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2009年湖南省高中数学竞赛B卷试题与答案[1]


2009 年湖南省高中数学竞赛 B 卷试题与答案
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 7 分,共 56 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1、

已知集合M = { x x = 3n, n ∈ Z } , Q = { x x = 3n + 1, n ∈ Z } , P = { x x = 3n ? 1, n ∈ Z

} , 且a ∈ M , b ∈ Q, c ∈ P,d = a ? b + c,则 ( A d ∈ M, B d ∈ P , C

)

d ∈ Q, D 以上都不对。

2、有一个长方体的箱子,它的十二条棱长之和是 140,并且从箱子的一角到最远的一角的 距离是 21,那么这个箱子的总表面积是( ) A 776,B 784, C 798, D 800。 3、

一个三角形的三边恰为m 2 + m + 1, 2m + 1, m 2 ? 1, 则这个三角形的最大角为 ( A

)

π
3

,B

2π 3π 5π ,C ,D 。 3 4 6
2 2 2 2

4、 若实数x,y满足 ( x + 2 ) + ( y ? 5 ) =9,,则 ( x ? 1) + ( y ? 1) 的最大值为 ( A 5、 2, B 4, C 8, D 64。

)

个单位后,再作关于x轴的对称变换, 4 得函数y = cos 2 x的图象,则f ( x ) 可以是 ( ) A sin x, B cos x, C 2sin x, D 2 cos x.
开始 K=0 6、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 K 的值为( ) A 3, B 4, C 5, D 6。 7、

将函数y = f ( x ) cos x的图象向右平移

π

已知f ( x ) =a-

2 3 是R上奇函数,则方程f ( x ) = 的根为 ( 2 +1 5 3 1 5 A 2, B , C ,D 。 5 2 3
x

)

S=0 否 S<100? 是

8、

已知向量OB=( 2,0 ),向量OC=( 2,2 ), 向量CA=

(

2cosα , 2 sin α ,则向量

)

S=S+SS

输出 K

OA与向量OB的夹角的范围是 ( ? π? ? π 5π ? A ? 0, ? , B ? , ? , ? 4? ? 4 12 ? ? 5π π ? ? π 5π ? C ? , ? ,D ? , ? ? 12 2 ? ?12 12 ?

)

K=K+1

结束

1

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 7 分,共 42 分,请将正确的答案填在横线上。 ) 9、 设数列{an }的通项为a n =2n-7 ( n ∈ N ),则 a1 + a2 + ? + a15 = _____ . 10、

已知方程 x = ax + 1有一个负根而没有正根,则实数a的取值范围是___。
11、考虑十进制中的四位数,其数码是互不相同的正整数,且数码之和是 12,则这样的四 位数中的四个数码只可能是___________。 12、先后抛掷两粒均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6) ,骰子朝 上的面的点数分别为 x,y,则 log 2 x y = 1 的概率为______。 13、正三棱柱的侧面展开图是边长为 2 和 4 的矩形,则它的体积是_______。 14、

对任意整数x,函数f ( x ) 满足f ( x + 1) =

1+ f ( x) 1? f ( x)

,且f (1) = 2,则f ( 2009 )=_____。

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 52 分,要求解答有必要的过程。 ) 15、 (本题满分 10 分)

已知a = ( cos x,sin x ) , = ( ? cos x, cos x ) , = ( ?1, 0 ) , b c (1)若x= ,求向量a与c的夹角。 6 π 9π ( 2 )当x ∈ ? , ? 时,求函数f ( x ) =2a ? b+1的最大值。 ?2 8 ? ? ?

π

2

16、 (本题满分 10 分)

已知函数f ( x ) = x ? a , g ( x ) = ax ( a ∈ R ) , (1) 判断函数f ( x )的对称性和奇偶性。

( 2 )当a = 2时,求使g 2 ( x ) f ( x ) = 4 x成立的x所构成的集合。 ( 3) 若a > 0, 记F ( x ) = g ( x ) ? f ( x ),且F ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上有最大值,求a的取值范围。

17、 (本题满分 10 分)已知 O 为两同心圆的圆心,且大圆半径为 5,小圆半径为 2,如图所 示,过小圆上任意一点 P 作弦 PA 与过 P 点的大圆之弦 BC 垂直,求证: AB +BC +AC
2 2 2

为定值,并求出这个定值。

A O C B P

3

18、 (本题满分 10 分) 已知圆 O 的方程为 x + y = 5 , 其中 O 为坐标原点。 设点 P ( a, b ) (1)
2 2

是圆 O 内一点,点 Q 是直线 ax + by = 1 上一动点,试求 OQ 的取值范围。 (2)设 a = (1, 2 ) ,直线 l 与圆 O 相交于两点 A、B,若圆 O 上存在一点 C,使得

OC = OA + OB = λ a ( λ > 0 ) ,试求直线 l 的方程。

19、 (本题满分 12 分)

已知二次函数f ( x ) = ax 2 + bx + c. ( a ≠ 0 ) , (1) 若x1 , x2 ∈ R, x1 < x2 , 且f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) , 1 ? f ( x1 ) + f ( x2 ) ? 有两个不相等的实数根,且必有 ? 2? 1 一个根属于 ( x1 , x2 ) , ( 2 ) 若关于x的方程f ( x ) = ? f ( x1 ) + f ( x2 ) ? 在 ( x1 , x2 )的根为 ? 2? m, 且满足x1 + x2 = 2m ? 1, 设函数f ( x )的图象的对称轴为x = x0 , 求证:x0 < m 2 . 求证:关于x的方程f ( x ) =

4

答案:一、1、C,2、B,3、B,4、D,5、C,6、B,7、A,8、D。 二、9、153,10、 a ≥ 1 ,11、1、2、3、6 或 1、2、4、5。 14、2. 三、15、 12、

1 4 3 8 3 . 13、 或 . 12 9 9

? 3 1? π 3 5π a?c 解: ) 当x= 时, = ? a ? , ? ? cos a, c = =? ? a, c = , (1 ? 6 2 6 a? c ? 2 2?

