川省成都市 2013 届高中毕业班第一次诊断性检测】 当 x>1 时, 值为__________. 【答案】 2 2 【解析】本题考查均值不等式的运用,原式= 2 log 2 ?
x

的最小

1 ? 2 2 ,仅 log x ? 2 时取等号。 x 2 log 2 2

9.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 已知 a ? b ,且 ab ? 1 ,则 a ? b 的最小值是 a?b
2 2

.

10.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考】不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a 对任 意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [1,3] B. [?1,3] C. (??,4] ) D. [4,??)

?x ? 2 ? 11. 【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考】 已知实数对 ( x, y ) 满足 ? y ? 1 则 ?x ? y ? 0 ?
2 x ? y 的最小值是___ ______.
【答案】3

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【解析】做出可行域如图

,设 z ? 2 x ? y ,则 y ? ?2 x ? z ,做直线

y ? ?2 x ,平移直线由图象知当直线 y ? ?2 x ? z 经过点 C 时,直线 y ? ?2 x ? z 的截距最小,
由?

?y ?1 ?x ? 1 ,得 ? ,即 C (1,1) ,代入 z ? 2 x ? y 得最小值为 z ? 2 x ? y ? 3 。 ?y ? x ?y ?1
.

12.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 不等式 3 ?| 5 ? 2 x |? 9 的解集是

13. 【2012-2013 学年云南省昆明市高三 (上) 摸底调研测试】 变量 x, 满足条件 y



则 2x﹣y 的最大值为 .

【解析】满足条件

的可知域如下图所示:

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∵目标函数为 z=2x﹣y, 且 zO=0,zA= ,zB=﹣1, 故 2x﹣y 的最大值为 故答案为:

? y ? x, ? 14.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】已知 z=2x +y,x,y 满足 ? x ? y ? 2, ? x ? a, ?
且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 .

15.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考】已知正数 a 、 b 满足 2a ? b ? 10, 则

1 2 ? 的最小值为 a b



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【答案】

4 5

16.[2012-2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三(上)第一次调研考试] (5 分)对于 0≤a

<1 的实数 a,当 x,y 满足

时,z=x+y(



A.只有最大值,没有最小值 C.既有最小值也有最大值 【答案】C

B.只有最小值,没有最大值 D.既没有最小值也没有最大值

【解析】因为 x﹣ay=2 是恒过(2,0)点的直线系,所以 x,y 满足

,的

可行域如图:是三角形 ABC 的区域, 当目标函数经过可行域的 B 点时,目标函数确定最小值; 目标函数经过可行域的 A 点时,目标函数确定最大值. 故选 C.

二.能力题 1.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】

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设 O 为坐标原点, M ?1, 2 ? ,若 N ? x, y ? 满足 A.4 【答案】B B.6

?

??? ??? ? 2x ? y ? 4 ? 0 ,则 OM ? ON 的最大值为 x? y?2?0
C.8 D.10

【解析】可行域如图所示, OM ? ON ? x ? 2 y, 显然过点 A 时取得最大值,

??? ??? ?

?

??? ??? ? 2 8 2 8 2x ? y ? 4 ? 0 ,? A( , ), 则 OM ? ON 的最大值为 ? 2 ? ? 6. x? y?2?0 3 3 3 3
y A

O

x

2. 【2012-2013 学年江西省南昌二中高三 (上) 第四次月考】 x, 设 y∈R, a>1, b>1, a =b =2, 若 ,则 A. 3 的最大值为( B. ) C. 4 D.

x

y

3.【2012-2013 学年四川省成都市高新区高三(上)统一检测】x 是实数,则下列不等式恒成 立的是( ) 2 2 2 A.x +4>4x B. C.lg (x +1) >lg (2x) x +1>x D.

【答案】D 2 2 【解析】由于 x ﹣4x+4=(x﹣2) ≥0,故 A 不恒成立. 由于 ≤1,故 B 不恒成立.

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由于 x +1≥2x,故 lg(x +1)≥lg(2x) ,故 C 不恒成立. 由于 x ﹣x+1= 故选 D. 4.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y ). 若对任意
2

2

2

+ >0,故 x +1>x 恒成立,

2

x ? 2 ,不等式 ? x ? a ? ? x ? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是
A. ? ?1,7 ? ? ? 【答案】 C 【 解 析 】 由 题 意 得 ( x - a) ? x B. ??,3? ?

?

C. ??,7 ? ?

?

D. ??, ?1? ? ? 7, ?? ? ?

?

?

( x - a)(1 - x ) , 故 不 等 式 ( x - a) ? x ? a 2 化 为

( x - a)(1 - x )? a + 2 ,
化简得 x ? (a ? 1) x ? 2a ? 2 …0 ,
2

故原题等价于 x ? (a ? 1) x ? 2a ? 2 …0 在 (2, ??) 上恒成立,
2

由二次函数 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 2a ? 2 图象,其对称轴为 x ?
2

a ?1 ,讨论得 2

? a ?1 ? a ?1 ? 2 ?2 ?2 ? ? 或 ? ,解得 a? 3 或 3 ? a ? 7 , ? 2 a ?1 ? f (2) …0 ?f( ) …0 ? ? ? 2
综上可得 a? 7

?2 x ? y ? 2 ? 0 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ? 5.【河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】设实数 x , y 满足约束条件 ? , x?0 ? ?y ? 0 ?
若目标函数 z ? abx ? y ( a >0, b >0)的最大值为 8,则 a ? b 的最小值为 .

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6. 2012-2013 学年四川省成都市高新区高三 【 (上) 统一检测】 已知﹣1≤x+y≤4 且 2≤x﹣y≤3, 2 2 则 z=2x +2y 的最小值( ) A. B.4 C. D.2 【答案】B 【解析】满足﹣1≤x+y≤4 且 2≤x﹣y≤3 的可行域如下图所示: 2 2 z=2x +2y 表示可行域内动点 P(x,y)到原点 O 距离平方的 2 倍 故 OP 最小时,z 取最小值 ∵O 点到可行域内最近的点的距离即为 O 点到直线 x﹣y﹣2=0 的距离 d 又∵d= =

∴z 的最小值为 4 故选 B

? y ? ?x ? 2 ? 7.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试】不等式组? y ? x ? 1 所表示的平面区 域的面积为 ?y ? 0 ?
A.1 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4

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8.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】三个实数 a,b,c 成等比数列,且 a+b+c= 3,则 b 的取值范围是( ) A、 [?1, 0) 【答案】D B、 (0,1] C、 [?1, 0) ∪ (0,3] D、 [?3, 0) ∪ (0,1]

?x ? y ?1 ? 0 ? 9.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】设 D 是不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区 ?x ? y ?1 ? 0 ?
域,则 D 中的点 P(x,y)到直线

x ? y =1 距离的最小值是( 2
D、



A、

3 5 5

B、

4 5 5

C、 5

6 5 5

【答案】A 【解析】画图确定可行域,从而确定 (?1, 0) 到直线

3 5 x . ? y ? 1 距离的最小值为 5 2

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10.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】设平面区域 D 是由双曲线 的两条渐近线和抛物线 y2 =-8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部).若点(x, y) ∈ D,则 x + y 的最小值为 A. -1 B.0 C. 1 D.3

11.[安徽省宣城市 6 校 2013 届高三联合测评考]三个正数 a,b,c 满足 a ? b ? c ? 2a ,

b b ? a ? c ? 2b ,则 的取值范围是( ) a 2 3 2 3 A. [ , ] B. [ , 2] C. [1, ] D. [1, 2] 3 2 3 2
【答案】A 【解析】∵ a ? 0, ?由a ? b ? c ? 2a, 得 ? 1

b c ? ? 2, a a

?1 ? x ? y ? 2 b c b b c ? 由b ? a ? c ? 2b得 ? 1 ? ? 2 . 设 x ? , y ? ,则有 ? x ? 1 ? y ,其可行域如图: a a a a a ? 1? y ? 2x ?

其中 A(

2 1 3 1 b 2 3 , ),B( , ),∴ x ? ? [ , ]. 3 3 2 2 a 3 2
2013 届 高 三 第 二 次 联 考 】 设 命 题 p:

12. 【 安 徽 省 皖 南 八 校

?4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? ( x, y, k ? R, 且k ? 0) ? k?x?0 ? x ? 3 y ? 12 ?
命题 q:( x ? 3) ? y ? 25 ( x, y ? R ) ,若 P 是 q 的充分不必要条件,则 k 的取值范围是 (
2 2



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A(0,3]

B. (0,6]

C. (0,5]

D. [1,6]

13.[2012-2013 学年河南省中原名校高三(上)第三次联考](5 分)若第一象限内的点 A(x, y)落在经过点(6,﹣2)且方向向量为 有( ) A.最大值 1 的直线 l 上,则 t=

B.