( 2 ) f ( x ) = 2a ? b + 1 = ?2 cos 2 x + 2 sin x cos x + 1 = sin 2 x ? cos 2 x
π? π ? ?π ? ? π 9π ? ? ? = 2 sin ? 2 x ? ? ,∵ x ∈ ? , ? , ? ? 2 x ? ? ∈ ? , 2π ? 4? 4? ?4 ? ?2 8 ? ? ? π? ? ? sin ? 2 x ? ? ∈ [ ?1,1] ? f ( x )max = 2. 4? ?
16、

解: ) f ( x ) 关于直线x = a对称, 当a = 0时, f ( x ) 为偶函数, 当a ≠ 0时, f ( x ) 为非奇非偶函数。 (1

( 2 )当a = 2时,g 2 ( x ) f ( x ) = 4 x 2

x ? 2 = 4 x, 1 当x = 0时, 适合题意

?x ≥ 2 ? x < 2, x ≠ 0 2 ? 2 ? x = 2 + 1, 3 ? 2 ? x = 1, ?x ? 2x ?1 = 0 ?x ? 2x +1 = 0 ∴ 综合知x ∈ 0,1, 2 + 1

{

}

( 3) ∵ F ( x ) = ax ? x ? a
17、

?( a ? 1) x + a ? =? ?( a + 1) x ? a ?

x≥a x<a

, a > 0,

f ( x ) 在 ( 0,+∞ ) 上有最大值, a-1 ≤ 0,又a > 0, a ∈ ( 0,1] . ∴ ∴

A D O E B P C

如图,作 OE ⊥ BC于E,OD ⊥ AP于D,

设 OE = x, OD = y, ? AB 2 + BC 2 + AC 2 = 2 AP 2 + BP 2 + CP 2 + 4 BE 2 = 8 x 2 + ( BE ? y ) + ( BE + y ) + 4 BE 2 = 8 x 2 + 6 BE 2 + 2 y 2
2 2

= 8 x 2 + 6 ( 25 ? x 2 ) + 2 y 2 = 150 + 2 ( x 2 + y 2 ) = 158.

5

18、

解: ) a 2 + b 2 < 5, OQ ≥ (1

1 a 2 + b2

>

5 . 5

( 2 ) OC = OA + OB = λ a=λ (-1,2 ) , λ > 0, C点在圆O上,且 (-1,2 ) 在圆O上, ∴ λ=1,C (-1,2 ),设A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , ? x1 + x2 = ?1,
又OC = OA + OB, = OB ? AB ⊥ OC,k AB = ? OA 1 1 = , kOC 2

1 ∴ 设l的方程为y= x + b代入圆的方程得5x2 + 4bx + 4b 2 ? 20 = 0 2 4b 5 1 5 ∴ x1 + x2 = ? = ?1, ? b = ,∴l的方程为y= x + . 5 4 2 4
19、

一个根,且g ( x )=0有两个不相等的实数根。 ∴ f ( x) =

1 1 解: ) 设g ( x ) = f ( x ) ? ? f ( x1 ) + f ( x2 ) ? , ? g ( x1 ) = ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? , (1 ? ? ? 2 2? 2 1 1 g ( x2 ) = ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? , ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) = ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? < 0, ? ? ? ? 2 4 又 ∵ g ( x ) 也是二次函数,由二次函数的图象特征知,g ( x ) 在 ( x1 , x2 ) 上必有

1 ? f ( x1 ) + f ( x2 ) ? 有两个不相等的实数根,且在 ( x1 , x2 ) 上必有一个根. ? 2? 1 1 1 b ( 2 ) ∵ x0 = ? , f ( m ) = am2 + bm + c = ? f ( x1 ) + f ( x2 ) ? = a ( x12 + x22 ) + b ( x1 + x2 ) + c ? ? 2 2 2 2a 1 1 b 1 2 ? am 2 + bm = a ?( x1 + x2 ) ? 2 x1 x2 ? + b ( 2m ? 1) ? x0 = ? = ? m 2 + 2m ? + x1 x2 ? 2 2 ? 2a 2
2 2

1 2m ? 1 ? 1 1 ? 2 = ? m + 2m ? + x1 ( 2m ? 1 ? x1 ) = ? ? x1 ? ? +m? ≤ m? ≤ m , 2 2 ? 4 4 ? 1 ∵上式等号成立时, m = , x1 = 0, ? x1 + x2 = 2m ? 1 = 0 ? x2 = 0与x1 < x2矛盾。 2 2 ∴ x0 < m .

6


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