最大值

C.

最小值

D.最小值 1

【答案】A 【解析】 由题意可得直线 l 的斜率为﹣ , 故直线 l 的 方程为 y+2=﹣ (x﹣6) 即 y=2 , ﹣ x, ,∴xy≤ .

即 2x+3y=6.∵点 A(x,y)在第一象限内,x,y>0,∴6=2x+3y≥2 ∴t= = = = ≤1,

故 t 的最大值等于 1, 故选 A. 14.【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测】已知 x , y 满足不等式组

? x ? 0, ? y ? 0, ? 当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最大值的变化范围是 ? ? x ? y ? s, ? y ? 2 x ? 4. ?
(A) [6,15] (B) [7,15] (C) [6,8] (D) [7,8]

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? y ? ln x y?2 ? 15. 安徽省 2013 届高三开年第一考】 【 若实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 , z ? 则 x ? x ? 2y ? 4 ? 0 ?
的取值范围是

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16.【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测】某种饮料分两次提 价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价 p % ,第二次提价 q % ;方案乙:每次都提 价

p?q % ,若 p ? q ? 0 ,则提价多的方案是 2

.

【答案】乙 【解析】设原价为 1,则提价后的价格:方案甲: (1 ? p %)(1 ? q %) ,乙: (1 ? 为 (1 ? p %)(1 ? q %) ?

1 ? p% 1 ? q% p?q ? ? 1? % ,因为 p ? q ? 0 ,所以 2 2 2 p?q p?q 2 (1 ? p %)(1 ? q%) ? 1 ? % ,即 (1 ? p %)(1 ? q%) ? (1 ? %) ,所以提价多 2 2

p?q 2 %) ,因 2

的方案是乙。 三.拔高题 1.【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测】 (本小题共 14 分)

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已知实数组成的数组 ( x1 , x2 , x3 ,? , xn ) 满足条件: ①

? xi ? 0 ;
i ?1

n



?x
i ?1

n

i

?1.

(Ⅰ) 当 n ? 2 时,求 x1 , x2 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求证: 3x1 ? 2x2 ? x3 ? 1 ; (Ⅲ)设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,且 a1 ? an (n ? 2) , 求证:

?a x
i ?1

n

i i

1 ? (a1 ? an ) . 2

(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时, 由已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , x1 ? x2 ? x3 =1 . 所以 3x1 ? 2x2 ? x3 ? x1 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? x3

? x1 ? x3 ? x1 ? x3 ? 1 .??????????????????9 分
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2.【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】列车提速可以提高铁路运输量。列车运行时,前 后两车必需保持一个 “安全间隔距离 d(千米)” “安全间隔距离 d(千米)” , 与列车的速度 v(千

1 ).假设所有的列车长度 l 均为 0.4 千米,最大速 4000 v 度均为 v0 (千米/小时)列车车速多大时,单位时间流量 Q= 最大? l?d
米/小时)的平方成正比(比列系数 k=

3. 【湖北省黄冈市 2012 年秋季 2013 届高三年级期末考试】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) 2 =x -ax,g(x)=lnx (I)若 f(x)≥g(x)对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (II)设 h(x) = f (x) +g(x)有两个极值点 x1,x2,且 求证:h(x1)一 h(x2)> ,

3 一 1n2. 4

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(III)设 r(x)=f(x)+ g (
2

1 ? ax 1 ) 对于任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x0 ? [ ,1] ,使不等式 2 2

r(x)>k(1 一 a )成立,求实数 k 的取值范围.

(Ⅰ) f ( x) ? g ( x),? a ? x ?

ln x ( x ? 0) x ln x x 2 ? ln x ? 1 设? ( x) ? x ? , ? '( x) ? x x2 当x ? (0,1)时,? '( x) ? 0, 当x ? (1, ??)时,? '( x) ? 0 ?? ( x) ? ? (1) ? 1,? a ? (??,1]

????4 分

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